2020版高考數(shù)學大二輪復習 7.1 計數(shù)原理、二項式定理學案 理

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1、第1講　計數(shù)原理、二項式定理 考點1　排列組合與計數(shù)原理的應用 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2. 名稱 排列 組合 相同點 都是從n個不同元素中取m(m≤n)個元素，元素無重復 不同點 ①排列與順序有關(guān)； ②兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同 ①組合與順序無關(guān)； ②兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同 [例1]　(1)[2019·陜西西安模擬]把15人分成前

2、、中、后三排，每排5人，則不同的排法種數(shù)共有(　　) A. B．AAAA C．A D．AA (2)[2019·安徽合肥質(zhì)檢]某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5個區(qū)域，如圖．社區(qū)準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各個區(qū)域中，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所種花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)共有(　　) A．96 B．114 C．168 D．240 【解析】　(1)把位置從1到15標上號，問題就轉(zhuǎn)化為15人站在15個位置上，共有A種情況． (2)先在a中種植，有4種不同的種植方法，再在b中種植，有3種不同的種植方法，再

3、在c中種植，若c與b同色，則d中有3種不同的種植方法，若c與b不同色，則c中有2種不同的種植方法，d中有2種不同的種植方法，再在e中種植，有2種不同的種植方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(種)．故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 解排列、組合的應用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù). 『對接訓練』 1．[2019·河南十所名校尖子生聯(lián)考]5位同學站成一排照相

4、，其中甲與乙必須相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是(　　) A．40 B．36 C．32 D．24 解析：由題可得，甲與乙相鄰的排法種數(shù)為AA＝48，甲站在兩端且與乙相鄰的排法種數(shù)為CA＝12，所以甲與乙相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是48－12＝36.故選B. 答案：B 2．[2019·廣東六校聯(lián)考]從兩個不同的紅球、兩個不同的黃球、兩個不同的藍球共六個球中任取兩個，放入紅、黃、藍三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法共有(　　) A．42種 B．36種 C．72種 D．46種 解析：分以下幾種情況：①取出的兩球同色時，有3種可能，取出的球只能

5、放在與球的顏色不同的兩個袋子中，有A種不同的放法，故不同的放法共有3A＝6(種)；②取出的兩球不同色時，有一紅一黃、一紅一藍、一黃一藍3種可能，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為3CC＝12(種)，取球后將兩球放入袋子中的方法有CC－3＝3(種)，所以不同的放法有12×3＝36(種)．綜上可得不同的放法共有42種，故選A. 答案：A 考點2　二項式定理 1．通項與二項式系數(shù) Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)． 2．各二項式系數(shù)之和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. [例2]　(1)[2019·

6、全國卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 (2)[2019·浙江卷]在二項式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________． 解析：(1)展開式中含x3的項可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為C＋2C＝4＋8＝12. (2)該二項展開式的第k＋1項為Tk＋1＝C()9－kxk，當k＝0時，第1項為常數(shù)項，所以常數(shù)項為()9＝16；當k＝1,3,5,7,9時，展開式的項的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為5. 答案：(1)A　(2)16　5

7、 (1)利用二項式定理求解的兩種常用思路 ①二項式定理中最關(guān)鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程解決的． ②二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值. (2)[警示]　在應用通項公式時，要注意以下幾點： ①它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定； ②Tr＋1是展開式中的第r＋1項，而不是第r項； ③公式中，a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置； ④對二項式(a－b)n展開式的通項公式要特別注意符號問題． 『對接訓練』 3．[

8、2019·天津卷]8的展開式中的常數(shù)項為______． 解析：本題主要考查二項式定理的應用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算． 二項展開式的通項Tr＋1＝C(2x)8－rr＝r·28－r·Cx8－4r，令8－4r＝0可得r＝2，故常數(shù)項為2×26×C＝28. 答案：28 4．[2019·浙江金華十校聯(lián)考]已知(x＋1)4＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，則a3＝(　　) A．64 B．48 C．－48 D．－64 解析：由(x＋1)4＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]4＋[(x－1)－1]8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋

9、a8(x－1)8，得a3·(x－1)3＝C·(x－1)3·2＋C·(x－1)3·(－1)5， ∴a3＝8－C＝－48.故選C. 答案：C 課時作業(yè)17　計數(shù)原理、二項式定理 1．[2019·湘贛十四校聯(lián)考]有一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學只會用綜合法證明，有3名同學只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學中任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)為(　　) A．8 B．15 C．18 D．30 解析：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有3＋5＝8種選法，

10、故選A. 答案：A 2．[2019·云南昆明一中檢測]從一顆骰子的六個面中任意選取三個面，其中只有兩個面相鄰的不同的選法共有(　　) A．20種 B．16種 C．12種 D．8種 解析：從一顆骰子的六個面中任意選取三個面共有C＝20種選法，其中有三個面彼此相鄰的有8種，所以只有兩個面相鄰的不同的選法共有20－8＝12(種)． 答案：C 3．[2019·河北唐山期末]在6的展開式中，x2的系數(shù)為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C6－rr＝(－1)rC22r－6x3－r，令r＝1，可得x2的系數(shù)為(－1)1×C×22×1－6

11、＝－.故選D. 答案：D 4．[2019·海南三亞華僑學校期末]六位選手依次演講，其中選手甲不是第一個也不是最后一個演講，則不同的演講次序共有(　　) A．480種 B．360種 C．240種 D．120種 解析：解法一　因為六位選手依次演講，其中選手甲不是第一個也不是最后一個演講，所以甲有C種情況，剩余的選手有A種情況，所以不同的演講次序共有C·A＝480(種)，故選A. 解法二　六位選手全排列有A種演講次序，其中選手甲第一個或最后一個演講有2A種情況，故不同的演講次序共有A－2A＝480(種)．故選A. 答案：A 5．[2019·河北保定期末](1－2x)5(2＋x)的

