（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4 拋物線(xiàn) 2.4.2 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1

《（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4 拋物線(xiàn) 2.4.2 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.4 拋物線(xiàn) 2.4.2 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.4.2　拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)和離心率等．　2.會(huì)用拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)處理簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì) 類(lèi)型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 圖象 性 質(zhì) 焦點(diǎn) F F F F 準(zhǔn)線(xiàn) x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 對(duì)稱(chēng)軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) O(0,0) 離心率 e＝1

2、開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷正誤： (1)拋物線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形．(　　) (2)拋物線(xiàn)的范圍是x∈R.(　　) (3)拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形．(　　) 【解析】　(1)×.在拋物線(xiàn)方程中，以－x代x，－y代y，方程發(fā)生了變化，故拋物線(xiàn)不是中心對(duì)稱(chēng)圖形． (2)×.拋物線(xiàn)的方程不同，其范圍就不同，如y2＝2px(p＞0)的范圍是x≥0，y∈R. (3)√.拋物線(xiàn)y2＝±2py(p＞0)的對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線(xiàn)x2＝±2py(p＞0)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√ 2．拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a，

3、則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902138】 【解析】　由拋物線(xiàn)的定義知：點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離a等于點(diǎn)M到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x＝－的距離，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為a－. 【答案】　a－ [合 作 探 究·攻 重 難] 拋物線(xiàn)的方程及其幾何性質(zhì) 　(1)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若PF＝4，則△POF的面積為_(kāi)_______． (2)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上，直線(xiàn)l過(guò)F且垂直于x軸，l與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程. [思路探究]　(1)利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及

4、等邊三角形的性質(zhì)求解； (2)設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性表示出三角形的面積，解方程可得拋物線(xiàn)方程中的參數(shù)，即得拋物線(xiàn)的方程． 【自主解答】　(1)如圖，設(shè)P(x0，y0)，由PF＝x0＋＝4， 得x0＝3，代入拋物線(xiàn)方程得y＝4×3＝24. 所以y0＝2.所以S△POF＝OF·y0＝××2＝2. 【答案】　2 (2)由題意，設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝ax(a≠0)．焦點(diǎn)F，直線(xiàn)l：x＝， ∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，， ∴AB＝a，∵△OAB的面積為4， ∴··a＝4，∴a＝±4，∴拋物線(xiàn)的方程為y2＝±4x. [規(guī)律方法]　 1．求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，目標(biāo)就是

5、求解p，只要列出一個(gè)關(guān)于p的方程即可求解． 2．求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個(gè)步驟： (1)定位置(根據(jù)條件確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置及開(kāi)口)； (2)設(shè)方程(根據(jù)焦點(diǎn)和開(kāi)口設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)； (3)找關(guān)系(根據(jù)條件列出關(guān)于p的方程)； (4)得出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知雙曲線(xiàn)C1：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，若拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)的距離為2，求拋物線(xiàn)C2的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902139】 【解】　∵雙曲線(xiàn)C1：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2， ∴＝＝2，∴b＝a， ∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x±y＝c，

6、 ∴拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為＝2，∴p＝8， ∴所求的拋物線(xiàn)方程為x2＝16y. 拋物線(xiàn)中的應(yīng)用題 　河上有拋物線(xiàn)型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高米，問(wèn)水面上漲到與拋物線(xiàn)拱頂相距多少米時(shí)，小船開(kāi)始不能通航？ [思路探究]　→→→→ 【自主解答】　如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線(xiàn)方程為x2＝－2py(p>0)， 由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝，∴拋物線(xiàn)方程為x2＝－y.∵當(dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時(shí)船不能通航．設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.

7、 又知船露出水面上部分為米，設(shè)水面與拋物線(xiàn)拱頂相距為h，則h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上漲到距拋物線(xiàn)拱頂2米時(shí)，小船不能通航． [規(guī)律方法]　 1．本題的解題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字、符號(hào)、圖形、字母等)表達(dá)、分析、解決問(wèn)題． 2．以?huà)佄锞€(xiàn)為數(shù)學(xué)模型的實(shí)例很多，如拱橋、隧道、噴泉等，應(yīng)用拋物線(xiàn)主要體現(xiàn)在：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的方程．(2)利用已求方程求點(diǎn)的坐標(biāo)． [跟蹤訓(xùn)練] 2．某隧道橫斷面由拋物線(xiàn)及矩形的三邊組成，尺寸如2-4-1圖所示，某卡車(chē)空車(chē)時(shí)能通過(guò)此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車(chē)與箱共高4.5米，問(wèn)此車(chē)能否通過(guò)

