2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 4.1 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理

《2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 4.1 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 4.1 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　等差數(shù)列與等比數(shù)列 考點(diǎn)1　等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 1．通項(xiàng)公式 等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數(shù)列：an＝a1·qn－1. 2．求和公式 等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； 等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． [例1]　(1)[2019·全國卷Ⅰ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n (2)[2019·全國卷Ⅲ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝________. 【解析】　(1)本題

2、主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 方法一　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵ ∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A. 方法二　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵ ∴解得選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3；選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；選項(xiàng)C， S1＝2－8＝－6，排除C；選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D.故選A. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題意，得 解得所以S10＝10×1＋×2＝100. 【答案】　(1)A　(2)100

3、 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量. 『對接訓(xùn)練』 1．[2019·河北衡水中學(xué)摸底]已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝100，則a7的值為(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：∵{an}的公差為2，S10＝100，∴10a1＋90＝100，∴a1＝1，a7＝13，故選C. 答案：C 2．[2019·湖南重點(diǎn)高中聯(lián)考]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，公差d≠0，a1，a2，

4、a5成等比數(shù)列，則S5＝(　　) A．15 B．20 C．21 D．25 解析：由已知得a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，又d≠0得d＝2，∴S5＝5＋×2＝25，故選D. 答案：D 考點(diǎn)2　等差、等比數(shù)列的判定與證明 1．證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； (2)利用等差中項(xiàng)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)； (2)利用等比中項(xiàng)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)． [例2]

5、　[2019·廣東廣州調(diào)研測試]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)． (1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？ 【解析】　(1)證明：因?yàn)閍3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3， 則an＝2an－1＋1，取n＝2，得a2＝2a1＋1，解得a1＝1. 由an＝2an－1＋1(n≥2)，得an＋1＝2(an－1＋1)，即＝2，所以數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知，an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1， 所以Sn＝

6、－n＝2n＋1－n－2. 于是n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0， 所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列. (1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法，但不作為證明方法． (2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可． (3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0. 『對接訓(xùn)練』 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，

7、a3的值． (2)設(shè)bn＝an＋3，證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式an. 解析：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． 所以n＝1時(shí)，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3， n＝2時(shí)，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， n＝3時(shí)，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21. (2)證明：因?yàn)镾n＝2an－3n， 所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 兩式相減，得an＋1＝2an＋3，?、? 把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入①式， 得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6， 所以數(shù)列{bn}是以6為首項(xiàng)，2為

8、公比的等比數(shù)列， 所以bn＝6×2n－1， 所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 考點(diǎn)3　等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， (2)an＝amqn－m； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(q≠－1) [例3]　(1)[2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)]各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n

9、項(xiàng)和為Sn，已知S6＝30，S9＝70，則S3＝________； (2)[2019·福建泉州第十六中學(xué)月考]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S17>0，S18<0，則，，…，中最大的項(xiàng)為________． 【解析】　(1)通解　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0且q≠1)，由題意可得，①÷②得，＝＝，又由q>0，得q3＝2，再由＝＝＝，得S3＝S6＝10. 優(yōu)解　由題意可得(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(30－S3)2＝40S3，即S－100S3＋900＝0，解得S3＝10或S3＝90，又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以S3

10、 (2)∵S17>0，S18<0，∴17a9>0,9(a9＋a10)<0， ∴a9>0，a10<0且公差d<0， ∴1≤n≤9時(shí)，>0,10≤n≤15時(shí)，<0， 又1≤n≤8時(shí)，0Sn>0， ∴最大． 【答案】　(1)10　(2) 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略 (1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解． (2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中“若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq”這一性質(zhì)與求和公式Sn＝的綜合應(yīng)用. 『對接訓(xùn)練』 4．一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等

