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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 10.3二項式定理試題 理 蘇教版
一、填空題
1.已知展開式的第4項等于5,則x等于________.
解析 由T4=Cx4=5得x=-.
答案 -
2.在的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項是________.
答案 7
3.在6的二項展開式中,x2的系數(shù)為________.
解析 在6的展開式中,第r+1項為
Tr+1=C6-rr=C6-rx3-r(-2)r,
當(dāng)r=1時為含x2的項,其系數(shù)是C5(-2)=-.
答案?。?
4.已知8展開式中常數(shù)項為1 120,其中實數(shù)a是常數(shù),則展開式中各項系數(shù)的和是____
2、____.
解析 由題意知C·(-a)4=1 120,解得a=±2,令x=1,得展開式各項系數(shù)和為(1-a)8=1或38.
答案 1或38
5.設(shè)n的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展開式中x的系數(shù)為________.
解析 由已知條件4n-2n=240,解得n=4,
Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-,
令4-=1,得r=2,T3=150x.
答案 150
6. 的展開式中x2的系數(shù)為70,則a=________.
答案 ±1
7.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,則a0+
3、a1+2a2+3a3=________.
答案 5
8. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)6的展開式中,含x2項的系數(shù)為_______.
解析 含x2項的系數(shù)為C+C+…+C=C+C+…+C=C=35.
答案 35
9.設(shè)二項式6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項為B.若B=4A,則a的值是________.
解析 對于Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r,
B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,∴a=2.
答案 2
10. 5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為________.
解析 令x=1,由
4、已知條件1+a=2,則a=1.5=C(2x)5+C(2x)4+C(2x)32+C(2x)2·3+C(2x)4+5
=32x5-80x3+80x-40+10-,則常數(shù)項為40.
答案 40
二、解答題
11.已知n,
(1)若展開式中第5項,第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù);
(2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項.
解 (1)∵C+C=2C,∴n2-21n+98=0.∴n=7或n=14,當(dāng)n=7時,展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5.
∴T4的系數(shù)為C423=,T5的系數(shù)為C324=70,當(dāng)n=14時,展開式
5、中二項式系數(shù)最大的項是T8.∴T8的系數(shù)為C727=3 432.
(2)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0.
∴n=12或n=-13(舍去).設(shè)Tk+1項的系數(shù)最大,
∵12=12(1+4x)12,
∴ ∴9.4≤k≤10.4,
∴k=10.∴展開式中系數(shù)最大的項為T11,
T11=C·2·210·x10=16 896x10.
12.在楊輝三角形中,每一行除首末兩個數(shù)之外,其余每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.
(1)試用組合數(shù)表示這個一般規(guī)律;
(2)在數(shù)表中試求第n行(含第n行)之前所有數(shù)之和;
(3)試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù),使它們的比是3∶
6、4∶5,并證明你的結(jié)論.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
解 (1)C=C+C.
(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.
(3)設(shè)C∶C∶C=3∶4∶5,
由=,得=,
即3n-7r+3=0, ①
由=,得=,
即4n-9r-5=0 ②
解①②聯(lián)立方程組得,n=62,r=27,
即C∶C∶C=3∶4∶5.
7、
13.把所有正整數(shù)按上小下大,左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表,其中第i行共有2i-1個正整數(shù),設(shè)aij(i,j∈N*)表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行,從左往右數(shù)第j個數(shù).
(1)求a69的值;
(2)用i,j表示aij;
(3)記An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),求證:當(dāng)n≥4時,An>n2+C.
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
… … … … …
(1)解 a69=25+(9-1)=40.
(2)解 ∵數(shù)表中前(i-1)行共有1+2+22+…+2i-2=(2i-1-1)個數(shù),則第i行的第一個數(shù)是2i-1,
∴
8、aij=2i-1+j-1.
(3)證明 ∵aij=2i-1+j-1,則ann=2n-1+n-1(n∈N*),
∴An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]
?。?n-1+,
當(dāng)n≥4時,An=(1+1)n-1+>C+C+C+C-1+=n2+C.
14.從函數(shù)角度看,組合數(shù)C可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r),其定義域是{r|r∈N,r≤n}.
(1)證明:f(r)=f(r-1);
(2)利用(1)的結(jié)論,證明:當(dāng)n為偶數(shù)時,(a+b)n的展開式中最中間一項的二項式系數(shù)最大.
證明 (1)∵f(r)=C=,
又∵f(r-1)=C=,
∴f(r-1)=
=.
則f(r)=f(r-1)成立.
(2)設(shè)n=2k,
∵f(r)=f(r-1),f(r-1)>0,
∴=.
令f(r)≥f(r-1),∴≥1.
則r≤k+(等號不成立).
∴r=1,2,…,k時,f(r)>f(r-1)成立.
反之,當(dāng)r=k+1,k+2,…,2k時,f(r)