（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復習 考前沖刺三 第三類 立體幾何問題重在“準”——證明與運算學案 文

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1、（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復習 考前沖刺三 第三類 立體幾何問題重在“準”——證明與運算學案 文 立體幾何解答題的基本模式是推理論證與體積(表面積)計算相結(jié)合，以某個幾何體為依據(jù)，分步設(shè)問，逐層加深.解決這類問題的原則，將問題轉(zhuǎn)化為平行、垂直的推理證明，準確運用相關(guān)定理等進行證明；同時以常見幾何體的表面積與體積公式為依據(jù)準確進行運算. 【例3】 (2016·全國Ⅱ卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝

2、，OD′＝2，求五棱錐D′－ABCFE的體積. (1)證明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.(證明) 又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF. 由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，又AC∥EF， 所以AC⊥HD′. (2)解　由AC∥EF，得＝＝.(運算) 由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4， 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3， 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，BD，HD′?平面BD′H， 所以AC⊥平面BD′H，由OD′?平面BD′H，于是AC⊥OD′，(證明) 又由OD′⊥

3、OH，AC∩OH＝O，AC，OH?平面ABC， 所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝，得EF＝.(運算) 五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝. 所以五棱錐D′－ABCFE的體積V＝××2＝. 探究提高　1.在立體幾何類解答題中，對于證明與計算過程中的得分點的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點步驟一定要寫，如第(1)問中的AC⊥BD，AD＝CD，＝；第(2)問中＝，OD′2＋OH2＝D′H2，AC∩OH＝O等.同時注意第(1)問基礎(chǔ)上，證明OD′⊥平面ABC. 2.在立體幾何類解答題中，通常都以常見的空間幾何體為載體去證明空間的垂直或平行關(guān)系及求幾何體體積，因此要牢記空間

4、幾何體的結(jié)構(gòu)特征，準確運用相關(guān)的判定定理、性質(zhì)定理、體積公式，如本題第(2)問中，AC⊥OD′及OD′⊥平面ABC的證明及五棱錐D′－ABCFE體積V的計算. 【訓練3】 (2018·日照一模)如圖，在幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F(xiàn)為DA上的點，EA＝DA＝AB＝2CB，M是EC的中點，N為BE的中點. (1)若AF＝3FD，求證：FN∥平面MBD； (2)若EA＝2，求三棱錐M－ABC的體積. (1)證明　連接MN，因M，N分別是EC，BE的中點， ∴MN∥CB且MN＝CB＝DA，又AF＝3FD， ∴FD＝DA， ∴MN＝FD， 又CB∥DA，∴MN∥DA，∴MN∥FD， ∴四邊形MNFD為平行四邊形，∴FN∥MD， 又FN?平面MBD，MD?平面MBD， 所以FN∥平面MBD. (2)解　連接AN，則AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，即AN⊥MN，又BE∩MN＝N，所以AN⊥平面EBC， 又在△ABC中，AN＝， S△MBC＝××2×1＝， ∴VM－ABC＝VA－MBC＝AN×S△MBC＝××＝， 所以三棱錐M－ABC的體積為.