23、線性規(guī)劃中的基本概念
名稱
定義
約束條件
變量x，y滿足的一次不等式組
目標函數(shù)
欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的線性函數(shù)
可行域
約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域
最優(yōu)解
使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解
線性規(guī)劃問題
在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題
, 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域)
, 1) 在直角坐標平面內(nèi)，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為________．
答案：1
解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由解得交點B(t，t＋1)．在y＝x＋1中，令
24、x＝0得y＝1，即直線y＝x＋1與y軸的交點為C(0，1)．由平面區(qū)域的面積S＝＝，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不合題意，舍去)．
變式訓練
若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m＝________．
答案：1
解析：如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，則－2m＜2，m＞－1.
由解得
即A(1－m，1＋m)．
由解得
即B.所圍成的區(qū)域為△ABC，則S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，
解得m＝－3(舍去)或m＝1.
, 2 線性規(guī)劃問題)
,
25、 2) (1) 設變量x，y滿足則目標函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為________；
(2) 變量x，y滿足約束條件若z＝2x－y的最大值為2，則實數(shù)m＝________．
答案：(1) 7 (2) 1
解析：(1) 作出可行域如圖所示，目標函數(shù)z＝2x＋3y的幾何意義是直線y＝－x＋在y軸上的截距為，因此z的最小值也就是直線截距的最小值，平移直線y＝－x，經(jīng)過點B(2，1)時，zmin＝2×2＋3×1＝7.
(2) 如圖所示，目標函數(shù)z＝2x－y取最大值2，即y＝2x－2時，畫出表示的區(qū)域，由于mx－y≤0過定點(0，0)，要使z＝2x－y取最大值2，則目標函數(shù)必過兩直線x
26、－2y＋2＝0與y＝2x－2的交點A(2，2)，因此直線mx－y＝0過點A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1.
變式訓練
已知實數(shù)x，y滿足
(1) 若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；
(2) 若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍．
解：由作出可行域，如圖中陰影部分所示．
(1) z＝表示可行域內(nèi)任一點與坐標原點連線的斜率，因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由得B(1，2)，∴ kOB＝＝2，即zmin＝2，∴ z的取值范圍是[2，＋∞)．
(2) z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意
27、一點與坐標原點之間距離的平方．因此x2＋y2的值最小為OA2(取不到)，最大值為OB2.由得A(0，1)，
∴ OA2＝02＋12＝1，OB2＝12＋22＝5.
∴ zmax＝5，z無最小值．
∴ z的取值范圍是(1，5]．
, 3 線性規(guī)劃的實際應用)
, 3) 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，求該企業(yè)可獲得的最大利潤．
解：設甲、乙兩種產(chǎn)品分
28、別需生產(chǎn)x，y噸，利潤為z萬元，則z＝5x＋3y.由題意可得，x，y滿足約束條件
作出可行域如圖所示．由圖可知當z＝5x＋3y經(jīng)過可行域中的點(3，4)時，直線z＝5x＋3y在y軸上的截距最大，故該企業(yè)可獲得的最大利潤zmax＝5×3＋3×4＝27(萬元)．
1. (2017·課標Ⅱ)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是________．
答案：－15
解析：目標函數(shù)即y＝－2x＋z，其中z表示斜率為k＝－2的直線系與可行域有交點時直線的截距值，數(shù)形結(jié)合可得目標函數(shù)在點B(－6，－3)處取得最小值z＝－12－3＝－15.
2. (2017·南京、鹽城)已知實數(shù)x，
29、y滿足則的最小值是________．
答案：
解析：表示可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，作出可行域，發(fā)現(xiàn)可行域內(nèi)的點(4，3)為最優(yōu)解，代入可得的最小值是.
3. (2017·課標Ⅰ)設x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________．
答案：－5
解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，
易求得A(－1，1)，B，C，由z＝3x－2y得y＝x－在y軸上的截距越大，z就越小，所以當直線z＝3x－2y過點A時，z取得最小值，所以z的最小值為3×(－1)－2×1＝－5.
