高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 空間幾何體的三視圖、表面積與體積

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 1．(xx·江西高考)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 【解析】　由三視圖的知識得B正確． 【答案】　B 2．(xx·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3 【解析】　由題中三視圖知，該幾何體由一個長方體與一個三棱柱組成，體積V＝3×4×6＋×3×4×3＝90(cm3)，故選B. 【答案】　B 3．(xx·陜西高考)將邊長

2、為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是(　　) A．4π B．3π C．2π D．π 【解析】　∵圓柱側(cè)面展開圖為矩形，底面圓半徑為1， S側(cè)＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故選C. 【答案】　C 4．(xx·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．54 B．60 C．66 D．72 【解析】　S表＝S底＋S上＋S左＋S前＋前 ＝×3×4＋×3×5＋5×3＋×(2＋5)×4＋×(2＋5)×5 ＝60. 【答案】　B 5．(xx·全國大綱

3、高考)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　) A. B．16π C．9π D. 【解析】　 易知SO′＝4 O′D＝＝ 設(shè)球的半徑為R，則(4－R)2＋2＝R2 ∴R＝，∴S球＝4πR2＝. 【答案】　A 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋? 1．空間幾何體的三視圖及確定應(yīng)用 ①此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問題結(jié)合，主要考查學(xué)生的空間想象能力，是每年的必考內(nèi)容之一． ②試題多以選擇題的形式出現(xiàn)，屬基礎(chǔ)題． 2．計算空間幾何體的表面積與體積 ①該考向主要以三視圖

4、為載體，通常是給出某幾何體面積或體積，作為新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，日益成為了高考中新的增加點(diǎn)和亮點(diǎn)．主要考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力及識圖能力． ②試題多以選擇題、填空題為主，多屬于中檔題． 3．多面體與球的切、接問題 ①該考向命題背景寬，以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接的形式出現(xiàn)，也是高考中的一大熱點(diǎn)．主要考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力． ②試題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題. 【例1】　如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．三棱錐 B．三棱柱 C

5、．四棱錐 D．四棱柱 (2)(xx·湖北高考)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，一個四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 【解析】　(1)直觀圖為： (2)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中作出棱長為2的正方體，在該正方體中作出四面體，如圖所示，由圖可知，該四面體的正視圖為④，俯視圖為②. 【答案】　(1)B　(2)D 【規(guī)律方法】　識與畫三視圖的關(guān)鍵點(diǎn)： (1)要牢記三視圖的觀察方向和

6、長、寬、高的關(guān)系．三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廊線的正投影圍成的平面圖形，反映了一個幾何體各個側(cè)面的特點(diǎn)．正視圖反映物體的主要形狀特征，是三視圖中最重要的視圖；俯視圖要和正視圖對正，畫在正視圖的正下方；側(cè)視圖要畫在正視圖的正右方，高度要與正視圖平齊． (2)要熟悉各種基本幾何體的三視圖． [創(chuàng)新預(yù)測] 1．(1)(xx·武漢調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　) (2)(xx·昆明調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形．若該幾何體的四個頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系0xyz中的坐標(biāo)分

7、別是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，則第五個頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(　　) A．(1,1,1) B．(1,1，) C．(1,1，) D．(2,2，) 【解析】　(1)由已知得選項(xiàng)A、B、C與俯視圖不符，故選D. (2)因?yàn)檎晥D和側(cè)視圖是等邊三角形，俯視圖是正方形，所以該幾何體是正四棱錐，還原幾何體并結(jié)合其中四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為S(1,1，z)，正視圖為等邊三角形，且邊長為2，故其高為＝，又正四棱錐的高與正視圖的高相等，故z＝±，故第五個頂點(diǎn)的

8、坐標(biāo)可能為(1,1，)． 【答案】　(1)D　(2)C 【例2】　(1)(xx·山東高考)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________． (2)(xx·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. (3)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　) A．21＋ B．18＋ C．21 D．18 【解析】　(1)設(shè)棱錐的高為h，∵V＝2， ∴V＝×S底·h＝×6××22×h＝2. ∴h＝1，由勾股定理知：側(cè)棱長為＝. ∵六棱錐六個側(cè)面全等，且

9、側(cè)面三角形的高為＝2， ∴S側(cè)＝×2×2×6＝12. (2)由幾何體的三視圖知，該幾何體由兩部分組成，一部分是底面半徑為1 m，高為4 m的圓柱，另一部分是底面半徑為2 m，高為2 m的圓錐． ∴V＝V柱＋V錐＝π×12×4＋π×22×2＝(m3)． (3)根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，根據(jù)直觀圖特征求其表面積． 由幾何體的三視圖如題圖可知，則幾何體的直觀圖如圖所示． 因此該幾何體的表面積為6×＋2××()2＝21＋.故選A. 【答案】　(1)12　(2)　(3)A 【規(guī)律方法】　1.求解幾何體的表面積及體積的技巧： (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位

