2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題． [知識鏈接] 1．有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？ 答　這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題．命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對． 2．反證法主要適用于什么情形？ 答?、僖C的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；②如果從正面證明

2、，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．間接證明 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明． 2．反證法 從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)． 3．反證法步驟 反證法的過程包括下面3個步驟：反設(shè)，歸謬，存真． 4．反證法常見的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等． 5．反證法中常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下： 結(jié)論詞 至少有一個 至多有一個 至少有n個

3、至多有n個 反設(shè)詞 一個也沒有 (不存在) 至少有兩個 至多有 (n－1)個 至少有 (n＋1)個 結(jié)論詞 只有一個 對所有x成立 對任意x不成立 反設(shè)詞 沒有或至 少有兩個 存在某個x 不成立 存在某個x成立 結(jié)論詞 都是 一定是 p或q p且q 反設(shè)詞 不都是 不一定是 綈p且綈q 綈p或綈q 要點一　用反證法證明“至多”“至少”型命題 例1　已知x，y>0，且x＋y>2. 求證：，中至少有一個小于2. 證明　假設(shè)，都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(

4、x＋y)， 即x＋y≤2與已知x＋y>2矛盾． ∴，中至少有一個小于2. 規(guī)律方法　對于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對于此類問題，需仔細(xì)體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤． 跟蹤演練1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)． 證明　假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 這與已知ac＋bd>1矛盾， ∴a，b，

5、c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)． 要點二　用反證法證明不存在、惟一性命題 例2　求證對于直線l：y＝kx＋1，不存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點A、B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對稱． 證明　假設(shè)存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：y＝kx＋1與直線y＝ax垂直；(2)點A、B在直線l：y＝kx＋1上；(3)線段AB的中點在直線y＝ax上， 所以 由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④ 當(dāng)k2＝3時，l與雙曲線僅有一個交點，不合題意． 由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤ 由④

6、知x1＋x2＝，代入⑤整理得： ak＝3，這與①矛盾． 所以假設(shè)不成立，故不存在實數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y＝ax對稱． 規(guī)律方法　證明“惟一性”問題的方法：“惟一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思．證明后一層意思時，采用直接證法往往會相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設(shè)“有另外一個”，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便． 跟蹤演練2　求證：過一點只有一條直線與已知平面垂直． 已知：平面α和一點P. 求證：過點P與α垂直的直線只有一條． 證明　如圖所示，不論點P在α內(nèi)還是在α

7、外，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)． 假設(shè)過點P不止有一條直線與α垂直，如還有另一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，∴假設(shè)不成立，原命題成立． 要點三　用反證法證明否定性命題 例3　已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列． (1)解　設(shè)公差為d，由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．

8、 (2)證明　由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴　∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，這與p≠r矛盾． ∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列． 規(guī)律方法　(1)當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題時，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾． (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)

9、把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法． 跟蹤演練3　已知f(x)＝ax＋(a>1)，證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根． 證明　假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x0≠－1且＝－，由0<<1?0<－<1， 解得

10、這個三角形中________________． 答案　每一個內(nèi)角都小于60° 3．“ab 4．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是________________________________． 答案　方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根． 5．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)． 證明　(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)． 設(shè)a＝2n＋1(n∈Z)，則a2＝4n2＋

11、4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶數(shù)， ∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾． 由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)． 1.反證法證明的基本步驟： (1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； (2)歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； (3)存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立． 2．用反證法證題要把握三點： (1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的． (2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的

12、反面出發(fā)進行論證，就不是反證法． (3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 一、基礎(chǔ)達標(biāo) 1．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是________(填序號)． ①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾． 答案　①②③④ 2．否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為__________________________________． 答案　a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 解析　自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種

13、情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”． 3．有下列敘述： ①“a>b”的反面是“ay或x

14、可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為________． 答案　a，b都不能被5整除 解析　“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”． 5．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時，否定結(jié)論應(yīng)為________________________． 答案　a，b，c都不是偶數(shù) 解析　a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)． 6．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是__________________________________．

15、 答案　存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角 解析　“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”． 7．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證f(x)＝0無整數(shù)根． 證明　設(shè)f(x)＝0有一個整數(shù)根k，則 ak2＋bk＝－c.① 又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)， ∴a＋b為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時，顯然與①式矛盾； 當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)， 則ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)＝0無整數(shù)根

16、． 二、能力提升 8．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實數(shù))”，其反設(shè)為________________． 答案　a，b不全為0 解析　“a，b全為0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”． 9．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則下面關(guān)于三個數(shù)a＋，b＋，c＋的說法正確的是________． ①都大于2； ②至少有一個大于2； ③至少有一個不小于2； ④至少有一個不大于2. 答案?、? 解析　假設(shè)a＋<2，b＋<2，c＋<2， 則(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6. 又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2

17、＋2＝6， 這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2. 10．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是______________________． 答案　a≤－2或a≥－1 解析　若兩方程均無實根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，

18、b>0，c>0. 證明　用反證法： 假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負(fù)數(shù)，一個為正數(shù)， 不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0， 可得c>－(a＋b)， 又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)， ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab， 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2. ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0， 這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，∴假設(shè)不成立． ∴a>0，b>0，c>0成立． 12．已知a，b，c∈(0,1)，求證(1

19、－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 證明　假設(shè)三個式子同時大于， 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>， 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，① 又因為0