2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.2 概率、隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案 理

《2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.2 概率、隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.2 概率、隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案 理（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　概率、隨機(jī)變量及其分布列 考點(diǎn)1　古典概型與幾何概型 1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 2．幾何概型的概率公式 P(A)＝. [例1]　(1)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和“陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是(　　) A. B. C. D. (2)[2019·鄭州一模]已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲質(zhì)點(diǎn)M，則滿(mǎn)足·≥0的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)本題主

2、要考查古典概型、計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的種數(shù)為C＝＝20.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝＝.故選A. (2)由·≥0，知∠BMC為銳角或直角，則點(diǎn)M所在的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則所求概率P＝1－＝1－＝，故選B. 【答案】　(1)A　(2)B 解答幾何概型、古典概型問(wèn)題時(shí)的策略 (1)有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)． (2)在求基本事件的

3、個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性． (3)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是確定構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域. 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考]某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：從裝有形狀、大小完全相同的2個(gè)紅球、3個(gè)籃球的箱子中，任意取出2個(gè)球，若取出的2個(gè)球顏色相同，則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．則中獎(jiǎng)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)事件A為“中獎(jiǎng)”，則P(A)＝＝＝.故選C. 答案：C 2．[2

4、019·山東青島調(diào)研]有一底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為圓柱下底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)A，則點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為P1，則P1＝＝＝，故點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－＝，故選B. 答案：B 考點(diǎn)2　相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 1．條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率： P(B|A)＝. 2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)

5、生k次的概率為 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. [例2]　[2019·全國(guó)卷Ⅱ]11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率． 【解析】　本題主要考查互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件的概率，意在考查考生的邏輯思維能力、數(shù)據(jù)獲取與處理能力、運(yùn)算求解能力，考

6、查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算． (1)X＝2就是1010平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分． 因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. (1)求復(fù)雜事件概率的兩種方法 ①直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同

7、時(shí)發(fā)生的積事件或一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，然后用相應(yīng)概率公式求解． ②間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解． (2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·河南一診]某班為了活躍元旦晚會(huì)的氣氛，主持人請(qǐng)12位同學(xué)做一個(gè)游戲，第一輪中，主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六

8、張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字2,3的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué)，最后留下的這位同學(xué)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品．已知同學(xué)甲參加了該游戲． (1)求甲獲得獎(jiǎng)品的概率； (2)設(shè)X為甲參加游戲的輪數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)設(shè)“甲獲得獎(jiǎng)品”為事件A，在每輪游戲中，甲留下的概率與他摸卡片的順序無(wú)關(guān)，則P(A)＝×××＝. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4，則 P(

9、X＝1)＝＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝××＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 考點(diǎn)3　離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 1．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))． 2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [例3]　[2

10、019·廣東佛山調(diào)研]某市對(duì)居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每戶(hù)用水量不超過(guò)w米3的部分按4元/米3收費(fèi)，超出w米3的部分按10元/米3收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100戶(hù)家庭，獲得了他們某月的用水量，用水量分組為：第一組[0.5,1)，第二組[1,1.5)，…，第八組[4,4.5]，由此得到如下頻率分布直方圖，并且前四組的頻數(shù)成等差數(shù)列． (1)求a，b，c的值及居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻數(shù)； (2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上的居民月用水價(jià)格為4元/米3，請(qǐng)估計(jì)w的值(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)； (3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3戶(hù)居民的月用水量，將月用水量不超過(guò)2.5米3的

11、戶(hù)數(shù)記為X，求X的分布列及均值． 【解析】　(1)∵前四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，∴所對(duì)應(yīng)的頻率也成等差數(shù)列， ∴可設(shè)a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 得d＝0.1，a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 故居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻率為0.25. ∴居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100＝25(人)． (2)由圖可知，居民月用水量不超過(guò)2.5米3的頻率為0.7<0.8， ∴為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/米3， w＝2.5

12、＋≈2.83(米3)． (3)將頻率視為概率，設(shè)A代表居民月用水量，由圖知P(A≤2.5)＝0.7， 則由題意可知X～B(3,0.7)， P(X＝0)＝C×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189， P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ∵X～B(3,0.7)，∴E(X)＝2.1. 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路： (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值． (