11、比數(shù)列{an}，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，則a1＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記為S奇、S偶，由題意知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因?yàn)閿?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以q＝＝.又a1·(a1q)(a1q2)＝64.所以aq3＝64，故a1＝12. 答案：B 5．[2019·內(nèi)蒙古呼和浩特一中摸底]已知數(shù)列{an}是遞減的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2·a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．8－ B．16－ C．2n－3－8 D．16－2n－3 解

12、析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2·a3＝8，∴a1·a4＝8，又a1＋a4＝9且數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，∴a1＝8，a4＝1，∴q3＝，∴q＝， ∴Sn＝＝16－，故選B. 答案：B 6．[2019·江蘇常州月考]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a3＋a10＝8，則S9＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＋a3＋a10＝8， ∴3a1＋12d＝8，∴a1＋4d＝a5＝，∴S9＝9a5＝24. 答案：24 考點(diǎn)4　數(shù)列與新定義相交匯問題 [例4]　[2019·山西太原期末]對于數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“優(yōu)值”，已知

13、數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n＋1，記數(shù)列{an－20}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn最小值為(　　) A．－70 B．－72 C．－64 D．－68 【解析】　∵數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，滿足上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，由得8≤n≤9，∴Sn的最小值為S8＝S9＝－72，故選B. 【答案】　B 數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路 (1)閱讀審清“

14、新定義”． (2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí)． (3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí)，求解證明相關(guān)結(jié)論. 『對接訓(xùn)練』 7．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷： ①k不可能為0；②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0. 其中所有正確判斷的序號(hào)是________． 解析：①k＝0時(shí)，分子an＋2－an＋1＝0，數(shù)列{an}可為常數(shù)數(shù)列，則an＋1－an＝0，但分母不可為0，推出矛盾，∴k不可能為0，①正確；

15、 同理②中d＝0，③中q＝1時(shí)分母都為0，不成立， ∴②③錯(cuò)誤； ④例如數(shù)列0,1,0,1，……為等差比數(shù)列，④正確． 答案：①④ 課時(shí)作業(yè) 9　等差數(shù)列與等比數(shù)列 1．[2019·河南龍泉中學(xué)模擬]已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝3(n∈N*)，若＝1，則a4的值為(　　) A．2 B．4 C．12 D．16 解析：因?yàn)閍n＋1－an＝3(n∈N*)，所以數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，＝＝1，所以a1＝3，所以a4＝3＋3×3＝12，故選C. 答案：C 2．[2019·山東淄博一中月考]在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝2

16、1，則數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為(　　) A．50 B．70 C．120 D．100 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a11－a4＝21，∴7d＝21，∴d＝3，又a3＋a7－a10＝－1，∴a1－d＝－1，∴a1＝2，∴數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為100，故選D. 答案：D 3．[2019·陜西西安遠(yuǎn)東中學(xué)期中]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵S3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4＝9，∴a1＝，故選C. 答案：C

17、 4．[2019·安徽合肥聯(lián)考]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，則S12等于(　　) A．45 B．60 C．35 D．50 解析：通解　∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，∴S9－S6＝12，S12－S9＝24，又S6＝9，∴S9＝21，∴S12＝45，故選A. 優(yōu)解　∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，∵S3＋(S6－S3)＋(

18、S9－S6)＋(S12－S9)＝S12，∴S12＝＝45，故選A. 答案：A 5．[2019·天津南開中學(xué)月考]設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S5＝3(a2＋a8)，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：∵S5＝3(a2＋a8)，5a1＋d＝3(a1＋d＋a1＋7d)，a1＝－14d，∴＝＝＝，故選D. 答案：D 6．[2019·廣西柳州二中月考]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝3，S3＝15，則a7＝(　　) A．11 B．12 C．9 D．15 解析：通解　∵{an}為等差數(shù)列， S3＝15，∴3a2＝15，∴a2＝5，又a1＝3