10、地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟： (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計算求解． [創(chuàng)新預(yù)測] 2．(1)(xx·全國新課標(biāo)Ⅰ高考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(　　) A．6

11、 B．4 C．6 D．4 (2)(xx·遼寧高考)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．8－ B．8－ C．8－π D．8－2π 【解析】　 (1)還原為直觀圖放在正方體中如圖所示三棱錐D－ABC. AB＝BC＝4，AC＝4， DB＝DC＝2，DA＝＝6. 故最長的棱長為6.故選C. (2)該幾何體是一個正方體截去兩個四分之一圓柱形成的組合體，其體積V＝23－×2π＝8－π，故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 【例3

12、】　(1)(xx·陜西高考)已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體積為(　　) A. B．4π C．2π D. (2)(xx·湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于(　　) A．1 B． 2 C．3 D．4 【解析】　(1)連接AC，BD相交于O1，連接A1C1，B1D1，相交于O2并連接O1O2，則線段O1O2的中點(diǎn)為球心． ∴半徑R＝

13、|OB|＝＝＝1， ∴V球＝πR3＝π，故選D. (2)由題意知，幾何體為三棱柱，設(shè)最大球的半徑為R. ∴2R＝(6＋8)－10＝4， ∴R＝2. 【答案】　(1)D　(2)B 【規(guī)律方法】　多面體與球接、切問題的求解策略： (1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解． (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂

14、直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解． [創(chuàng)新預(yù)測] 3．(1)(xx·遼寧高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 (2)(xx·全國課標(biāo)Ⅱ高考)已知正四棱錐O-ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為________． 【解析】　(1)根據(jù)球的內(nèi)接三棱柱的性質(zhì)求解． 因?yàn)橹比庵蠥B＝3，AC＝4，A

15、A1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝. (2)本題先求出正四棱錐的高h(yuǎn)，然后求出側(cè)棱的長，再運(yùn)用球的表面積公式求解． V四棱錐O-ABCD＝××h＝，得h＝， ∴OA2＝h2＋()2＝＋＝6. ∴S球＝4πOA2＝24π. 【答案】　(1)C　(2)24π [總結(jié)提升]　通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，需掌握如下三點(diǎn)： 失分盲點(diǎn) 1．(1)臺體的構(gòu)成： 臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行． (2)三視圖的不唯一性

16、： 空間幾何體的不同放置位置對三視圖會有影響． (3)三視圖輪廓線的虛實(shí)： 正確確定三視圖的輪廓線，可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線． (4)元素與位置的變與不變： 幾何體的展開與折疊問題，準(zhǔn)確確定前后兩個圖形間的聯(lián)系及元素與位置之間的變化與穩(wěn)定． 2．(1)球的外切四棱錐與內(nèi)接四棱錐是不一樣的，兩者不能混淆． (2)球的體積公式與錐體的體積公式的系數(shù)不一樣，兩者不能混淆． 答題指導(dǎo) 1．(1)看到三視圖，想到幾何體的直觀圖． (2)看到三棱錐的體積，想到定底定高． (3)看到求幾何體的表面積、體積，想到幾何體的表面積、體積公式． 2．(1)看到球的表面積

17、、體積問題，想到球的表面積、體積公式． (2)看到球的組合體問題，想到尋找一個合適的軸截面． (3)看到球的截面，想到球的截面性質(zhì)． 方法規(guī)律 1．(1)畫三視圖的規(guī)則： 長對正，高平齊，寬相等． (2)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用： 將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題． (3)幾何體體積： 注意割補(bǔ)法(將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解)． (4)幾何體表面上最短距離問題： 常常利用幾何體的表面展開圖解決． 2．(1)球的直徑：球的直徑等于它的內(nèi)接正方體的對角線長，等于它的外切正方體的棱長． (2)與球有關(guān)的接切問題：要注意球心的位置以及球心與其他點(diǎn)形成的直角三角形．

18、 有關(guān)球的組合體的圖形與數(shù)據(jù)處理 所謂空間想象力，就是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象概括的能力，空間想象能力在立體幾何中主要體現(xiàn)在能對空間幾何體的各個元素在空間中的位置進(jìn)行準(zhǔn)確判斷，能畫出空間幾何體的直觀圖，并在直觀圖中把各種位置關(guān)系表達(dá)出來．球是基本的空間幾何體之一，單一的球的直觀圖容易畫出，但是當(dāng)球與其他空間幾何體組成組合體時，其直觀圖就很難作出，因此與球有關(guān)的組合體的圖形處理成為空間想象能力考查的重要問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例】　若三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】　如圖所示，由SA＝SB＝SC可知點(diǎn) S在底面上的射影為△ABC的外心．由于底面是直角三角形，故其外心為斜邊的中點(diǎn)O′，設(shè)該三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，則OO′＝－R，在△OO′A中，R2＝(－R)2＋12，即R＝，所以球的表面積為4πR2＝. 【答案】　D 【規(guī)律感悟】　多面體的外接球的球心是到多面體的各個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在確定多面體外接球的球心時要抓住這個特點(diǎn)．