2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 3.1 平面向量學(xué)案 理

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1、第1講　平面向量 考點(diǎn)1　平面向量的概念與線性運(yùn)算 1．在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化． 2．在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量． [例1]　(1)[2019·河北衡水中學(xué)摸底]如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且＝2，則＝(　　) A.－　　　　　 B.＋ C.－ D.＋ (2)[2019·四川綿陽聯(lián)考]如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且BD＝2DC.

2、若＝m＋n(m，n∈R)，則m－n＝(　　) A．2 B．1 C．－2 D．3 【解析】　(1)＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－. (2)∵＝2，∴－＝2(－)，∴＝－＋，∴m＝－，n＝，∴m－n＝－2.故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 1．平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)對于平面向量的線性運(yùn)算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算． (2)在證明兩向量平行時(shí)，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷；若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得

3、a＝λb)來判斷． 2．[警示]　證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線. 『對接訓(xùn)練』 1．[2019·福建三明期末]在△ABC中，3＝，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ·μ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析： 如圖，∵3＝，O為AD的中點(diǎn)，∴＝＝＋＝＋ ×＝＋(－)＝－＋＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－.故選B. 答案：B 2．[2019·福建寧德五中期中]設(shè)O為△ABC的重心，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A. B．2 C．－2

4、 D. 解析：解法一　∵O為△ABC的重心，∴＝，又＝λ＋μ，∴＋＝0.∵與不共線，∴∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故選B. 解法二　設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD，∵O為△ABC的重心，∴＝，又＝λ＋μ，∴＝＋μ，∴＝－.∵B，D，C三點(diǎn)共線，且D為BC的中點(diǎn)，∴＝－＝，∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故選B. 解法三　連接OB，OC，∵＝λ＋μ，∴－＝－λ＋μ－μ，即(－1＋λ＋μ)＋－μ＝0，又O為△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴－1＋λ＋μ＝1，μ＝－1，∴λ＝3，∴λ＋μ＝2.故選B. 答案：B 考點(diǎn)2　向量的平行與垂直 1．向量平行(共線) (1)向量a(a≠

5、0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. (2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. 2．向量垂直 向量a，b是非零向量，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. [例2]　(1)[2018·全國卷Ⅲ]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________； (2)[2019·江西南昌二中期末]已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線 C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線

6、 【解析】　(1)2a＋b＝(4,2)，因?yàn)閏∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝. (2)∵＝－3a＋3b，＝5a＋3b，∴＝＋＝2a＋6b，又＝a＋3b，∴＝，∴∥，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選B. 【答案】　(1)　(2)B 共線向量定理的應(yīng)用 　(1)證明向量共線，對于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． [提醒]　證明三點(diǎn)共線時(shí)，要說明共線的兩向量有公共點(diǎn). 『對接訓(xùn)練』 3．[2019·河北六校第三次聯(lián)

7、考]已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R. (1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值； (2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解析：(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，因?yàn)閍∥(b＋c)， 所以－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－. 又x∈，所以x＝－. (2)a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)， 若(a＋d)⊥(b＋c)，則(a＋d)·(b＋c)＝0， 即(3＋sin x)(sin x

8、－1)－(1＋k)＝0， 所以k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5， 由sin x∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]， 所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)． 考點(diǎn)3　向量的數(shù)量積 1．平面向量的數(shù)量積有兩種運(yùn)算形式： (1)數(shù)量積的定義：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ為向量a，b的夾角)； (2)坐標(biāo)運(yùn)算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)時(shí)，a·b＝x1x2＋y1y2. 2．平面向量的三個(gè)性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1

9、，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝＝. [例3]　(1)[2019·全國卷Ⅱ]已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 (2)[2019·全國卷Ⅲ]已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos〈a，c〉＝________. 【解析】　(1)本題主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算． 因?yàn)椋剑?1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故選C. (2)本題主要考查平面向

10、量的數(shù)量積，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算． 設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，則c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝. 【答案】　(1)C　(2) 1．一般地，用向量方法解決模的問題的途徑有三：一是利用公式|a|2＝a2，將模的平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題；二是利用模的幾何意義；三是坐標(biāo)法．解決向量的夾角問題主要是利用公式“ cos〈a，b〉＝”將向量的夾角問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積及模的問題來解決． 2．求解向量數(shù)量積最值問題的兩種思路 (1)直接利用數(shù)量積公式得出代數(shù)式，依據(jù)代數(shù)式求最值． (2)建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算得出函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

11、 『對接訓(xùn)練』 4．[2019·河北衡水中學(xué)三調(diào)]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，則·＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：∵＝，∴－＝(－)，∴＝＋.又＝－，∴＝，∴·＝＝－.故選C. 答案：C 5．[2019·河南中原名校指導(dǎo)卷]已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，c＝2a－b，則向量c在向量a方向上的投影為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：∵a＝(－1,2)，b＝(1,3)，∴|a|＝，c＝2a－b＝(－3，1)，∴a·c＝5，∴向量c在向量a方向上的投影為＝.故選B. 答案：B 課時(shí)作業(yè)6　平面向量 1

12、．[2019·北京八十中學(xué)月考]已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三點(diǎn)共線，則mn＝(　　) A. B．2 C．1 D．－3 解析：∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴∥，設(shè)＝λ，則∴mn＝1.故選C. 答案：C 2．[2019·湖南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知m＝(5,12)，則與m方向相同的單位向量的坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)所求向量為n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝，∴n＝.故選A. 答案：A 3．[2019·河北邢臺(tái)月考]若向量a＝(1,2)