4. (2017·無錫期末)設不等式表示的平面區(qū)域為M.若直線y＝kx－2上存在M內(nèi)的點，則實數(shù)
30、k的取值范圍是________．
答案：[2，5]
解析：由約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示．因為函數(shù)y＝kx－2的圖象是過點A(0，－2)，且斜率為k的直線l，由圖知，當直線l過點B(1，3)時，k取最大值5，當直線l過點C(2，2)時，k取最小值2，故實數(shù)k的取值范圍是[2，5]．
1. 已知實數(shù)x，y滿足則z＝2x－y的最大值是________．
答案：5
解析：作出可行域如圖陰影部分所示，發(fā)現(xiàn)當直線z＝2x－y過點C(3，1)時，目標函數(shù)z取最大值，且最大值為5.
2. 若實數(shù)x，y滿足則z＝2x＋3y的最大值為________．
答案：8
解析：由約束
31、條件作出可行域如圖陰影部分所示，可行域的三個頂點分別為(0，1)，(1，0)，(1，2)，由圖可得，目標函數(shù)過點(1，2)時，z取最大值，故z＝2x＋3y的最大值為8.
3. 已知實數(shù)x，y滿足若不等式4x2＋y2－axy≤0恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．
答案：5
解析：由得2≤≤4.由已知得a≥＋，則實數(shù)a的最小值為5.
4. 已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多
個點(x，y)使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m＝________.
答案：1
解析：作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．
若m＝0，則z＝x，目標函數(shù)z＝x＋my取得最小
32、值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意；若m≠0，則目標函數(shù)z＝x＋my可看作斜率為－的動直線y＝－x＋.
若m<0，則－>0，數(shù)形結(jié)合知使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；
若m>0，則－<0，數(shù)形結(jié)合可知，當動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(x，y)在線段AB上，使目標函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1.
綜上可知，m＝1.
1. 確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域，常用兩種方法：一是在直線的某一側(cè)取一特殊點；二是將不等式化為y>kx＋b(<，≥，≤)．
2. 在線性約束條件下，當b>0時，求
33、目標函數(shù)z＝ax＋by＋c的最值的步驟：
(1) 作出可行域；
(2) 作出直線l0：ax＋by＝0；
(3) 平移直線l0：ax＋by＝0，依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點；
(4) 解相關方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標函數(shù)的最值．
3. 常見的非線性目標函數(shù)的幾何意義：
(1) 表示點(x，y)與原點(0，0)的距離；
(2) 表示點(x，y)與點(a，b)的距離；
(3) 表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率值；
(4) 表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率值．[備課札記]
第3課時 基本不等式(對應學生用書(文)、(
34、理)97～98頁)
掌握基本不等式，能利用基本不等式推導不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．
① 了解基本不等式的證明過程.② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
1. (必修5P99練習4改編)若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是________．
答案：6
解析：由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，當且僅當a＝b＝1時取等號，所以3a＋3b的最小值是6.
2. (必修5P105復習題9改編)若f(x)＝x＋－2(x＜0)，則f(x)的最大值為________．
答案：－4
解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－
35、x)＋]－2≤－2－2＝－4，當且僅當－x＝，即x＝－1時取等號．
3. (必修5P105復習題10改編)若x>－3，則x＋的最小值為________．
答案：2－3
解析：∵ x＋3>0，∴ x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－3，當且僅當x＋3＝，即x＝－3＋時取等號．
4. (原創(chuàng))若對任意x>0，≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：
解析：因為≤a恒成立，所以a≥.又＝≤＝，當且僅當x＝，即x＝1時等號成立，所以a≥.
5. (原創(chuàng))已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________．
答案：9
解析：原不等式恒成立等價于m≤
36、，而(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當a＝b時等號成立．所以m≤9，即m的最大值為9.
1. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
對于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)．
2. 基本不等式≤
(1) 基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0；
(2) 等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號；
(3) 結(jié)論：兩個非負數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)．
3. 幾個重要的不等式
(1) 重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．當且僅當a＝b時取等號．
(2) ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．
(3) ≥(a，b∈R)，當且僅當a
37、＝b時取等號．[備課札記]
, 1 通過配湊法利用基本不等式求最值)
, 1) (1) 已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________；
(2) 若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝________．
答案：(1) 1 (2) 3
解析：(1) 因為x<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
當且僅當5－4x＝，即x＝1時等號成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.
(2) 因為x>2，所以x－2>0，則f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2
38、＝，即x＝3時取等號．
所以當f(x)取最小值時，x＝3，即a＝3.
