2022年高三數(shù)學總復習 直線方程的概念與直線的斜率教案 理

上傳人:xt****7 文檔編號:105331684 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?2.52KB
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1、2022年高三數(shù)學總復習 直線方程的概念與直線的斜率教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容從一個具體的一次函數(shù)及其圖像入手,引入直線方程和方程的直線的概念.從研究直線方程的需要出發(fā),引入直線在平面直角坐標系中的傾斜角和斜率的概念.然后建立了過兩點的直線的斜率公式.直線方程的概念是通過初中學過的一次函數(shù)的圖像引入的,是將一次函數(shù)與其圖像的關系轉(zhuǎn)換成直線方程與直線的對應關系.對這種關系的學習,要通過觀察圖像,研究圖像,利用數(shù)形結(jié)合的思想,歸納和概括出什么是直線的方程和方程的直線,使學生對直線和直線方程的關系有一個初步了解.傾斜角和斜率公式都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的,確切地說,傾斜角是直接反

2、映這種傾斜程度的,斜率公式是利用直線上點的坐標來研究直線的傾斜程度的.解析幾何是用數(shù)來研究形的,在研究直線時,使用斜率公式比使用傾斜角更方便,因此正確理解斜率的概念,掌握過兩點的直線的斜率公式,是學習這節(jié)內(nèi)容的重點,也是學好平面解析幾何的關鍵. 教學目標 1. 通過對本節(jié)的學習,了解直線的方程和方程的直線的概念,理解直線的傾斜角和斜率的概念,會準確地表述直線的傾斜角和斜率的意義. 2. 理解并掌握過兩點的直線的斜率公式,并能用其解決有關的數(shù)學問題. 3. 初步培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想,提高學生聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、歸納、概括的思維能力,進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和分析問題、解決問題的能力. 任務分

3、析 這節(jié)內(nèi)容是在一次函數(shù)的基礎上,通過研究一次函數(shù)和它的圖像的關系,而引入的直線和方程的關系.對于直線和方程的關系,學生接受起來可能比較困難,因此在學習時要始終結(jié)合具體的直線方程和它的圖像來研究,以增強直觀性,便于被學生理解.直線的傾斜角和斜率是描述直線傾斜程度的,在學習過程中,一方面要注意有關概念之間的區(qū)別,另一方面要突出它們之間的聯(lián)系,要充分利用圖像進行具體分析,讓學生注意斜率的變化和傾斜角的關系,特別是當直線的傾斜角為直角時,直線的斜率不存在的情況,進一步強調(diào):有斜率必有傾斜角與之對應;反之,有傾斜角必有斜率與之對應是不夠確切的.在這節(jié)的學習中,要讓學生體會“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的思想

4、,培養(yǎng)學生分析、聯(lián)想、抽象、概括的能力. 教學設計 一、問題情境 1. 在初中,我們學習過一次函數(shù)y=kx+b,(k≠0),知道它的圖像是一條直線l,那么滿足y=kx+b的有序?qū)崝?shù)對(x,y)與直線l上的點的坐標有什么關系?能否把它推廣到一般的二元一次方程和直線? 2. 作出函數(shù)y=2x+1的圖像,研究滿足y=2x+1的有序?qū)崝?shù)對與y=2x+1的圖像上點的坐標的關系. 二、建立模型 1. 學生分析討論,師生共同總結(jié) (1)有序?qū)崝?shù)對(0,1)滿足函數(shù)y=2x+1,在直線l上就有一點A,它的坐標是(0,1);又如有序?qū)崝?shù)對(2,5)滿足函數(shù)y=2x+1,在直線l上就有一點B,它的坐

5、標是(2,5). (2)在直線l上取一點P(1,3),則有序?qū)崝?shù)對(1,3)就滿足函數(shù)y=2x+1;又如在直線l上取一點Q(-1,-1),則有序?qū)崝?shù)(-1,-1)就滿足函數(shù)y=2x+1. 結(jié)論:一般地,滿足函數(shù)式y(tǒng)=kx+b的每一對x,y的值,都是直線l上的點的坐標;反之,直線l上每一點的坐標(x,y)都滿足函數(shù)式y(tǒng)=kx+b,因此,一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線,它是以滿足y=kx+b的每一對x,y的值為坐標的點構(gòu)成的. 2. 教師明晰 從方程的角度看,函數(shù)y=kx+b可以看作二元一次方程y-kx-b=0,這樣“滿足一次函數(shù)y=kx+b的每一對(x,y)的值”,就是“二元一

6、次方程y-kx-b=0的解x,y”;以方程y-kx-b=0的解為坐標的點就在函數(shù)y=kx+b的圖像上;反過來,函數(shù)y=kx+b的圖像上的任一點的坐標滿足方程y-kx-b=0,這樣直線和方程就建立了聯(lián)系. 一般地,如果以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點;反之,這條直線上點的坐標都是這個方程的解,那么這個方程叫作這條直線的方程;這條直線叫這個方程的直線.由于方程y=kx+b的圖像是一條直線,因而我們今后就常說直線y=kx+b. 練習:已知方程2x+3y+6=0. (1)把這個方程改寫成一次函數(shù). (2)畫出這個方程對應的直線l. (3)判定點(,1),(-3,0)是否在直線l上.

