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1、高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十三章 矩陣與變換 理
1．（xx?江蘇高考）已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B.
解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，
則＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
從而A的逆矩陣為A－1＝，
所以A－1B＝＝.
2．（xx?福建高考理）
已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1.
①求實數(shù)a，b的值；
②若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：(1)本小題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．
①設(shè)直線l：ax＋y＝1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩A對應(yīng)的
2、變換作用下的像是M′(x′，y′)．
由＝＝，得
又點(diǎn)M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，
即x＋(b＋2)y＝1，
依題意得解得
②由A＝，得解得y0＝0.
又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1.
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)．
3．（xx?江蘇高考）
已知矩陣A的逆矩陣A－1＝，求矩陣A的特征值．
解：因為A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.
因為A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩陣A的特征多項式為
f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
4．（xx?福建高考理）
設(shè)曲線2x2＋2xy＋y
3、2＝1在矩陣A＝(a＞0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1.
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)求A2的逆矩陣．
解：(1)設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任意點(diǎn)P(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的象是P′(x′，y′)．
由＝＝，得
又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
依題意得解得或
因為a>0，所以
(2)由(1)知，A＝，
A2＝＝，
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
5．（2011?福建高考理）
設(shè)矩陣M＝(其中a＞0，b＞0)．
4、(Ⅰ)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；
(Ⅱ)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值．
解：(Ⅰ)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝，
則MM－1＝.
又M，所以＝，
所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩陣M－1＝.
(Ⅱ)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)，
則＝，即
又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1，
則＋b2y2＝1為曲線C的方程．
又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故
又a＞0，b＞0，所以
6．（2011?江蘇高考）
已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
解：A2＝＝.
設(shè)α＝.由A2α＝β，得＝，
從而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十三章 矩陣與變換 理
