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1、2022年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第七部分 立體幾何 新人教版
一.直線與平面
1.空間直線:
⑴判定空間兩直線是異面直線的常用方法是反證法;⑵對(duì)異直線所成的角的問(wèn)題,要注意:①異面直線所成角的范圍為:;②求異面直線所成的角的大小問(wèn)題通常分為:找角(證角)、求角兩步,而找角通常是利用直線的平移把角納入平面圖形中,利用平幾及代數(shù)知識(shí)求解;⑶異面直線間距離是通過(guò)異面直線上兩點(diǎn)間所有線段的長(zhǎng)度的最小值.
2.直線與平面平行、垂直
判定定理是由低一級(jí)的位置關(guān)系判定高一級(jí)的位置關(guān)系,而性質(zhì)定理往往是高一級(jí)的位置關(guān)系推出低一級(jí)的關(guān)系,如對(duì)直線與平面平行的判定,就可以通過(guò)直線與直線,直線
2、與平面,平面與平面的三個(gè)不同層次予以考慮.也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)證明垂直.
3.三垂線定理
三垂線定理及逆定理實(shí)際上是線面垂直的簡(jiǎn)化模型,主要作用是:⑴證明異面直線垂直;⑵求二面角的平面角;⑶確定點(diǎn)到面的距離.
4.平面與平面平行
兩平行平面間的距離,除了求夾在平行平面間的垂線段這一方法外,還可轉(zhuǎn)化為求線面距離、點(diǎn)面距離.
5.平面與平面垂直
⑴利用平面與平面垂直的條件,通常在一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直.進(jìn)而利用解三角形解決空間角、距離、面積、體積的計(jì)算.⑵兩個(gè)平面互相垂直,3個(gè)平面兩兩互相垂直的常用模型是長(zhǎng)方體(正方體),因此與3個(gè)平面兩兩垂直有關(guān)的問(wèn)題,可通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體的相交
3、于同一頂點(diǎn)的3個(gè)面來(lái)處理.
6.空間角
⑴求空間角大小的一般步驟是“作、證、求”,三種角都是轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角或所夾的角,計(jì)算過(guò)程中要注意角的范圍. 也可用空間向量來(lái)求.
⑵二面角的大小是通過(guò)其平面角來(lái)度量的,求二面角時(shí)首先搞清(或作出)棱,求作二面角的平面角常見的方法有:①定義法;②垂面法:過(guò)棱上一點(diǎn)O作棱的垂面γ,與兩個(gè)半平面的交線為AO、BO,則∠AOB就是二面角的平面角;③利用三垂線定理及逆定理作角;④利用面積射影法:cosθ=,其中θ是二面角的大小,S是在其中一個(gè)面上圖形的面積,S’是該圖形在另一個(gè)半平面上的射影的面積.⑤用空間向量來(lái)求.
7.空間距離
常見的求空間距離
4、的方法有:⑴直接法.按“一作、二證、三計(jì)算”的步驟完成,⑵轉(zhuǎn)化法.在直接法不易求解時(shí),可考慮以下轉(zhuǎn)化法:①點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離間的互相轉(zhuǎn)化;②利用三棱錐的等積變換.
面、面
線、面
點(diǎn)、面
8.平面圖形的翻折
⑴在平面圖形翻折中,位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不變,尤其是垂直于棱的直線翻折后仍垂直于棱;⑵不變量一般是結(jié)合原圖形來(lái)求、證;變化了的量應(yīng)在折后的立體圖形中來(lái)求、證,注意將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題;⑶多面體表面上兩點(diǎn)間最近距離常轉(zhuǎn)化為表面展開圖上距離.
二.簡(jiǎn)單幾何體
1.柱體、錐體
⑴定義及性質(zhì);⑵特殊的多面體:
5、直棱柱、平行面體、長(zhǎng)方體、正方體;⑶正方體的體對(duì)角線與不相交的面對(duì)角線互相垂直;⑷長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與棱長(zhǎng)關(guān)系;⑸幾種特殊三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影;⑹側(cè)面積:①S直棱柱側(cè)=c·l; ②S正棱錐側(cè)=ch′;③S斜棱柱側(cè)=c直l;其中h′為斜高,l為側(cè)棱長(zhǎng);⑺平行于棱錐的底面的截面積與底面積之比等于對(duì)應(yīng)高的平方米,對(duì)應(yīng)邊的平方比,對(duì)應(yīng)側(cè)棱的平方比.
2.⑴球既是中心對(duì)稱,又是軸對(duì)稱的幾何體,它的任何截面均為圓,且過(guò)球心的截面是大圓也是軸截面,因此球的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為圓的有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.⑵球的任一截面為圓,圓心與球心的連線垂直于該平面,且球半徑R,截面半徑r,球心到截面的距離d滿足:r=;⑶求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟為:①求線段AB長(zhǎng);②求A、B到球心O的張角,即∠AOB;③計(jì)算球大圓在A、B兩點(diǎn)間所夾的劣弧長(zhǎng);⑷長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是它外接球的直徑.
3.體積
⑴對(duì)三棱錐注意頂點(diǎn)與底面的轉(zhuǎn)換,常用換頂點(diǎn)方法求體積;
⑵體積法可以用來(lái)求點(diǎn)到面的距離,多面體內(nèi)切球半徑;
⑶較復(fù)雜的幾何體的體積可分為一些較簡(jiǎn)單的柱體、錐體求體積.