變式訓練
若－4＜x＜1，求的最大值．
解：＝·＝[(x－1)＋]＝－.
∵ －4＜x＜1，∴ －(x－1)＞0，＞0.
從而≥2，
－≤－1，
當且僅當－(x－1)＝，即x＝0時取等號．即＝－1.
正數(shù)x，y滿足＋＝1.
(1) 求xy的最小值；
(2) 求x＋2y的最小值．
解：(1) 由1＝＋≥2得xy≥36，當且僅當＝，即x＝2，y＝18時取等號，故xy的最小值為36.
(2) 由題意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，當且僅當＝，即9x2＝2y2時取等號，故x＋2
39、y的最小值為19＋6.
, 2 通過常數(shù)代換法或消元法利用基本不等式求最值)
, 2) (1) 已知x>0，y>0且x＋y＝1，則＋的最小值為________；
(2) 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
答案：(1) 18 (2) 6
解析：(1) (常數(shù)代換法)
∵ x>0，y>0且x＋y＝1，∴ ＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.
當且僅當＝，即x＝2y時等號成立，
∴ 當x＝，y＝時，＋有最小值18.
(2) 由已知得x＝.
(解法1：消元法)
∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x＋3y
40、＝＋3y＝＋(3y＋3)－6≥2－6＝6，
當且僅當＝3y＋3，即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6.
(解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，
當且僅當x＝3y時等號成立．
設x＋3y＝t>0，則t2＋12t－108≥0，
∴ (t－6)(t＋18)≥0.
又t>0，∴ t≥6.
故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6.
變式訓練
(1) 已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________；
(2) 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，則x＋y的最小值為________．
答案：(1) 2
41、－3 (2) 18
解析：(1) 由xy＋2x＋y＝4，解得y＝，則x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－3≥2－3，當且僅當x＝－1時等號成立．
(2) 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ ＋＝1，
∴ x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2＝18，當且僅當＝，即x＝2y時取等號．又2x＋8y－xy＝0，∴ x＝12，y＝6，
即當x＝12，y＝6時，x＋y取最小值18.
, 3 基本不等式與函數(shù)的綜合應用)
, 3) 已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若對于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________．
答案：
42、
解析：對任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，可得
a≥－＋3.
設g(x)＝x＋，x∈N*.
∵ g(x)在(0，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，而x∈N*，∴ g(x)在x取距離2較近的整數(shù)值時達到最小，而距離2較近的整數(shù)為2和3，且g(2)＝6，g(3)＝.
∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min＝.
∴ －＋3≤－，
∴ a≥－，故a的取值范圍是.
變式訓練
要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5 m2，其中四邊形ABCD是一個矩形，四邊形EFCD是一個等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，設AB＝x m，BC＝
43、y m.
(1) 求y關于x的函數(shù)解析式；
(2) 怎樣設計x，y的長度，才能使所用材料最少？
解：(1) 如圖，作DH⊥EF于點H.
依題意，DH＝AB＝x，
EH＝＝×x＝x，
∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，
∴ y＝－x.
∵ x＞0，y＞0，
∴ －x＞0，解得0＜x＜，
∴ 所求解析式為y＝－x.
(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，
∴ DE＝＝x×＝x，
設框架的周長為l m.
則l＝(2x＋2y)＋2×x＋
＝2y＋6x＝－x＋6x
＝＋x≥2 ＝26.
當且僅當＝x，即x＝3時取等號，此時y＝－x＝4，
44、
∴ AB＝3 m，BC＝4 m時，能使整個框架所用材料最少．
, 4 基本不等式的實際應用)
, 4) 某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條直線段圍成的．按設計要求扇環(huán)面的周長為30 m，其中大圓弧所在圓的半徑為10 m．設小圓弧所在圓的半徑為x m，圓心角為θ(弧度)．
(1) 求θ關于x的函數(shù)解析式；
(2) 已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并求出x為何值時，y取
45、得最大值．
解：(1) 由題意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10)．
(2) 花壇的面積為θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)．
裝飾總費用為9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花壇的面積與裝飾總費用的比y＝＝－.令t＝17＋x，則y＝－≤，當且僅當t＝18時取等號，此時x＝1，θ＝.