13、，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，則c＝(　　) A．3a＋b B．2a－b C．－a－2b D．a(chǎn)－3b 解析：設(shè)c＝λa＋μb，∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，∴∴∴c＝－a－2b.故選C. 答案：C 4．[2019·河南安陽一模]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共線，則λ＝(　　) A．2 B. C．－1 D．－2 解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共線，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴λ＝－2.故選D. 答案：D 5

14、．[2019·四川綿陽一診]已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a⊥b，則x＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：∵a＝(1,2)，b＝(x,1)且a⊥b，∴a·b＝x＋2＝0，∴x＝－2.故選B. 答案：B 6．[2019·湖南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]在△ABC中，AB＝1，AC＝3，·＝1，則△ABC的面積為(　　) A. B．1 C. D. 解析：·＝·(－)＝||·||·cos A－||2＝1，∴cos A＝，∴sin A＝，∴△ABC的面積S＝×1×3×＝.故選C. 答案：C 7．[2019·遼寧沈陽聯(lián)考]在△ABC中，＝a，＝b，＝，＝，BN

15、與CM交于點(diǎn)P，則＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析： 如圖，M，P，C三點(diǎn)共線，則＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a(m∈R)，又N，P，B三點(diǎn)共線，所以＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b(n∈R)，所以解得m＝，n＝，所以＝a＋b.故選B. 答案：B 8．[2019·遼寧葫蘆島六中月考]已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a與a－b的夾角為，則a·b＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2，又

16、|a－b|＝1，a與a－b的夾角為，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故選B. 答案：B 9．[2019·廣西南寧摸底]若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角的余弦值是(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：結(jié)合向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則可知a＋b，a－b，分別為以a，b為鄰邊的平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量，因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平行四邊形是矩形，且對角線與矩形的較長邊的夾角為，數(shù)形結(jié)合可知向量a＋b與a－b的夾角為，夾角的余弦值為－.故選B. 答案：B 10．[

17、2019·湖南懷化重點(diǎn)中學(xué)第三次聯(lián)考]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿足BD＝DC，過點(diǎn)D任意作直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則(　　) A．m＋n＝2 B．2m＋n＝3 C.＋＝2 D.＋＝3 解析：連接AD，因?yàn)镸，D，N三點(diǎn)共線，所以＝λ＋(1－λ)＝λm＋(1－λ)n.又BD＝DC，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋－＝＋，于是解得＋＝3.故選D. 答案：D 11．[2019·江西南昌二中期末]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(　　) A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞)

18、 D.∪(0，＋∞) 解析：∵a與b的夾角為鈍角，∴－2λ－1<0，即λ>－.又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范圍是∪(2，＋∞)．故選C. 答案：C 12．[2019·山東淄博一中期中]已知||＝3，||＝2，＝m＋n，m，n∈R，若與的夾角為60°，且⊥，則的值為(　　) A. B. C．6 D．4 解析：通解　∵||＝3，||＝2，與的夾角為60°，∴·＝3.又⊥，∴·＝0.又＝m＋n，＝－，∴(m＋n)·(－)＝0，即－m2＋(m－n)·＋n2＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴＝.故選B. 優(yōu)解　如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為

19、x軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵||＝3，||＝2，與的夾角為60°，∴＝(1，)，＝(3,0)，∴＝－＝(－2，)，＝(3m＋n，n)．又⊥，∴·＝0，∴－6m－2n＋3n＝0，∴n＝6m，∴＝.故選B. 答案：B 13．[2019·天津二十四中月考]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，則|p＋q|的值為________． 解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝. 答案： 14．[2019·安徽合肥一模]若非零向量a，b滿足a⊥(a＋2b)，則＝________. 解析：通解　∵a⊥(a＋2b)，∴a·(a＋2b)＝0，∴

20、a2＋2a·b＝0，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝b2，∴|a＋b|＝|b|，∴＝1. 優(yōu)解　 如圖，在△OAB中，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，令＝a，＝a＋2b，則＝2b，∵a⊥(a＋2b)，∴OA⊥OB，∴＝a＋b，∴|a＋b|＝|b|，∴＝1. 答案：1 15．[2019·黑龍江鶴崗一模] 如圖，A，B分別是射線OM，ON上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－. 若這些向量均以O(shè)為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有________．(填序號) 解析： 如圖，若點(diǎn)P在陰影部分內(nèi)(包括邊界)，過點(diǎn)P作AB的平行線與OA，OB的交點(diǎn)分別為C，D

21、，連接OP，則＝α＋β，其中α＋β＝1，α≥0，β≥0，若設(shè)＝λ＋μ(λ≥0，μ≥0)，顯然0≤λ≤α，0≤μ≤β，所以0≤λ＋μ≤1且λ≥0，μ≥0，給出的5個(gè)向量中，只有②④滿足條件0≤λ＋μ≤1且λ≥0，μ≥0，所以終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有②④. 答案：②④ 16．[2019·北京人大附中期中]已知平面上有四點(diǎn)O，A，B，C，向量，，滿足＋＋＝0，·＝·＝·＝－1，則△ABC的周長是________． 解析：∵＋＋＝0，∴O為△ABC的重心．又·＝·，∴·(－)＝0，∴·＝0，∴OB⊥CA.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O為△ABC的垂心，∴△ABC為等邊三角形，∴，，兩兩所成的角均為120°，且模相等．又·＝·＝·＝－1，∴，，的模均為，∴△ABC的邊長為，∴△ABC的周長是3. 答案：3 - 12 -