2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題； 2. 體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系 選擇題 填空題 等差數(shù)列前n項(xiàng)和還要注意兩點(diǎn)：公式推導(dǎo)的方法和函數(shù)的思想 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式解決一些問(wèn)題。 難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系。 考點(diǎn)一：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo) （1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn＝＝na1＋ （2） 等差數(shù)列的前

2、n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)： ∵Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1， ∴2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）， ＝n（a1＋an）， ∴Sn＝n（a1＋an） 這種推導(dǎo)方法稱為倒序求和法。 【核心突破】 （1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”?！爸蠖钡膶?shí)質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解。 （2）在運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求和時(shí)，一般地，若已知首項(xiàng)a1及末項(xiàng)an用公式Sn＝較方便；若已知首項(xiàng)a1及公差d用公式Sn＝na1＋d較好。 （3）在運(yùn)用公式S

3、n＝求和時(shí)，要注意性質(zhì)“設(shè)m、n、p、q均為正整數(shù)，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq”的運(yùn)用。 （4）在求和時(shí)除了直接用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和（即已知數(shù)列是等差數(shù)列）外，還要注意創(chuàng)設(shè)運(yùn)用公式條件（即將非等差數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題），以利于求和。 考點(diǎn)二：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 數(shù)列{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則有如下性質(zhì)： （1）Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差數(shù)列，公差為m2d。 （2）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n（n∈N*），則S偶－S奇＝nd，＝。 （3）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n＋1（n∈N*），則S奇－S偶＝an＋1，＝。 （4）若{an}、{b

4、n}均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，則。 考點(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的基本思想是利用前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題，即： （1）二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值的方法來(lái)求前n項(xiàng)和的最值，但要注意的是：。 （2）圖象法：利用二次函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)確定的值，使取最值。 （3）通項(xiàng)法：當(dāng)時(shí)，為使成立的最大的自然數(shù)時(shí)，最大。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即遞增；當(dāng)時(shí)，，即遞減。 類似的，當(dāng)時(shí)，則為使成立的最大的自然數(shù)時(shí)，最小。 例題1（等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用） 在等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn。 （1）已知S8＝48，S12＝168，求a1和

5、d； （2）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8； （3）已知a3＋a15＝40，求S17。 思路分析：（1）利用前n項(xiàng)和公式，建立關(guān)于a1、d的方程組，解方程組求a1、d； （2）根據(jù)前n項(xiàng)和公式求a1、d，再求a8和S8； （3）先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求a1＋a17，再求S17。 答案：（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式， 得 解得 （2）∵a6＝S6－S5，∴S6＝S5＋a6＝15， ∴×6＝15，即3（a1＋10）＝15， ∴a1＝－5，∴d＝＝3， ∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝×8＝44； （3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a3＋a15＝a1＋a17＝40， ∴

6、S17＝＝340。 技巧點(diǎn)撥： 1. 本題第（3）問(wèn)看似缺少條件，但注意到a3＋a15與a1＋a17的聯(lián)系，便可以很容易地求出結(jié)果，所以應(yīng)注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系。 2. 對(duì)于兩個(gè)求和公式Sn＝和Sn＝na1＋，要根據(jù)題目的已知條件靈活選用。 例題2（等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值） 已知等差數(shù)列{an}中，a1＝13且S3＝S11，那么n取何值時(shí)，Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。 思路分析：先根據(jù)前n項(xiàng)和公式求公差d，再求出Sn的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在N*上的最值問(wèn)題；也可求出公差d后，利用通項(xiàng)公式an的符號(hào)解決。 答案：方法一　設(shè)公差為d，由S3＝S11得3×13＋d＝

7、11×13＋d，d＝－2，又a1＝13，∴Sn＝n2＋（a1－）n＝－n2＋14n＝－（n－7）2＋49， ∴當(dāng)n＝7時(shí)，Sn取得最大值，最大值是S7＝49； 方法二　同方法一得 d＝－2，an＝13－2（n－1）＝15－2n， 由 即 解得6.5≤n≤7.5， ∴當(dāng)n＝7時(shí)，Sn取得最大值， ∴Sn的最大值是S7＝＝49； 方法三　同方法一得d＝－2 又由S3＝S11知a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝4（a7＋a8）＝0， ∵a1＝13＞0， ∴a7≥0，a8≤0，知數(shù)列的前7項(xiàng)和最大， ∴S7＝7×13＋×（－2）＝49。 技巧點(diǎn)撥： 1.

8、 本題中方法一利用二次函數(shù)的最值確定n值；方法二利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式確定n值；方法三利用等差數(shù)列的性質(zhì)，由條件本身的特點(diǎn)確定n值。 2. 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常見(jiàn)方法： （1）方法一：利用通項(xiàng)公式確定n值 ①若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，n可由不等式組來(lái)確定； ②若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，n可由不等式組來(lái)確定。 （2）方法二：利用二次函數(shù)的最值確定n值 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)d≠0時(shí)，點(diǎn)（n，Sn）是二次函數(shù)y＝ax2＋bx（a≠0）上的間斷點(diǎn)，因此可利用二次函數(shù)的最值確定n值。 一類與等差數(shù)列有關(guān)的含絕對(duì)值的數(shù)列的求和 【滿分訓(xùn)練】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，求 思路分析：所求和中關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，故根據(jù)的正負(fù)去掉絕對(duì)值。先確定各項(xiàng)的正負(fù)，再根據(jù)正負(fù)去掉絕對(duì)值，然后求和。 答案：由于有正也有負(fù)，當(dāng)≥0時(shí)，；當(dāng)<0時(shí)，。 當(dāng)≥0時(shí)，，所以 技巧點(diǎn)撥： 這類數(shù)列的求和問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)是未考慮的情形，或者考慮了，但認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)。