8、此隧道？說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902140】 圖2-4-1 【解】　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－3，－3)，A(3，－3)． 設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝－2py(p＞0)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得9＝－2p·(－3)， ∴p＝，∴拋物線(xiàn)方程為x2＝－3y(－3≤y≤0)． ∵車(chē)與箱共高4.5 m， ∴集裝箱上表面距拋物線(xiàn)形隧道拱頂0.5 m．設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，－0.5)， D′的坐標(biāo)為(－x0，－0.5)，則x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±. ∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此車(chē)不能通過(guò)隧道. 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用 [探究問(wèn)題

9、] 1．直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F，與拋物線(xiàn)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 AB的長(zhǎng)是多少？ 【提示】　由拋物線(xiàn)的定義可知AF＝x1＋，BF＝x2＋， 所以AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. 2．斜率為k的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的長(zhǎng)是多少？ 【提示】　設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，則AB＝ ＝ ＝＝|x1－x2|. 這個(gè)公式稱(chēng)為弦長(zhǎng)公式． 　(1)已知過(guò)拋物線(xiàn)y2＝6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12，則該弦所在直線(xiàn)的傾斜角是________． (2)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且截直線(xiàn)

10、2x－y＋1＝0所得弦長(zhǎng)為的拋物線(xiàn)方程． [思路探究]　(1)應(yīng)用焦半徑公式求解；(2)應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求解． 【自主解答】　(1)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為.設(shè)直線(xiàn)方程為y＝k，與方程y2＝6x聯(lián)立得：4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴x1＋x2＝，∴x1＋x2＋3＝＋3＝12. ∴k2＝1，∴k＝±1. 故弦所在直線(xiàn)的傾斜角是或π. 【答案】　或π (2)設(shè)所求拋物線(xiàn)方程為y2＝ax(a≠0) ① 直線(xiàn)方程變形為y＝2x＋1

11、 ② 設(shè)拋物線(xiàn)截直線(xiàn)得弦長(zhǎng)為AB，將②代入①整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0， 則AB＝＝.解得a＝12或a＝－4. 故所求拋物線(xiàn)方程為y2＝12x或y2＝－4x. [規(guī)律方法]　直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題 直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為k. (1)一般的弦長(zhǎng)公式：|AB|＝|x1－x2|. (2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p. (3)求弦長(zhǎng)時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算常常借助根與系數(shù)的關(guān)系，這樣可以避免分別求x1，x2的麻煩，如果是利用弦長(zhǎng)求參數(shù)的問(wèn)題，只需要列出參數(shù)的方程

12、或不等式即可求解，而(x1，y2)或(y1，x2)一般是求不出來(lái)的. [跟蹤訓(xùn)練] 3．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為8，則p＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902141】 【解析】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角為45°，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，所以可設(shè)直線(xiàn)方程為y＝x－，代入拋物線(xiàn)方程得＝2px，即x2－3px＋＝0，故x1＋x2＝3p， 由拋物線(xiàn)的定義可知，|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝4p＝8，因此p＝2. 【答案】　2 [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙

13、基] 1．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝8，則PQ的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902142】 【解析】　PQ＝x1＋x2＋2＝10. 【答案】　10 2.如圖2-4-2，已知等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)y2＝6x上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______． 圖2-4-2 【解析】　設(shè)△AOB邊長(zhǎng)為a，則A，∴＝6×a.∴a＝12. 【答案】　12 3.如圖2-4-3所示是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在1時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米.

14、 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902143】 圖2-4-3 【解析】　設(shè)水面與拱橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，－2)．設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝－2py(p>0)，則22＝－2p×(－2)，得p＝1. 設(shè)水位下降1米后水面與拱橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，－3)，則x＝6，解得x0＝±，所以水面寬為2米． 【答案】　2 4．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)上，若點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于__________． 【解析】　拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－，因?yàn)镻(6，y)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，所以P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以6＋＝8，所以p＝4，焦點(diǎn)F到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于4. 【答案】　4 5．若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且AM＝，AF＝3，求此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解】　設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)， 設(shè)A(x0，y0)，由題知 M.∵AF＝3，∴y0＋＝3，∵AM＝， ∴x＋＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y. 8