2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第3節(jié) 等比數(shù)列課時訓(xùn)練 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第3節(jié) 等比數(shù)列課時訓(xùn)練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 等比數(shù)列的判定及證明 3、15 等比數(shù)列的基本運算 4、6、8、11 等比數(shù)列的性質(zhì) 1、2、7、10 等比、等差數(shù)列的綜合 5、9、12 等比數(shù)列與其他知識綜合 5、13、14、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a3a11=16,則a5等于(　A　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:a3a11==16,數(shù)列{an}的各項都是正數(shù), 所以a7=4, 又a7=a5×22,所以a5=1. 2.(xx高

2、考重慶卷)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(　D　) (A)a1,a3,a9成等比數(shù)列 (B)a2,a3,a6成等比數(shù)列 (C)a2,a4,a8成等比數(shù)列 (D)a3,a6,a9成等比數(shù)列 解析:由等比數(shù)列的定義知選D. 3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+k(k為常數(shù)),那么下述結(jié)論正確的是(　B　) (A)k為任意實數(shù)時,{an}是等比數(shù)列 (B)k=-1時,{an}是等比數(shù)列 (C)k=0時,{an}是等比數(shù)列 (D){an}不可能是等比數(shù)列 解析:∵Sn=3n+k(k為常數(shù)), ∴a1=S1=3+k, n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+k-(

3、3n-1+k)=2×3n-1, 當(dāng)k=-1時,a1=2滿足an=2×3n-1,{an}是等比數(shù)列, 當(dāng)k=0時,a1=3不滿足an=2×3n-1,{an}不是等比數(shù)列. 4.已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項和為Sn.若S3=,則S6等于(　B　) (A) (B) (C)63 (D) 解析:由=q3, 即=8, 得S6=. 5.已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…),若a1=b1,a11=b11,則(　A　) (A)a6>b6 (B)a6=b6 (C)a6b6 解析:∵數(shù)列{an}是等差數(shù)

4、列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,a1=b1,a11=b11, ∴a1+a11=b1+b11,又bi>0(i=1,2,…) ∴2a6=b1+b11≥2=2b6, 又q≠1,且bi>0(i=1,2,…), ∴b1≠b11, ∴a6>b6. 二、填空題 6.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a2·a6=9a4,a2=1,則a1=　　　　.? 解析:由a2·a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2, 解得q2=9, 所以q=3或q=-3(舍去), 所以由a2=a1q, 得a1==. 答案: 7.(xx高考廣東卷)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=

5、2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.? 解析:ln a1+ln a2+…+ln a20=ln a1a2…a20, 而a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11=e5, 所以ln a1a2…a20=ln=50. 答案:50 8.(xx高考遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=　　　　.? 解析:依題意a1+a3=5,a1a3=4, 又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列, 解得a1=1,a3=4, ∴q2==4,q=2, ∴S6===63. 答案:63 9.(xx高考安

6、徽卷)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　.? 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由題意,(a3+3)2=(a1+1)(a5+5), 即(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5), 化簡可解得,d=-1, 所以公比q===1. 答案:1 10.等比數(shù)列{an}的首項a1=-1,前n項和為Sn,若=,則{an}的通項公式an=　　　　.? 解析:∵=, ∴=-, ∵S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列,且公比為q5, ∴q5=-,q=-, 則an=-1×(-)n-1=-(-)n-1. 答案:-

7、(-)n-1 三、解答題 11.(xx高考四川卷)在等比數(shù)列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數(shù)列{an}的首項、公比及前n項和. 解:設(shè)該數(shù)列的公比為q. 由已知,可得 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0, 解得q=3或q=1. 由于a1(q-1)=2, 因此q=1不合題意,應(yīng)舍去. 故公比q=3,首項a1=1. 所以數(shù)列{an}的前n項和Sn=. 12.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,且S4=. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求

8、證Sn<. (1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. ∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列 ∴4S2=S1+3S3, 即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3), ∴a2=3a3, ∴q==. 又S4=, 即=, 解得a1=1, ∴an=()n-1. (2)證明:由(1)得Sn= = =[1-()n]<. 能力提升 13.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax(0

9、解得a=2(舍去)或a=,f(n)=()n,則數(shù)列{f(n)}是首項為f(1)=,公比q=的等比數(shù)列,所以Sn==×=1-()n,由1-()n=得()n=,解得n=5,故選B. 14.(xx山東棗莊一模)已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是(　D　) (A)(-∞,-1] (B)(-∞,0)∪(1,+∞) (C)[3,+∞) (D)(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則S3=a1+a2+a3=a2(1+q+)=1+q+, 當(dāng)q>0時,S3=1+q+≥1+2=3, 當(dāng)q<0時,S3=1-(-q-) ≤1-2=-1. ∴

10、S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).故選D. 15.(xx高考陜西卷)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和. (1)若{an}是等差數(shù)列,推導(dǎo)Sn的計算公式; (2)若a1=1,q≠0,且對所有正整數(shù)n,有Sn=.判斷{an}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論. 解:(1)設(shè){an}的公差為d, 則Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d], ∴2Sn=n(a1+an), ∴Sn=. (2)當(dāng)n=1時,S1=1. 當(dāng)n=2時,S2==1+q,a1+a2=1+q,a2=q. 當(dāng)n=3時,S

11、3==1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2; 初步斷定數(shù)列{an}為等比數(shù)列. 證明如下: ∵Sn=, ∴an+1=Sn+1-Sn=- ==qn. ∵a1=1,q≠0, ∴當(dāng)n≥1時,有==q, 因此,{an}是首項為1且公比為q的等比數(shù)列. 探究創(chuàng)新 16.(xx廣東十校聯(lián)考)如圖給出一個“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列,從第三行起,每一行數(shù)成等比數(shù)列,而且每一行的公比都相等,記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j,i,j∈N*),則a53=　　　　,amn=　　　　(m≥3).? 　　　　　　　　 　　　　　　　　, 　　　　　　　　,, 　　　　　　　　… 解析:由題意可知第一列首項為,公差d=-=,從第三行起每一行的公比q=, 所以a51=+4×=, a53=a51q2=×()2=. m≥3時,am1=+(m-1)×=, amn=×()n-1=. 答案: