2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體教學(xué)案 理 北師大版

《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體教學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體教學(xué)案 理 北師大版（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　用樣本估計總體 一、知識梳理 1．統(tǒng)計圖表 (1)頻率分布直方圖的畫法步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)； ②決定組距與組數(shù)； ③將數(shù)據(jù)分組； ④列頻率分布表； ⑤畫頻率分布直方圖． (2)頻率分布折線圖 ①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖． (3)莖葉圖的畫法步驟 第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分； 第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列； 第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)． 2．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，

2、叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． (3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)． (4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是 s＝ s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 常用結(jié)論 1．頻率分布直方圖的特點 (1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示，頻率＝組距×. (2)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積總和等于1，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形

3、高的比也就是頻率比． (3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀． 2．平均數(shù)、方差的公式推廣 (1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a. (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2. ①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2； ②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2. 二、教材衍化 1．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為(　　) A．4　　　　 B．8　　　　　 C．12　　　　 D．16 解析：選B.

4、設(shè)頻數(shù)為n，則＝0.25，所以n＝32×＝8. 2.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 解析：選A.因為這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位數(shù)是＝91.5，平均數(shù)＝＝91.5. 3．如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民數(shù)有________人． 解析：由頻率分布直方圖可知，月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民所占頻率為0.5×0.5＝0.25，

5、所以月均用水量為[2，2.5)范圍內(nèi)的居民數(shù)為100×0.25＝25. 答案：25 4．甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數(shù)分別是： 甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4 乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1 則機床性能較好的為________． 解析：因為甲＝1.5，乙＝1.2，s＝1.65，s＝0.76，所以s

6、區(qū)間內(nèi)的頻率越大．(　　) (3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(　　) (4)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀．(　　) (5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)的估計值．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 二、易錯糾偏 (1)平均數(shù)與方差的性質(zhì)理解出錯； (2)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的求法不清導(dǎo)致出錯． 1．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為(　　)

7、A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9 解析：選C.因為x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，所以＝5，所以＋1＝3×5＋1＝16，因為x1，x2，x3，…，xn的方差為2，所以3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.故選C. 2．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為，則m，n，的大小關(guān)系為________．(用“<”連接) 解析：由題圖可知，30名學(xué)生得分的中位數(shù)為第15個數(shù)和第16個數(shù)(分別為5，6)的平均數(shù)，即m＝5.5

8、；又5出現(xiàn)次數(shù)最多，故n＝5； ＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97. 故n

9、員進行罰球訓(xùn)練，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，每組投中個數(shù)的莖葉圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．甲投中個數(shù)的極差是29 B．乙投中個數(shù)的眾數(shù)是21 C．甲的投中率比乙高 D．甲投中個數(shù)的中位數(shù)是25 解析：選D.由莖葉圖可知甲投中個數(shù)的極差為37－8＝29，故A正確；易知乙投中個數(shù)的眾數(shù)是21，故B正確；甲的投中率為＝0.535，乙的投中率為＝0.422 5，所以甲的投中率比乙高，C正確；甲投中個數(shù)的中位數(shù)為＝23，D不正確，故選D. 3．某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為(　　) A．11

10、7 B．118 C．118.5 D．119.5 解析：選B.22次考試中，所得分?jǐn)?shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為98－56＝42， 將分?jǐn)?shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76，76，所以中位數(shù)為76， 所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為42＋76＝118. 莖葉圖中的三個關(guān)注點 (1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一． (2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏． (3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小．　 　　　　　　頻率分布直方圖(多維探究)

11、 角度一　求樣本的頻率、頻數(shù) (2020·湖南五市十校聯(lián)考)在某次賽車中，50名參賽選手的成績(單位：min)全部介于13到18之間(包括13和18)，將比賽成績分為五組：第一組[13，14)，第二組[14，15)，…，第五組[17，18]．其頻率分布直方圖如圖所示，若成績在[13，15)內(nèi)的選手可獲獎，則這50名選手中獲獎的人數(shù)為(　　) A．39 B．35 C．15 D．11 【解析】　由頻率分布直方圖知成績在[15，18]內(nèi)的頻率為(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78.所以成績在[13，15)內(nèi)的頻率為1－0.78＝0.22.則成績在[13，15

12、)內(nèi)的選手有50×0.22＝11(人)，即這50名選手中獲獎的人數(shù)為11，故選D. 【答案】　D 角度二　求樣本的數(shù)字特征 (2019·高考全國卷Ⅲ改編)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b

13、的值； (2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)． 【解】　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 角度三　與概率結(jié)合的問題 (2020·安徽蕪湖一模)某社區(qū)為了解該社區(qū)退休老人每天的平均戶

14、外活動時間，從該社區(qū)退休老人中隨機抽取了100位老人進行調(diào)查，獲得了每人每天的平均戶外活動時間(單位：時)，活動時間按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求圖中a的值； (2)估計該社區(qū)退休老人每人每天的平均戶外活動時間的中位數(shù)； (3)在[1，1.5)，[1.5，2)這兩組中采用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰好在同一個組的概率． 【解】　(1)由頻率分布直方圖，可知平均戶外活動時間在[0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04. 同理，平均戶外活動時間在[0.5，1)，[

15、1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)內(nèi)的頻率分別為0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02， 由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a， 解得a＝0.30. (2)設(shè)中位數(shù)為m時． 因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5， 而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m<2.5. 所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06. 故可估計該社區(qū)退休老人每人每天的

16、平均戶外活動時間的中位數(shù)為2.06時． (3)由題意得平均戶外活動時間在[1，1.5)，[1.5，2)內(nèi)的人數(shù)分別為15，20. 按分層抽樣的方法在[1，1.5)，[1.5，2)內(nèi)分別抽取3人，4人，從7人中隨機抽取2人，共有C＝21種方法，抽取的兩人恰好都在同一個組有C＋C＝9種方法，故抽取的2人恰好在同一個組的概率P＝＝. 頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法 ＝頻率，＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)． [提醒]　制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確．　 1．在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中，將三個年級參賽學(xué)生的成績進行整理后分為5組，繪制如圖所

17、示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數(shù)是40，則成績在80～100分的學(xué)生人數(shù)是(　　) A．15　　 B．18 C．20　　 D．25 解析：選A.根據(jù)頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.04×10＝0.4，因為頻數(shù)是40，所以樣本容量是＝100，又成績在80～100分的頻率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成績在80～100分的學(xué)生人數(shù)是100×0.15＝15.故選A. 2．(2020·安徽淮南二模)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，決定盤活貧困村的各項經(jīng)濟發(fā)展要素，實施了產(chǎn)業(yè)、創(chuàng)業(yè)、就業(yè)“三業(yè)并舉”工程．在實施過

18、程中，引導(dǎo)某貧困村農(nóng)戶因地制宜開展種植某經(jīng)濟作物．該類經(jīng)濟作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)值為k，其質(zhì)量指標(biāo)的等級劃分如表： 質(zhì)量指標(biāo)值k 產(chǎn)品等級 k≥90 優(yōu)秀 80≤k<90 良好 75≤k<80 合格 k<75 不合格 為了解該類經(jīng)濟作物在當(dāng)?shù)氐姆N植效益，當(dāng)?shù)匾N了甲、乙兩個品種．并隨機抽取了甲、乙兩個不同品種的各10 000件產(chǎn)品，測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值頻率分布直方圖(圖甲和圖乙)． (1)若將頻率視為概率，從乙品種產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件，記“抽出乙品種產(chǎn)品中至少有1件優(yōu)等品(

19、質(zhì)量指標(biāo)值k≥80為優(yōu)等品)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P(A)；(結(jié)果保留小數(shù)點后3位) (2)若甲、乙兩個品種的銷售利潤率y與質(zhì)量指標(biāo)值k滿足下表： 質(zhì)量指標(biāo)值k k≥90 80≤k<90 75≤k<80 k<75 銷售利潤率y 3t 5t2 t2 －t 其中

20、，甲品種產(chǎn)品的利潤率的分布列為 y 3t 5t2 t2 P 0.2 0.7 0.1 Ey甲＝0.2×3t＋0.7×5t2＋0.1×t2＝3.6t2＋0.6t； 乙品種產(chǎn)品的利潤率的分布列為 y 3t 5t2 t2 －t P 0.3 0.55 0.1 0.05 Ey乙＝0.3×3t＋0.55×5t2＋0.1×t2＋0.05×(－t)＝2.85t2＋0.85t. Ey甲－E(y)乙＝3.6t2＋0.6t－(2.85t2＋0.85t)＝0.75t2－0.25t＝0.25t(3t－1)， 由于

21、故種植乙品種的平均利潤率較大． 　　　　　　樣本數(shù)字特征的求解與應(yīng)用(師生共研) 抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下： 運動員 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 (1)成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________． (2)甲、乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖： ①分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； ②根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價． 【解】　(1)甲＝(87＋91＋90

22、＋89＋93)＝90， 乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90， s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.故填2. (2)①由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． 甲＝＝13； 乙＝＝13， s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4； s＝[(13－13)

23、2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. ②由s>s，可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義 ①平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明地描述； ②平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大?。? (2)在計算平均數(shù)、方差時可利用平均數(shù)、方差的有關(guān)結(jié)論．　 1．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則(　　) A．甲的成績的平均數(shù)小于乙

24、的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析：選C. 甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6， 乙＝(5×3＋6＋9)＝6， 甲的成績的方差為(22×2＋12×2)＝2， 乙的成績的方差為(12×3＋32×1)＝2.4. 甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5， 甲的成績的極差為4，乙的成績的極差為4，故選C. 2．(2020·貴陽市監(jiān)測考試)在某?？破罩R競賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學(xué)生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖(如圖)．若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加該知識競賽，你

25、會選哪位？請運用統(tǒng)計學(xué)的知識說明理由． 解：學(xué)生甲的平均成績甲＝＝82， 學(xué)生乙的平均成績乙＝＝82， 又s＝×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77， s＝×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝，則甲＝乙，s>s，說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，即乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故可選擇學(xué)生乙參加知識競賽． [基礎(chǔ)題組練] 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始

26、評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分，7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(　　) A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差 解析：選A.記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A. 2．(2020·陜西商洛質(zhì)檢)在一次53.5千米的自行車個人賽中，25名參賽選手成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1～25號，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績性為85分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績的

27、平均數(shù)為(　　) A．95　　　 B．96　　　　 C．97　　　 D．98 解析：選C.由系統(tǒng)抽樣法及已知條件可知被選中的其他4人的成績分別是88，94，99，107，故平均數(shù)為＝97，故選C. 3．(2020·廣東珠海摸底)某班級在一次數(shù)學(xué)競賽中設(shè)置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，各個獎品的單價分別為一等獎20元，二等獎10元，三等獎5元，參與獎2元，獲獎人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法不正確的是(　　) A．獲得參與獎的人數(shù)最多 B．各個獎項中三等獎的總費用最高 C．購買獎品的平均費用為9.25元 D．購買獎品的費用的中位數(shù)為2元 解析：選C.設(shè)全班人數(shù)為

28、a.由扇形統(tǒng)計圖可知．一等獎?wù)?%，二等獎?wù)?0%，三等獎?wù)?0%，參與獎?wù)?5%，獲得參與獎的人數(shù)最多，故A正確；一等獎的總費用為5%a×20＝a.二等獎的總費用為10%a×10＝a，三等獎的總費用為30%a×5＝a，參與獎的總費用為55%a×2＝a，所以各個獎項中三等獎的總費用最高，故B正確；購買獎品的平均費用為5%×20＋10%×10＋30%×5＋55%×2＝4.6(元)，故C錯誤；參與獎?wù)?5%，所以購買獎品的費用的中位數(shù)為2元，故D正確．故選C. 4．(2020·安徽六安毛坦廠中學(xué)月考)某位教師2017年的家庭總收入為80 000元，各種用途占比統(tǒng)計如下面的折線圖.2018年收入的

29、各種用途占比統(tǒng)計如下面的條形圖，已知2018年的就醫(yī)費用比2017年增加了4 750元，則該教師2018年的家庭總收入為(　　) A．100 000元 B．95 000元 C．90 000元 D．85 000元 解析：選D.由已知得，2017年的就醫(yī)費用為80 000×10%＝8 000(元)．故2018年的就醫(yī)費用為8 000＋4 750＝12 750(元)，所以該教師2018年的家庭總收入為＝85 000(元)．故選D. 5．甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ甲，σ乙，則(　　) A．甲<乙，σ甲<σ乙 B．

30、甲<乙，σ甲>σ乙 C．甲>乙，σ甲<σ乙 D．甲>乙，σ甲>σ乙 解析：選C.由題圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績略低于乙同學(xué)外，其他考試成績都遠高于乙同學(xué)，可知甲>乙，題圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)穩(wěn)定，故σ甲<σ乙． 6．某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則n－m的值是________． 解析：由甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，可得 ＝88，解得m＝3.由乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，可得n＝9，所以n－m＝6. 答案：6 7．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況

31、分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為________、________． 解析：由題圖甲可知學(xué)生總?cè)藬?shù)是10 000，樣本容量為10 000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 000×2%＝40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所以抽取的高中生的近視人數(shù)為40×50%＝20. 答案：200　20 8．為了了解某校高三美術(shù)生的身體狀況，抽查了部分美術(shù)生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個小組的頻數(shù)為1

32、5，則被抽查的美術(shù)生的人數(shù)是________． 解析：設(shè)被抽查的美術(shù)生的人數(shù)為n，因為后2個小組的頻率之和為(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3個小組的頻率之和為0.75.又前3個小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個小組的頻數(shù)為15，所以前3個小組的頻數(shù)分別為5，15，25，所以n＝＝60. 答案：60 9．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，

33、獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)已知該市有80萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計x的值，并說明理由． 解：(1)由頻率分布直方圖，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1， 解得a＝0.30. (2)由頻率分布直方圖知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為(0

34、.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12. 由以上樣本頻率分布，可以估計全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為800 000×0.12＝96 000. (3)因為前6組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5組的頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85， 所以2.5≤x＜3. 由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9. 因此，估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)． 10．有A，B，C，D，E五位工人參加技能

35、競賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從A，B二人在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次．用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)： (1)A，B二人預(yù)賽成績的中位數(shù)分別是多少？ (2)現(xiàn)要從A，B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位工人參加合適？請說明理由； (3)若從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競賽，求A，B二人中至少有一人參加技能競賽的概率． 解：(1)A的中位數(shù)是＝84，B的中位數(shù)是＝83. (2)派B參加比較合適．理由如下： B＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85， A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85， s＝[(78

36、－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5， s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， 因為A＝B，但s

37、至少有一人參加技能競賽的概率P＝1－＝. [綜合題組練] 1．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．如圖是根據(jù)環(huán)保部門某日早6點至晚9點在A縣、B縣兩個地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，A縣、B縣兩個地區(qū)濃度的方差較小的是(　　) A．A縣　　　　　　　　 B．B縣 C．A縣、B縣兩個地區(qū)相等 D．無法確定 解析：選A.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，A縣的數(shù)據(jù)都集中在0.05和0.08之間，數(shù)據(jù)分布比較穩(wěn)定，而B縣的數(shù)據(jù)分布比較分散，不如A縣數(shù)據(jù)集中，所以A縣的方差較小． 2．某人5次上班途中所花的時間(單位

38、：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D.由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8， 設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4. 3．設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1，2，…，2 017)，則y1，y2，…，y2 017的方差為________． 解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則yi＝2xi－1的平均數(shù)為2－1

39、，則y1，y2，…，y2 017的方差為[(2x1－1－2＋1)2＋(2x2－1－2＋1)2＋…＋(2x2 017－1－2＋1)2]＝4×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2 017－)2]＝4×4＝16. 答案：16 4．我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績的平均數(shù)是86，若正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為________． 解析：由甲班學(xué)生成績的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績按

40、從小到大的順序排列的第4個數(shù)，故x＝1.由乙班學(xué)生成績的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(＋)×(＋)＝(1＋＋＋4)≥×(5＋4)＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時取等號)．故＋的最小值為. 答案： 5．(2020·東北三省三校二模)一個經(jīng)銷鮮花產(chǎn)品的微店，為保障售出的百合花品質(zhì)，每天從某省鮮花基地空運固定數(shù)量的百合花，如有剩余則免費分贈給第二天購花顧客，如果不足，則從本地鮮花供應(yīng)商處進貨．今年四月前10天，微店百合花的

41、售價為每支2元，某省空運來的百合花每支進價1.6元，本地供應(yīng)商處的百合花每支進價1.8元，微店這10天的訂單中百合花的日需求量(單位：支)依次為：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252. (1)求今年四月前10天訂單中百合花日需求量的平均數(shù)和眾數(shù)，并完成頻率分布直方圖； (2)預(yù)計四月的后20天，訂單中百合花日需求量的頻率分布與四月前10天相同，百合花進貨價格與售價均不變，請根據(jù)(1)中頻率分布直方圖判斷(同一組中的需求量數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，位于各區(qū)間的頻率代替位于該區(qū)間的概率)，微店每天從某省固定空運250支，還是255支百合花，四月

42、后20天百合花銷售總利潤會更大？ 解：(1)四月前10天訂單中百合需求量眾數(shù)為255， 平均數(shù)＝×(231＋241＋243＋244＋251＋252＋255＋255＋263＋265)＝250. 頻率分布直方圖如圖： (2)設(shè)訂單中百合花的日需求量為a(支)，由(1)中頻率分布直方圖知，a可能取值為235，245，255，265，相應(yīng)頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2. 所以20天中a＝235，245，255，265相應(yīng)的天數(shù)為2天，6天，8天，4天． ①若空運250支， a＝235，當(dāng)日利潤為235×2－250×1.6＝70(元)， a＝245，當(dāng)日利潤為245×2－2

43、50×1.6＝90(元)， a＝255，當(dāng)日利潤為255×2－250×1.6－5×1.8＝101(元)， a＝265，當(dāng)日利潤為265×2－250×1.6－15×1.8＝103(元)， 20天總利潤為70×2＋90×6＋101×8＋103×4＝1 900(元)． ②若空運255支， a＝235，當(dāng)日利潤為235×2－255×1.6＝62(元)， a＝245，當(dāng)日利潤為245×2－255×1.6＝82(元)， a＝255，當(dāng)日利潤為255×2－255×1.6＝102(元)， a＝265，當(dāng)日利潤為265×2－255×1.6－10×1.8＝104(元)， 20天總利潤為62×2＋

44、82×6＋102×8＋104×4＝1 848(元)． 因為1 900>1 848，所以每天空運250支百合花，四月后20天總利潤更大． 6．某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學(xué)在連續(xù)的8次數(shù)學(xué)周練中，統(tǒng)計解答題失分的莖葉圖如圖： (1)比較這兩名同學(xué)8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪位同學(xué)做解答題相對穩(wěn)定些； (2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名同學(xué)失分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名同學(xué)在同一次周練中失分多少互不影響，預(yù)測在接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學(xué)失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值． 解：(1) 甲 ＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，乙

45、＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙兩名同學(xué)解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學(xué)解答題失分的方差比乙同學(xué)解答題失分的方差大．所以乙同學(xué)做解答題相對穩(wěn)定些． (2)根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分別為P1＝，P2＝， 兩人失分均超過15分的概率為P1P2＝， X的所有可能取值為0，1，2.依題意，X～B， P(X＝k)＝C，k＝0，1，2， 則X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值EX＝2×＝. 21