13、2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，并計(jì)算這些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 『對(duì)接訓(xùn)練』 4．[2019·湖南兩市聯(lián)考]某乒乓球俱樂(lè)部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的個(gè)人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．一個(gè)運(yùn)動(dòng)員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解析：(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“

14、丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P()＝1－××＝. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P()＝； P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝； P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 課時(shí)作業(yè)18　概率、隨機(jī)變量及其分布列 1．[2019·湖北宜昌聯(lián)考]某次下課后，某教室里還剩下2位男同學(xué)和1位女同學(xué)，若他們依次走出教室，則第2個(gè)走出的是女同

15、學(xué)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知共有6個(gè)基本事件，第2個(gè)走出的是女同學(xué)包含2個(gè)基本事件，所以第2個(gè)走出的是女同學(xué)的概率是. 答案：B 2．[2019·山東青島調(diào)研]已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃投中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)數(shù)法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃中，恰有兩次投中的概率：先由計(jì)算器隨機(jī)產(chǎn)生0～9中的整數(shù)，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．現(xiàn)產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)；907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次投中的概率為(　　)

16、A. B. C. D. 解析：隨機(jī)模擬產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)，在這10組隨機(jī)數(shù)中，表示三次投籃恰有兩次投中的有191,271,932，共3組，故所求概率為，故選C. 答案：C 3．[2019·廣東佛山調(diào)研]將一根長(zhǎng)為6 m的繩子剪成兩段，則其中一段大于另一段的2倍的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：繩子的長(zhǎng)度為6 m，剪成兩段后，設(shè)其中一段的長(zhǎng)度為x m，則另一段的長(zhǎng)度為(6－x)m，記“其中一段的長(zhǎng)度大于另一段長(zhǎng)度的2倍”為事件A，則A＝{x|}＝{x|0

17、形的長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒300顆黃豆，落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為(　　) A．16.32 B．15.32 C．8.68 D．7.68 解析：由題意，可估計(jì)橢圓的面積為×6×4＝16.32.故選A. 答案：A 5．[2019·廣東惠州二調(diào)]設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)可得正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝4，又P(ξa＋1)，所以直線x＝a－5與x＝a＋1關(guān)于直

18、線x＝4對(duì)稱(chēng)，所以a－5＋a＋1＝8，即a＝6.故選B. 答案：B 6．[2019·河南中原名校聯(lián)盟一模]市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大約的人喜歡在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)家用小電器，其余的人則喜歡在實(shí)體店購(gòu)買(mǎi)家用小電器．經(jīng)工商局抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的家用小電器的合格率約為，而實(shí)體店里的家用小電器的合格率約為.現(xiàn)工商局接到一個(gè)關(guān)于家用小電器不合格的投訴，則這臺(tái)被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的可能性是(　　) A. B. C. D. 解析：∵大約的人喜歡在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)家用小電器，網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的家用小電器的合格率約為，∴某家用小電器是在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的，且被投訴的概率約為×＝，又實(shí)體店里的家用小電器的合格率約為，∴某家用小電

19、器是在實(shí)體店里購(gòu)買(mǎi)的，且被投訴的概率約為×＝，故工商局接到一個(gè)關(guān)于家用小電器不合格的投訴，則這臺(tái)被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的可能性P＝＝. 答案：A 7．[2019·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)起點(diǎn)考試]有4位游客去某地旅游，若每人只能從此地甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)中選擇一處游覽，則每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：通解　由題意知，4位游客各從此地甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)中選擇一處游覽的選法有34＝81(種)．第一步：從三個(gè)不同景點(diǎn)中選出一個(gè)景點(diǎn)的選法有C種；第二步：從4位游客中選2位到第一步選出的景點(diǎn)去游覽，有C種方法；第三步：余下2位游客到余下的兩個(gè)景點(diǎn)

20、的分法有A種．所以每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的方法有CCA＝36(種)，于是所求概率P＝＝，故選D. 優(yōu)解　由題意知，4位游客各從此地甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)中選擇一處游覽的選法有34＝81(種)．將4位游客分為3組的分法有C種，然后將這3組游客分到甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)，其分法有A種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的方法有CA＝36(種)．于是所求概率P＝＝，故選D. 答案：D 8．[2019·黑龍江齊齊哈爾模擬] 隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，圖標(biāo)被賦予了新的含義，有了新的用武之地．在計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，圖標(biāo)成了具有明確指代含義的計(jì)算機(jī)圖形．如圖所示的圖標(biāo)是一種被稱(chēng)為“黑白太陽(yáng)”的圖標(biāo)，該