19、，∴公差為2，∴a7＝3＋6×2＝15，故選D. 優(yōu)解　∵a1＝3，S3＝15，∴a2＋a3＝12，∴a1＋a4＝12，∴a4＝9，∴a1＋a7＝2a4＝18，∴a7＝15，故選D. 答案：D 7．[2019·河北保定模擬]已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9＝(　　) A．4 B．5 C．8 D．15 解析：∵a3a11＝4a7，∴a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8，故選C. 答案：C 8．[2019·貴州貴陽期中]設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝(

20、　　) A．11 B．5 C．－11 D．－8 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵8a2＋a5＝0，∴q3＝－8，∴q＝－2，∴＝＝－11，故選C. 答案：C 9．[2019·遼寧沈陽聯(lián)合體月考]已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：若S4＋S6>2S5，則a6>a5，即d＝a6－a5>0；若d>0，則a6>a5，則S4＋S6＝2S4＋a5＋a6>2S4＋2a5＝2S5.所以“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必

21、要條件，故選C. 答案：C 10．[2019·甘肅蘭州六中期中]已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S9＝18，Sn＝240，an－4＝30(n>9)，則n＝(　　) A．10 B．14 C．15 D．17 解析：∵{an}為等差數(shù)列，S9＝18，∴9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30(n>9)，∴a1＋an＝a5＋an－4＝32，∴Sn＝＝16n＝240，∴n＝15，故選C. 答案：C 11．[2019·甘肅天水二中月考]已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且bn＝，若b10b11＝2，則a21＝(　　) A．29 B．210 C．2

22、11 D．212 解析：∵b10b11＝2，∴b1·b2·…·b10·b11·…·b19·b20＝210，又bn＝，∴··…··＝210， ∴＝210，又a1＝2，∴a21＝211，故選C. 答案：C 12．[2019·河北唐山四校聯(lián)考]已知a1，a2，a3，a4依次成等比數(shù)列，公比q為正數(shù)且不為1.將此數(shù)列刪去一個(gè)數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列，則q的值為(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)楣萹不為1，所以刪去的不是a1，a4.①若刪去a2，則由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，因?yàn)閍1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1

23、)＝(q－1)(q＋1)，又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，所以q＝；②若刪去a3，則由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，因?yàn)閍1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1，又q>0，所以q＝.綜上，q＝，故選B. 答案：B 13．[2019·全國卷Ⅰ]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝，a＝a6，則S5＝________. 解析：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 通解　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝a6，所以(a1q3)2＝

24、a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 優(yōu)解　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因此a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 答案： 14．[2019·山西太原月考]已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且d≠0，若a3，a4，a7成等比數(shù)列，則＝________. 解析：∵a3，a4，a7成等比數(shù)列，∴a＝a3·a7，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，化簡得3d2＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－a1，∴＝－. 答案：－ 15．[2019·貴州同仁一模]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an＋1，則S

25、6＝________. 解析：通解　由題意得，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an＋1)－(2an－1＋1)＝2an－2an－1，整理得，an＝2an－1(n≥2)，故{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，因此S6＝＝－63. 優(yōu)解　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＝2Sn－2Sn－1＋1(n≥2且n∈N*)，即Sn＝2Sn－1－1(n≥2且n∈N*)，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)(n≥2且n∈N*)， ∴{Sn－1}是公比為2的等比數(shù)列．又S1＝2S1＋1，∴S1＝－1，∴S1－1＝－2，∴Sn－1＝－2n，∴Sn＝－2n＋1，∴S

26、6＝－63. 答案：－63 16．[2019·北京大興期末]在首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，＝，則當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n的值為________． 解析：通解　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵＝，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，∴d＝－a1，∴Sn＝－a1n2＋a1n＝－(n－6)2＋a1，又a1>0，∴當(dāng)n＝6時(shí)，Sn最大． 優(yōu)解一　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵＝，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，∴a6＋a7＝0，∵a1>0，d<0，∴a6>0，a7<0，∴S6最大，∴滿足題意的n的值為6. 優(yōu)解二　∵＝，∴5a3＝7a4，∴S5＝S7，∴S6最大，∴n的值為6. 答案：6 - 12 -