7、 進一步思考如下問題: 哪些條件可以確定一條直線?在平面直角坐標系中,過點P的任何一條直線l,對x軸的相應位置有哪些情形?如何刻畫它們的相對位置? 3. 通過學生討論,師生共同總結(jié) 直線相對x軸的情形有四種,如圖所示: 通過分析四種情形,師生共同得出:直線相對x軸的位置情形,可用直線l和x軸所成的角來描述.我們規(guī)定:x軸正向與直線向上的方向所成的角叫作這條直線的傾斜角,與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角. 問題:(1)在直角坐標系中,畫出過點P(-1,2),傾斜角分別為45°,150°,0°,90°的四條直線. (2)直線的傾斜角的取值范圍是怎樣的? 通過討論師生共同明

8、確:直線的傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.在此范圍的直角坐標平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角,而每一個傾斜角確定一條直線的方向.傾斜角直觀地表示了直線相對x軸正方向的傾斜程度. 從上面的討論可以看出,直線在坐標系中的傾斜程度可以用傾斜角直觀地來表示.我們知道,當一條直線上的兩個點確定時,這條直線也就隨之確定了,那么現(xiàn)在的問題是:如果已知直線上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么如何用x1,y1,x2,y來量化直線P1P2的傾斜程度呢? 在教師的啟發(fā)下,引導學生作如下探索: 直線y=kx+b被其上的任意兩個不同的點唯一確定(如圖22-3).因此,由該直線上任意兩點A(

9、x1,y1),B(x2,y2)的坐標可以計算出k的值. 由于x1,y1和x2,y2是直線方程的兩組解,所以 y1=kx1+b, y2=kx2+b. 兩式相減,得y2-y1=kx2-kx2=k(x2-x1). 所以 由直線上兩點的坐標求該直線的斜率k與這兩點在直線上的順序無關,可知 如果令Δx=x2-x1,Δy=y(tǒng)2-y1,則Δx表示變量x的改變量,Δy表示相應的y的改變量.于是 因此,我們把直線y=kx+b中的系數(shù)k叫作該直線的斜率.垂直于x軸的直線不存在斜率. 想想看:(1)在函數(shù)方程y=kx中,如果x表示某物體運動的時間(t),y表示在時刻x時運動過的距離(m

10、),那么k表示的意義是什么?k=60,120,…的具體意義是什么? (2)如果在函數(shù)方程y=120x中,x表示某商店銷售某個商品的數(shù)量,y表示銷售所得的總收入(元),那么斜率k=120表示的意義是什么? 進一步引導學生明確下列事實: 除去垂直于x軸的直線外,只要知道直線上兩個不同點的坐標,由(*)式就可以算出這條直線的斜率. 方程y=kx+b的圖像是通過點(0,b)且斜率為k的直線. 對一次函數(shù)確定的直線,它的斜率等于相應函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值.直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對于x軸的傾斜程度. 當k=0時,直線平行于x軸或與x軸重合,直線的傾斜角等于0

11、°. 當k>0時,直線的傾斜角為銳角;k值增大,直線的傾斜角也隨著增大.當k<0時,直線的傾斜角為鈍角;k值增大,直線的傾斜角也隨著增大. 垂直于x軸的直線的傾斜角等于90°. 三、解釋應用 [例 題] 1. 求經(jīng)過A(-2,0),B(-5,3)兩點的直線的斜率k. 解:x1=-2,x2=-5,y1=0,y2=3; Δx=-2-(-5)=3,Δy=0-3=-3. 故k==-1,即k=-1. 2. 畫出方程3x+6y-8=0的圖像. 解:由已知方程解出y,得y= 這是一次函數(shù)的表達式,它的圖像是一條直線.當x=0時,y=;當x=2時y=. 在坐標平面內(nèi)描出點A(0,)

12、,B(2,),則經(jīng)過A,B兩點的直線即為所求一次方程的圖像(如圖22-4). 3. 若三點A(-2,3),B(3,-2),C(,m)共線,求m的值.解:因為A,B,C三點共線,所以kAC=kAB, 即,解得m=. 思考總結(jié):研究三點共線的常用方法. [練 習] 1. 經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在?如果存在,求其斜率. (1)(1,-1),(-3,2). ?。?)(1,-2),(5,-2). (3)(3,4),(-2,5).   (4)(3,0),(0,). 2. 已知過點P(-2,m)和Q(m,4)的直線的斜率等于1,求m的值. 3. 過點P(-1,2)的直線l與x軸和y

13、軸分別交于A,B兩點.若點P恰為線段AB的中點,求直線l的斜率. 四、拓展延伸 1. 直線的斜率k與直線的傾斜角α之間的關系怎樣? 2. 已知點P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2的斜率為k,求證:|P1P2|=|x1-x2|=|y1-y2|. 3. 某城市出租汽車所收租車費y(元)與行駛路程x(km)之間的關系可用下列關系式表示 你能用斜率來解釋這一實際問題嗎? 點 評 這篇案例首先通過實例一次函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的解析式的關系,引入了直線的方程和方程的直線的概念,在概念的建立上充分利用了圖像的直觀性,注重了數(shù)形結(jié)合的思想,注意了概念的嚴謹性.接著由直線相對x軸的位置關系引入了直線的傾斜角和斜率的概念,為了用數(shù)研究形,又引入了過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式k=,通過師生共同探索明確了傾斜角和斜率是表現(xiàn)直線在坐標系中傾斜程度的.例題與練習的設計由淺入深,有利于鞏固所學內(nèi)容.拓展延伸的設計注意了前瞻性和創(chuàng)新,有利于加深理解所學內(nèi)容和培養(yǎng)學生探究問題的能力.總之,這篇案例的設計比較好地體現(xiàn)了新課程的理念.

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