21、圖標(biāo)共分為三部分．第一部分為外部的八個(gè)全等的矩形，每一個(gè)矩形的長(zhǎng)為3、寬為1；第二部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為3，小圓半徑為2；第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域．在整個(gè)“黑白太陽(yáng)”圖標(biāo)中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三部分的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：圖標(biāo)第一部分的面積為8×3×1＝24，圖標(biāo)第二部分的面積和第三部分的面積和為π×32＝9π，圖標(biāo)第三部分的面積為π×22＝4π，故此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三部分的概率為，故選B. 答案：B 9．[2019·湖南長(zhǎng)沙一模]已知一種元件的使用壽命超過(guò)1年的概率為0.8，超過(guò)2年的概率為0.6，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞，則這個(gè)元

22、件使用壽命超過(guò)2年的概率為(　　) A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48 解析：設(shè)一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞為事件A，使用到2年時(shí)還未損壞為事件B，則由題意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，則這個(gè)元件使用壽命超過(guò)2年的概率為P(B|A)＝＝＝0.75，故選A. 答案：A 10．[2019·湖南株洲聯(lián)考] 如圖，三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影部分)．設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000顆米粒(大小忽略不計(jì))，則落在小正方形(陰影部分)內(nèi)的米

23、粒數(shù)大約為(≈1.732)(　　) A．134 B．866 C．300 D．500 解析：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2x，則小正方形的邊長(zhǎng)為x－x，向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000顆米粒(大小忽略不計(jì))，設(shè)落在小正方形(陰影部分)內(nèi)的米粒數(shù)大約為a，則＝，解得a＝1 000×≈134.故選A. 答案：A 11．[2019·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]若隨機(jī)變量X～B，則P(X＝3)＝________. 解析：隨機(jī)變量X～B，則P(X＝3)＝C×3×＝. 答案： 12．[2019·廣東肇慶聯(lián)考]已知某條線的地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是________． 解析：

24、由于地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，故所求概率P＝＝. 答案： 13．[2019·福建福州質(zhì)量抽測(cè)]甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立解決同一個(gè)問(wèn)題，已知三位同學(xué)能夠解決這個(gè)問(wèn)題的概率分別為，，，則有人能夠解決這個(gè)問(wèn)題的概率為_(kāi)_______． 解析：沒(méi)有人能解決這個(gè)問(wèn)題的概率為＝，故有人能夠解決這個(gè)問(wèn)題的概率為1－＝. 答案： 14．[2019·全國(guó)卷Ⅰ]甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲

25、勝的概率是________． 解析：本題主要考查獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 記事件M為甲隊(duì)以4：1獲勝，則甲隊(duì)共比賽五場(chǎng)，且第五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝，前四場(chǎng)甲隊(duì)勝三場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 答案：0.18 15．[2019·江蘇南通聯(lián)考]甲、乙兩人玩摸球游戲，每?jī)删譃橐惠?，每局游戲的?guī)則如下：甲、乙兩人從裝有4個(gè)紅球、1個(gè)黑球(除顏色外完全相同)的袋中輪流不放回摸取1個(gè)球，摸到黑球便結(jié)束該局，且摸到黑球的人獲勝． (1)若在一局游戲中甲先

26、摸，求甲在該局獲勝的概率； (2)若在一輪游戲中約定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并獲勝的人得1分，后摸并獲勝的人得2分，未獲勝的人得0分，求此輪游戲中甲得分X的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)記“一局中甲先摸，甲在該局獲勝”為事件A，易知黑球被摸到的情況有5種，且被甲摸到的情況有3種，所以P(A)＝. 故甲在該局獲勝的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，則 P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝×＝， 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝×

27、0＋×1＋×2＋×3＝. 16．[2019·貴州貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)也開(kāi)始成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠郑甅市某調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場(chǎng)占有率最高的兩家網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)企業(yè)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)外賣(mài)A、外賣(mài)B)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)查，從使用過(guò)這兩家外賣(mài)服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了1 000人，每人分別對(duì)這兩家外賣(mài)企業(yè)評(píng)分，滿(mǎn)分均為100分，并將分?jǐn)?shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表： 　　　分?jǐn)?shù) 種類(lèi)　　　 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 外賣(mài)A(人數(shù)) 50 150 100 400 300 外賣(mài)B(人數(shù)) 100