所以當x＝1時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．
去年冬季，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元，售價為8元，月銷售5萬只．
(1) 據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高0.5元，
46、月銷售量將相應減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價最多為多少元？
(2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進行營銷策略改革，計劃每只售價x(x≥9)元，并投入(x－9)萬元作為營銷策略改革費用．據(jù)市場調(diào)查，每只售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少萬只．則當每只售價x為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤．
解：(1) 設每只售價為x元(x>8)，則月銷售量為萬只，由已知得(x－6)≥(8－6)×5，∴ x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得8≤x≤，即每只售價最多為18.5元．
(2) 下月的月總利潤y
47、＝(x－6)－(x－9)＝－x＋＝－x＋＝－＋.∵ x≥9，∴ ＋≥2＝，當且僅當＝，即x＝10時取等號，ymax＝14.
答：當x＝10時，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元．
1. (2017·蘇北四市模擬)若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，則＋的最小值是________．
答案：8
解析：由已知得x＝，而0＜x＜，所以y＞3.則＋＝y(tǒng)＋3＋＝y(tǒng)－3＋＋6≥8，當且僅當y＝4，x＝時等號成立．即＝8.
2. (2017·蘇州期末)已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值為________．
答案：
解析：由x＋y＝1，得x＋2＋y＋1＝4，＋＝(x＋2＋y＋1)＝[
48、4＋1＋＋]≥(5＋4)＝，當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號．即＝.
3. (2017·泰州、南通模擬)若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值是________．
答案：8
解析：＋＝＋＝(x＋y)－1＝＋＋4≥8.當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號．
4. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知a，b均為正數(shù)，且ab－a－2b＝0，則－＋b2－的最小值為________．
答案：7
解析：∵ a，b均為正數(shù)，且ab－a－2b＝0，即a＋2b＝ab，∴ ＋＝1.
則－＋b2－＝＋b2－1.
＋b＝＝＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當a＝4，b＝2時取等號．
∴ ＋b2≥≥8，當且僅當a＝
49、4，b＝2時取等號．
∴ －＋b2－＝＋b2－1≥7.
5. (2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是__________．
答案：8
解析：(解法1)∵ sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴ sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
兩邊同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·
50、tan Btan C＝，
由三角形為銳角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，則tan Atan Btan C＝＝2t＋＋4≥8，
當且僅當t＝1，即tan Btan C＝2時取等號．
(解法2)同解法1可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan A·tan Btan C，
∴ tan Atan Btan C＝tan A＋
51、tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2?tan Atan Btan C≥8，
當且僅當tan A＝2tan Btan C＝4時取等號．
, 7. 忽視最值取得的條件致誤)
典例 (1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值是________；
(2) 函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的最小值為________．
易錯分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件．如：∵ 1＝＋≥2，∴ ≥2，∴ x＋y≥2≥4，∴ (x＋y)min＝4.
(2) 沒有注意到x＜0這個條件，誤用基本不等式得2x＋≥2.
解析：(1) ∵ x＞0，y
52、＞0，
∴ x＋y＝(x＋y)＝3＋＋≥3＋2(當且僅當y＝x時取等號)，
∴ 當x＝＋1，y＝2＋時，(x＋y)min＝3＋2.
(2) ∵ x＜0，∴ y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，當且僅當x＝－時取等號，故y的最小值為1＋2.
答案：(1) 3＋2 (2) 1＋2
特別提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2) 盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致．
1. 已知正數(shù)a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________．
答案：36
解析：由＋＝－5≥2，得ab－5－6≥0，解得≥6，ab≥36
53、.
