2022年高考數(shù)學(xué) 專題02 分段函數(shù)及其應(yīng)用（第二季）壓軸題必刷題 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 專題02 分段函數(shù)及其應(yīng)用（第二季）壓軸題必刷題 理 1．已知函數(shù)，若函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有且有三個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，不是方程的根，當(dāng)時(shí)， ，令， 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 圖象如圖所示：其中可得時(shí) 與 圖象有三個(gè)交點(diǎn)，方程有且有三個(gè)根，函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.. 2．設(shè)f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實(shí)數(shù)a

2、的取值范圍是 A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，) 【答案】B 3．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則　　 A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】 定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，可得， 當(dāng)時(shí)，滿足， 可得時(shí)，， 則， ， ， ， ， ， ， ， ， 故選B. 4．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由可得：或， 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 函數(shù)在處有極小值， 繪制函數(shù)的圖象如圖所示

3、，觀察可得，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 本題選擇B選項(xiàng). 5．已知，若恰有兩個(gè)根，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示： 由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1． 不妨設(shè)x1＜x2，則x12=e=， 令=t（t＞1），則x1=﹣，x2=lnt， ∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，則g′（t）=﹣ =， ∴當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g′（t）＞0，當(dāng)t＞4時(shí)，g′（t）＜0， ∴當(dāng)t=4時(shí)，g（t）取得最大值g（4）=ln4﹣2=2ln2﹣2． ∴x1+x2≤2ln

4、2﹣2． 故選：C． 6．對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　)． A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪ C．∪ D．∪ 【答案】B 表示為區(qū)間形式即. 本題選擇B選項(xiàng). 7．已知函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以在的圖像與上的圖像一致，故的圖像如下圖所示： 因?yàn)橹本€與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，選A．

5、 8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的較大值，min表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　) A．16 B．－16 C．a(chǎn)2－2a－16 D．a(chǎn)2＋2a－16 【答案】B 【解析】 令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8． ①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此時(shí)f（x）=g（x

6、）； ②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此時(shí)f（x）＞g（x）； ③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此時(shí)f（x）＜g（x）． 綜上可知： （1）當(dāng)x≤a﹣2時(shí)，則H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4， H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12， （2）當(dāng)a﹣2≤x≤a+2時(shí)，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）； （3）當(dāng)x≥a+2時(shí)，則H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=m

7、in{f（x），g（x）}=g（x）， 故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12， ∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16． 故選：B． 9．若函數(shù)滿足且時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】 因?yàn)椋院瘮?shù)是周期為2的函數(shù)，作出時(shí)，的圖象，并根據(jù)周期擴(kuò)展到上，再作出函數(shù)的圖象，如圖所示： 從圖中易看出有8個(gè)交點(diǎn)，故選B. 10．已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)，定義函數(shù)： ，， ，，則下列說(shuō)法正確

8、的有（ ）個(gè) ①的定義域?yàn)椋? ②設(shè)，，則； ③； ④若集合，則中至少含有個(gè)元素． A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 【答案】C 【解析】 ①，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，成立，所以；當(dāng)時(shí)， 成立，所以；因此定義域?yàn)?；②；；，因此? ③因?yàn)椋?，因? ④由上可知為中元素，又 ，所以中至少含有個(gè)元素．綜上共有3個(gè)正確說(shuō)法，選C． 11．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)0，即； 當(dāng)時(shí)，由圖可知；綜上的取值范圍是，選D． 12．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，

9、則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 不妨設(shè)，則，得， 結(jié)合圖象可知， 則，故選C． 13．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 14．已知函數(shù)，若的圖像與軸有個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由于函數(shù)的圖像與軸有個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程有三個(gè)根， 故函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)． 由于函數(shù)，則其圖象如圖所示， 從圖象可知，當(dāng)直線位

10、于圖中兩虛線之間時(shí)兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)， 因?yàn)辄c(diǎn)能取到，則4個(gè)選項(xiàng)中區(qū)間的右端點(diǎn)能取到，排除BC， ∴只能從中選，故只要看看選項(xiàng)區(qū)間的右端點(diǎn)是選還是選， 設(shè)圖中切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則斜率， 又滿足：，解得， ∴斜率， 故選B． 15．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則　　 A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】 定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，可得， 當(dāng)時(shí)，滿足， 可得時(shí)，， 則， ， ， ， ， ， ， ， ， 故選B. 16．定義函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C．

11、 D． 【答案】C 【解析】 存在實(shí)數(shù)使得方程無(wú)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于值域不為， 當(dāng)時(shí)，時(shí)，， 時(shí)，，值域?yàn)?，不合題意，排除； 當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，值域?yàn)?，不合題意，排除； 當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，值域不為，合題意，排除，故選C. 17．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且滿足：， 則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 作出的解析式如圖所示： 根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性知， 且， ， ， 因?yàn)樗援?dāng) 時(shí)，函數(shù)等號(hào)成立， 又因?yàn)樵谶f減， 在遞增， 所以， 所以的取值范圍是，故選D. 18．著名的狄利克雷函數(shù)，其中

12、為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集.現(xiàn)有如下四個(gè)命題： ①； ②函數(shù)為奇函數(shù)； ③，恒有； ④，恒有. 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 對(duì)于①，時(shí)，，，故①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，時(shí)，， 時(shí)，， 不是奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤； 對(duì)③，時(shí)，， ， 時(shí)，， ，故③正確. 對(duì)④，時(shí)，， ，④錯(cuò)誤， 故真命題個(gè)數(shù)為，故選A. 19．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 20．設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋? 當(dāng) 時(shí)，為增函數(shù)，在]上的值域?yàn)?，由題意可得 當(dāng) 時(shí)，為減函數(shù)，在]上的值域?yàn)?，由題意可得 當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)?，不符合題意； 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 故選D.