2022年人教版A版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章 1-4《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》《教案》

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1、2022年人教版A版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章 1-4《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》《教案》 1.教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 1.體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，能解決利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題， 2.形成求解優(yōu)化問(wèn)題的思路和方法。 過(guò)程與方法 1.通過(guò)逐步形成用到導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。 2.提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。 情感、態(tài)度、價(jià)值觀 培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題地積極態(tài)度 2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題。 教學(xué)難點(diǎn) 理解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的作用，并利用其解決生

2、活中的一些優(yōu)化問(wèn)題。 3.教學(xué)用具 多媒體 4.教學(xué)過(guò)程 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 【師】 問(wèn)題一：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中有哪些應(yīng)用？ 問(wèn)題二：聯(lián)系函數(shù)在實(shí)際生活中的作用，你認(rèn)為導(dǎo)數(shù)對(duì)于解決生活中的什么問(wèn)題有什么作用呢？ 問(wèn)題三：通過(guò)預(yù)習(xí)，我們把導(dǎo)數(shù)能解決的這些問(wèn)題通常稱為什么問(wèn)題呢？ 【生】學(xué)生討論回答 【師】生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題． 2、新知學(xué)習(xí) 問(wèn)題1：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、

3、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有幾個(gè)方面？ （1）與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題； （2）與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題； （3）效率最值問(wèn)題。 【生】學(xué)生討論回答 問(wèn)題2：解決優(yōu)化問(wèn)題的方法有哪些？ 首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具． 【生】學(xué)生討論回答 問(wèn)題3：解決優(yōu)化問(wèn)題的的步驟是怎樣的？ 【生】學(xué)生討論回答 典例探究 1 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 【例題1】學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常

4、需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？ 【分析】先建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值. 【規(guī)范解答】設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為此時(shí)四周空白面積為 因此，x=16是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。 答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。 【引申思考】 在本題解法中，“是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)?！睘槭裁?？ 【生】學(xué)生討論回答 【師】一個(gè)函數(shù)在某

5、個(gè)區(qū)間上若只有一個(gè)極值，則該極值即為這個(gè)區(qū)間上的最值。在實(shí)際問(wèn)題中，由于常常只有一個(gè)根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（?。┲翟诘淖兓瘏^(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大（?。┲?。 【一題多解】對(duì)于本題的最值你是否還有別的解法？ 【探究解答】 由解法一可得： 【規(guī)范解答】 解法一： 設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高得箱子容積 由題意可知，當(dāng)x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16 000是最大值 答：當(dāng)x=1000px時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3 解法二： 設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得箱子

6、容積 （后面同解法一，略） 由題意可知，當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處． 【反思提高】 事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù) 在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值 飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 【問(wèn)題引領(lǐng)】 （1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？ 【例題2】 【背景知識(shí)】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2分

7、,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm 【問(wèn)題】 （１）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？ （２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？ 【分析】先建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值. 【規(guī)范解答】 由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 （1）半徑為2cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)f(2)<0，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值． （2）半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大 【新視角解答】 我們已經(jīng)求出利潤(rùn)和瓶子半徑之間的關(guān)系式：. 圖象如圖，能否根據(jù)它的圖象說(shuō)出其實(shí)際意義？ 【合作探究】 當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑

8、小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為2cm 時(shí)，利潤(rùn)最??； 當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑大于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越大。 特別的，當(dāng)r=3時(shí)，?即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等，r>3時(shí)，利潤(rùn)才為正值． 當(dāng)r=2時(shí)，f(2)<0，即瓶子的半徑為2cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)最小，飲料利潤(rùn)還不夠飲料瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值。 磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題 【例題3】 【背景知識(shí)】 計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的

9、定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。 【問(wèn)題】 現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域． （1）??是不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？ （2） ?r為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？ 【規(guī)范解答】 【規(guī)范解答】 由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最

10、外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá) 所以，磁盤總存儲(chǔ)量 【思考】根據(jù)以上三個(gè)例題，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的基本步驟. 【例題總結(jié)】（1）認(rèn)真分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，正確設(shè)定最值變量y與自變量x，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式并確定函數(shù)的定義區(qū)間； （2）求得出所有實(shí)數(shù)根； （3）比較函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小， 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。 【提別提醒】 由問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么

11、這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較． 課堂練習(xí) 1 .某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元。如果團(tuán)體的人數(shù)超過(guò)100人，那么每超過(guò)1人，每人平均收費(fèi)降低5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過(guò)180人，如何組團(tuán)可使旅行社的收費(fèi)最多? (不到100人不組團(tuán)) 【分析】先列出問(wèn)題的文字模型(標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)數(shù)-降低的收費(fèi)數(shù)),再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型. 【規(guī)范解答】 設(shè)參加旅游的人數(shù)為x，旅游團(tuán)收費(fèi)為y 則依題意有 所以當(dāng)參加人數(shù)為150人時(shí)，旅游團(tuán)的收費(fèi)最高，可達(dá)112500元。 2.圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最?。? 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省 【變式練習(xí)】 當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取才能使所用材料最省？ 5.課堂小結(jié) 6.課后習(xí)題 課本37頁(yè)A組1,2；B組第1題 7.板書