《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-1(9頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與切線相關(guān)的問題
【例1】 已知函數(shù)f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
[解] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=1-.
(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),
∴f(1)=1,f′(1)=-1,
∴y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知:
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,
2、函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;
②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,解得x=a;
∵x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0,x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln a,無極大值.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln a,無極大值.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)切線的斜率,從而就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一些與切線相關(guān)的問題.
1.已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直線m:y=kx+9,且f′(
3、-1)=0.
(1)求a的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是y=g(x)的切線?如果存在,求出k的值;如果不存在,說明理由.
[解] (1)因?yàn)閒′(x)=3ax2+6x-6a,且f′(-1)=0,
所以3a-6-6a=0,得a=-2.
(2)因?yàn)橹本€m過定點(diǎn)(0,9),先求過點(diǎn)(0,9),且與曲線y=g(x)相切的直線方程.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,3x+6x0+12),又因?yàn)間′(x0)=6x0+6,
所以切線方程為
y-(3x+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).
將點(diǎn)(0,9)代入,
得9-3x-6x0-12=-6x-6x0,
4、
所以3x-3=0,得x0=±1.
當(dāng)x0=1時(shí),g′(1)=12,g(1)=21,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21),
所以切線方程為y=12x+9;
當(dāng)x0=-1時(shí),g′(-1)=0,g(-1)=9,
切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,9),
所以切線方程為y=9.
下面求曲線y=f(x)的斜率為12和0的切線方程:
因?yàn)閒(x)=-2x3+3x2+12x-11,
所以f′(x)=-6x2+6x+12.
由f′(x)=12,得-6x2+6x+12=12,
解得x=0或x=1.
當(dāng)x=0時(shí),f(0)=-11,此時(shí)切線方程為y=12x-11;
當(dāng)x=1時(shí),f(1)=2,此時(shí)切線方程為y=12x-1
5、0.
所以y=12x+9不是公切線.
由f′(x)=0,得-6x2+6x+12=0,
解得x=-1或x=2.
當(dāng)x=-1時(shí),f(-1)=-18,此時(shí)切線方程為y=-18;
當(dāng)x=2時(shí),f(2)=9,此時(shí)切線方程為y=9,
所以y=9是公切線.
綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),y=9是兩曲線的公切線.
函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
【例2】 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求a的取值范圍.
[解] (1)因?yàn)閒(x)=x3+ax2+x+1,
所以f′(x)=3x2+2ax+1.
當(dāng)Δ≤0,即a
6、2≤3時(shí),f′(x)≥0,f(x)在R上遞增.
當(dāng)a2>3時(shí),f′(x)=0求得兩根為
x=,
即f(x)在內(nèi)是增函數(shù),
在內(nèi)是減函數(shù),
在內(nèi)是增函數(shù).
所以函數(shù)f(x)在
和內(nèi)是增函數(shù);
在內(nèi)是減函數(shù).
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),則f′(x)=3x2+2ax+1兩根在區(qū)間外,
即解得a≥2,
故a的取值范圍是[2,+∞).
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域.
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(4)將(3)中的解集與(1)中的定義域取公共部分寫出增(減)區(qū)間.
2.利用導(dǎo)數(shù)解決取值范圍問
7、題的兩個(gè)基本思路
(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意.
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗(yàn)證參數(shù)取“=”,看此時(shí)f(x)是否滿足題意(通常驗(yàn)證參數(shù)取“=”這一步當(dāng)不影響結(jié)果時(shí)可省略.)
函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)
【例3】 已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
[解] (1)由題意知
f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=
8、0,得x=k-1.
f(x)與f′(x)隨x的變化情況如下表:
x
(-∞,k-1)
k-1
(k-1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
-ek-1
↗
所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).
(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;
當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時(shí),
f(x)在[0,k-1]上單調(diào)遞減,在[k-1,1]上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;
當(dāng)k-1≥1,即k
9、≥2時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.
綜上,當(dāng)k≤1時(shí),f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=-k;
當(dāng)1<k<2時(shí),f(x)在[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;
當(dāng)k≥2時(shí),f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.
(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后,要回代驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義.
(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性,即f′(x)的正負(fù);
(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者,求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者.
2.已知函數(shù)f(x)=x3+a
10、x2+bx+c,過曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y=3x+1,y=f(x)在x=-2時(shí)有極值.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值.
[解] (1)因?yàn)閒′(x)=3x2+2ax+b,
所以f′(1)=3+2a+b,
故過曲線上P點(diǎn)的切線方程為
y-f(1)=(3+2a+b)(x-1),
即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1),
已知該切線方程為y=3x+1,
所以即
因?yàn)閥=f(x)在x=-2時(shí)有極值,所以f′(-2)=0,
即-4a+b=-12,
解方程組得
所以f(x)=x3+2
11、x2-4x+5.
(2)由(1)知f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=.
當(dāng)x∈[-3,-2)時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-3,-2)和,單調(diào)遞減區(qū)間為.
又f(-2)=13,f =,f(-3)=8,f(1)=4,
所以f(x)在區(qū)間[-3,1]上的最大值為13.
分類討論思想
【例4】 已知函數(shù)f(x)=-1.
(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;
(3)試證明:對(duì)?n∈N+
12、,不等式lne<.
[解] (1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).
由已知f′(x)=,
令f′(x)=0,得1-ln x=0,所以x=e.
因?yàn)楫?dāng)0e時(shí),f′(x)=<0,
所以函數(shù)f(x)在(0,e]上單調(diào)遞增,
在(e,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知函數(shù)f(x)在(0,e]上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,
①當(dāng)0<2m≤e,即0
13、0,
當(dāng)e
14、類依據(jù)是什么,一般的分類依據(jù)如方程類型、根的個(gè)數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系、不等號(hào)的方向等;其次考慮分幾類,每一類中是否還需要分類.
(3)分類討論的基本原則是不重不漏.
3.已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>1時(shí),x2+ln x