28、100 300 200 300 表中得分越高，說(shuō)明市民對(duì)網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)服務(wù)越滿(mǎn)意．若得分不低于60分，則表明該市民對(duì)網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)較高．現(xiàn)將分?jǐn)?shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”劃分成以下四個(gè)檔次： 分?jǐn)?shù) [0,40) [40,60) [60,80) [80,100] 服務(wù)質(zhì)量指標(biāo) 0 1 2 3 用頻率表示概率，解決下列問(wèn)題： (1)從該市使用過(guò)外賣(mài)A的市民中任選5人，記對(duì)外賣(mài)A服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望； (2)從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人，試求其評(píng)分中外賣(mài)A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣(mài)B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對(duì)值等于2的概率． 解析：(1)由頻數(shù)

29、分布表可知，對(duì)外賣(mài)A服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的頻率為＝，將頻率作為概率，則從該市使用過(guò)外賣(mài)A的市民中抽取1人，對(duì)外賣(mài)A服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的概率P＝， 顯然X～B， 故E(X)＝5×＝. (2)記外賣(mài)A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”為事件Ai，外賣(mài)B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”為事件Bi，i∈{0,1,2,3}， 則其評(píng)分中外賣(mài)A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣(mài)B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對(duì)值等于2的概率為 P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24. 17．[2019·河北武邑中學(xué)期

30、末]我國(guó)城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類(lèi)別如下表： 空氣污 染指數(shù) 0～50 51～ 100 101～ 150 151～ 200 201～ 250 251～ 300 >300 空氣 質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微 污染 輕度 污染 中度 污染 中度重 污染 重污染 我們把空氣污染指數(shù)在0～100內(nèi)的稱(chēng)為A類(lèi)天，在101～200內(nèi)的稱(chēng)為B類(lèi)天，大于200的稱(chēng)為C類(lèi)天．某市從2018年全年空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了18天的數(shù)據(jù)制成如下莖葉圖(百位為莖)： (1)從這18天中任取3天，求至少含2個(gè)A類(lèi)天的概率； (2)從這18天中

31、任取3天，記X是達(dá)到A類(lèi)天或B類(lèi)天的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)為C＝816， 3天中至少有2個(gè)A類(lèi)天的取法種數(shù)為CC＋C＝46， 所以這3天至少有2個(gè)A類(lèi)天的概率為. (2)X的所有可能取值是3,2,1,0. 當(dāng)X＝3時(shí)，P(X＝3)＝＝， 當(dāng)X＝2時(shí)，P(X＝2)＝＝， 當(dāng)X＝1時(shí)，P(X＝1)＝＝＝， 當(dāng)X＝0時(shí)，P(X＝0)＝＝＝. 所以X的分布列為 X 3 2 1 0 P 數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝＝. 18．[2019·安徽宿州三調(diào)]為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價(jià)矛盾，保障電力供應(yīng)

32、，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，安徽省推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期、月度滾動(dòng)使用．第一階梯：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價(jià)0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價(jià)0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價(jià)0.865 3元/度． 某市的電力部門(mén)從本市的用戶(hù)中隨機(jī)抽取10戶(hù)，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下： 用戶(hù) 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用

33、電 量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600 (1)計(jì)算表中編號(hào)為10的用戶(hù)該年應(yīng)交的電費(fèi)； (2)現(xiàn)要在這10戶(hù)中任意選取4戶(hù)，對(duì)其用電情況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求取到第二階梯的戶(hù)數(shù)的分布列與期望． 解析：(1)因?yàn)榈诙n電價(jià)比第一檔電價(jià)每度多0.05元， 第三檔電價(jià)比第一檔電價(jià)每度多0.3元， 編號(hào)為10的用戶(hù)一年的用電量是4 600度， 所以該戶(hù)該年應(yīng)交電費(fèi) 4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)． (2)設(shè)取到第二階梯的戶(hù)數(shù)為X， 易知第二階梯的有4戶(hù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 故X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. - 17 -