2. 已知a＋b＝2，b＞0，當＋取最小值時，實數(shù)a的值是________．
答案：－2
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，當且僅當a＝－2，b＝4時等號成立．
3. (2017·南京三模)已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍是________．
答案：[27，30]
解析：因為a，b，c為正實數(shù)，對a＋2b≤8c的左右兩邊同除以c，得＋≤8；對＋≤的左右兩邊同乘c，得＋≤2；令x＝，y＝，則條件可轉(zhuǎn)化為
再進行化簡，可得即求z＝＝3x＋8y的取值范圍，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題，畫出可行域，對y＝＋求導，并令導函數(shù)值為－，可得切點橫坐標為3，代入曲線，計算出切
54、點坐標為，利用線性規(guī)劃，可知z＝3x＋8y分別在(2，3)和處取最值，可得的取值范圍是[27，30]．
4. (2017·無錫期末)已知a>0，b>0，c>2，且a＋b＝2，則＋－＋的最小值為________．
答案：＋
解析：由a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，得＋－＋＝c＋＝＋.由2＝，可得＝＝≥＝，當且僅當b＝a時等號成立，則原式≥c＋＝≥·＝＋.當且僅當c＝2＋時等號成立．
1. a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而≥成立的條件是a≥0，b≥0，使用時要注意公式成立的前提條件．
2. 在運用基本不等式時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“
55、一正”(即條件中字母為正數(shù))“二定”(不等式的另一邊必須為定值)“三相等”(等號取得的條件)．
3. 正確理解定理：“和一定，相等時積最大；積一定，相等時和最小”．
4. 連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．
5. 掌握函數(shù)y＝ax＋(a>0，b>0)的單調(diào)性，特別是當運用基本不等式不能滿足“三相等”時．[備課札記]
第4課時 不等式的綜合應用(對應學生用書(文)、(理)99～100頁)
掌握不等式的綜合應用；掌握基本不等式的綜合應用；掌握不等式與其他函數(shù)方程等知識的綜合應用．
解決應用性問題的基本思路：讀題
56、(背景、結(jié)論)—條件—建?！忸}—反思—作答．
1. (必修5P102習題7改編)函數(shù)y＝x＋(x≠0)的值域是________．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析：當x>0時，y＝x＋≥2＝4；當x<0時，y＝x＋＝－≤－2＝－4.
2. (必修5P102習題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價．方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%.其中p>q>0，上述三種方案中提價最多的是________．
答案：方案丙
解析：設原來價格為A，方案甲：經(jīng)兩次提價后價格為A＝A；方案乙：經(jīng)
57、兩次提價后價格為A；方案丙：經(jīng)兩次提價后價格為A＝A[1＋＋·]．因為>，所以方案丙提價最多．
3. 設x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案：k≥2
解析：不等式轉(zhuǎn)化為k≥＋，因為∈(0，1]，所以k≥2.
4. (必修5P106復習題16改編)已知x>0，y>0且滿足＋＝1，則x＋y的最小值是________ .
答案：18
解析：∵ x>0，y>0，∴ x＋y＝(x＋y)＝2＋8＋＋≥10＋2＝18，當且僅當＝時等號成立．又＋＝1，∴ 當x＝6，y＝12時，x＋y有最小值18.
5. 若正數(shù)a
58、，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．
答案：[9，＋∞)
解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2，則ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0?≥3，∴ ab≥9.[備課札記]
, 1 含參數(shù)的不等式問題)
, 1) 若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有－2，求k的取值范圍．
解：由x2－x－2>0得x＜－1或x＞2，
由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0得(2x＋5)(x＋k)＜0，
因為－2是原不等式組的解，所以k＜2.
由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－
59、k.
因為原不等式組的整數(shù)解只有－2，
所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，
故k的取值范圍是[－3，2)．
變式訓練
解關于x的不等式＞0 (a∈R)．
解：原不等式等價于(ax－1)(x＋1)＞0.
① 當a＝0時，由－(x＋1)＞0，得x＜－1；
② 當a＞0時，不等式化為(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞；
③ 當a＜0時，不等式化為(x＋1)＜0；
若＜－1，即－1＜a＜0，則＜x＜－1；
若＝－1，即a＝－1，則不等式解集為空集；
若＞－1，即a＜－1，則－1＜x＜.
綜上所述，a＜－1時，解集為；a＝－1時，原不等式無解；－1＜a＜0時，解集為；a＝0時
60、，解集為{x|x＜－1}；a＞0時，解集為.
, 2 不等式在實際問題中的應用)
, 2) 某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時，每小時的油耗(所需要的汽油量)為L，其中k為常數(shù)，且60≤k≤100.
(1) 若汽車以120 km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過9 L，求x的取值范圍；
(2) 求該汽車行駛100 km的油耗的最小值．
解：(1) 由題意，當x＝120時，＝11.5，所以k＝100.
由≤9，得x2－145x＋4 500≤0，
∴ 45≤x≤1
61、00.
∵ 60≤x≤120，∴ 60≤x≤100.
(2) 設該汽車行駛100 km的油耗為y L，則
y＝·＝20－＋(60≤x≤120)．
令t＝，則t∈，
∴ y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000＋20－.
對稱軸為直線t＝.∵ 60≤k≤100，∴ ∈.
① 若≥，即75≤k≤100，則當t＝，即x＝時，ymin＝20－；
② 若＜，即60≤k＜75，則當t＝，即x＝120時，ymin＝－.
答：當75≤k≤100時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L；當60≤k＜75時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L.
現(xiàn)有一占地1 800 m
62、2的矩形地塊，中間三個矩形設計為花圃(如圖)，種植不同品種的觀賞花卉，周圍則均是寬為1 m的賞花小徑，設花圃占地面積為S m2，設矩形一邊的長為x(如圖所示)．
(1) 試將S表示為x的函數(shù)；
(2) 問應該如何設計矩形地塊的邊長，使花圃占地面積S取得最大值？
解：(1) 由題知S＝a(x－2)＋2a(x－3)＝a(3x－8)，
又3a＋3＝，則a＝－1，
所以S＝(3x－8)＝1 808－3x－.
(2) S＝1 808－3x－＝1 808－3≤1 808－240＝1 568(當且僅當x＝40時取等號)，此時另一邊長為45 m .
答：當x＝40 m，另一邊長為45 m時花
63、圃占地面積S取得最大值1 568 m2.
, 3 基本不等式的靈活運用)
, 3) 設x，y均為正實數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為__________．
答案：16
解析：由＋＝1，得xy＝8＋x＋y.
∵ x，y均為正實數(shù)，∴ xy＝8＋x＋y≥8＋2(當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16.故xy的最小值為16.
變式訓練
已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，則＋的最小值為________．
答案：
解析：將x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋.設＝t＞0，則原式＝＋＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，當且僅當t＝，即x
64、＝，y＝時等號成立．
1. 已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，則的最大值為________．
答案：
解析：∵ 正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，
∴ ＝(x＋2y)·＝10＋＋≥10＋2＝18，
當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號，
∴ 的最小值為18，∴ 的最大值為.
2. 若x＞0，y＞0，則＋的最小值為________．
答案：－
解析：設＝t＞0，則＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，當且僅當t＝＝時取等號．
3. 若x，y，z均為正實數(shù)，且x2＋y2＋z2＝1，則的最小值為________．
答案：3＋2
解析：x，y，z均為正實數(shù)，且x2＋y2＋z2＝1，可得
65、1－z2＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，則
≥＝＝≥＝3＋2.當且僅當z＝－1，即x＝y(tǒng)＝時，取得最小值3＋2.
4. 已知x＞y＞0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________．
答案：
解析：由x＞y＞0，可得x＋3y＞0，x－y＞0，
[(x＋3y)＋(x－y)]＝5＋＋≥5＋2＝9，可得＋≥＝≥.
當且僅當2(x－y)＝x＋3y，即x＝5y＝時，取得最小值.
5. (2017·蘇州期中)如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD＝120°，擬過線段BC上一點E設計一條直路EF(點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度)
66、，EF將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍．設EC ＝x百米，EF＝y(tǒng)百米．
(1) 當點F與點D重合時，試確定點E的位置；
(2) 試求x的值，使路EF的長度y最短．
解：(1) 平行四邊形ABCD的面積為S?ABCD＝2××1×2sin 120°＝，
當點F與點D重合時，S△CFE＝CE·CD·sin 120°＝x.
∵ S△CFE＝S?ABCD，∴ x＝，∴ x＝1，
∴ E是BC的中點．
(2) ① 當點F在CD上時，
∵ S△CFE＝CE·CF·sin 120°＝S?ABCD＝，
∴ CF＝.
在△CFE中，EF2＝CE2＋CF2－2CE·CF·cos 120°，
∴ y＝≥，當且僅當x＝1時取等號，
此時E在BC中點處且F與D重合，符合題意；
② 當點F在DA上時，
∵ S梯形CEFD＝·＝S?ABCD＝，
∴ DF＝1－x.
(ⅰ) 當CE＜DF時，過E作EG∥CD交DA于G，
在△EGF中，EG＝1，GF＝1－2x，∠EGF＝60°，由余弦定理得y＝；
(ⅱ) 當CE≥DF時，過E作EG∥CD交DA于G，
在△EGF中，
2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第六章 不等式學案