12、展開式中，x3的系數(shù)是(　　) A．－160 B．－120 C．40 D．200 解析：(1－2x)5(2＋x)的展開式中x3的系數(shù)是(1－2x)5的展開式中x3的系數(shù)的2倍與(1－2x)5的展開式中x2的系數(shù)的和，易知(1－2x)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝(－2)rCxr，令r＝3，得x3的系數(shù)為－8C＝－80，令r＝2，得x2的系數(shù)為4C＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展開式中x3的系數(shù)是－80×2＋40＝－120.故選B. 答案：B 6．[2019·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]若n的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為32，則該展開式的常數(shù)項為(　　) A．10

13、B．－10 C．5 D．－5 解析：由二項式系數(shù)之和為32，知2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－rCx.令10－r＝0，可得r＝4，所以常數(shù)項為(－1)4×21×C＝10，故選A. 答案：A 7．[2019·廣東廣州調(diào)研]某電臺做《一校一特色》訪談節(jié)目，分A，B，C三期播出，A期播出兩所學校，B期、C期各播出1所學校．現(xiàn)從8所候選學校中選出4所參與這三期節(jié)目的錄制，不同的選法共有(　　) A．140種 B．420種 C．840種 D．1 680種 解析：由題易知，不同的選法共有CCC＝840(種)．故選C. 答案：C 8．[20

14、19·河北定州模擬]將“福”“祿”“壽”三個字填入如圖所示的4×4小方格中，每個小方格內(nèi)只能填入一個字，且任意兩個字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有(　　) A.288種 B．144種 C．576種 D．96種 解析：依題意可分為以下3步：(1)先從16個格子中任選一格放入第一個字，有16種方法；(2)因為任意兩個字既不同行也不同列，所以第二個字有9個格子可以放，有9種方法；(3)第三個字有4個格子可以放，有4種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576(種)．故選C. 答案：C 9．[2019·海南三亞華僑學校期末]在24的展開式中，x的指數(shù)是整

15、數(shù)的項數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵24的展開式的通項公式為Tr＋1＝C()24－rr＝Cx，∴當r＝0,6,12,18,24時，x的指數(shù)是整數(shù)，故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項，故選D. 答案：D 10．[2019·第一次全國大聯(lián)考]若二項式n的展開式中第m項為常數(shù)項，則m，n應滿足(　　) A．2n＝3(m－1) B．2n＝3m C．2n＝(3m＋1) D．2n＝m 解析：由題意得，n的展開式的通項公式為Tr＋1＝(－1)rCx，當n＝r，即2n＝3r時，為常數(shù)項，此時r＝m－1，所以m，n應滿足2n＝3(m－1)，故選A. 答案：A 11．[2

16、019·甘肅蘭州實戰(zhàn)模擬]某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導人也站在前排并與中國領(lǐng)導人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　) A．A種 B．A種 C．AAA種 D．AA種 解析：中國領(lǐng)導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導人站在前排并與中國領(lǐng)導人相鄰，有A種站法；其他18國領(lǐng)導人可以任意站，因此有A種站法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有AA種不同的站法，故選D. 答案：D 12．[2019·遼寧營口模擬](1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)

17、最大的項是(　　) A．第＋1項 B．第n項 C．第n＋1項 D．第n項與第n＋1項 解析：在(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，第r＋1項的系數(shù)與第r＋1項的二項式系數(shù)相同，再根據(jù)中間項的二項式系數(shù)最大，展開式共有2n＋1項，可得第n＋1項的系數(shù)最大，故選C. 答案：C 13．[2019·陜西西安質(zhì)檢]如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個． 解析：當相同的數(shù)字不是1時，有C個“好數(shù)”；當相同的數(shù)字是1時，有CC個“好數(shù)”，由分類加法計數(shù)原理知共有C＋CC＝12個“好

18、數(shù)”． 答案：12 14．[2019·江西南昌重點中學段考](x－y＋2)6的展開式中y4的系數(shù)為________． 解析：解法一　因為(x－y＋2)6＝[(x＋2)－y]6，所以展開式中含y4的項為C(x＋2)2y4＝15x2y4＋60xy4＋60y4，所以展開式中y4的系數(shù)為60. 解法二　由于(x－y＋2)6的展開式中y4項不含x，所以(x－y＋2)6的展開式中y4項就是(2－y)6的展開式中的y4項，所以C×22(－y)4＝60y4，所以(x－y＋2)6的展開式中y4的系數(shù)為60. 答案：60 15．[2019·安徽示范高中高三測試]現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍

19、色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 解析：解法一　從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為C，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為C×C，3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為C×C，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C－C×C－C×C＝472. 解法二　若取出的3張卡片中沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為C×C×C＝64；若僅有2張卡片的顏色相同，則不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝144.若紅色卡片有1張，且剩余2張不同

20、色時，不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝192；若紅色卡片有1張，且剩余2張同色時，不同取法的種數(shù)為C×C×C＝72.所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(種)． 答案：472 16．[2019·陜西彬州第一次教學質(zhì)量監(jiān)測]如果n的展開式中各項系數(shù)之和為256，則展開式中的系數(shù)是________． 解析：令x＝1，可得各項系數(shù)之和為(3－1)n＝256，求得n＝8，則n＝8的通項公式是Tr＋1＝C·(3x)8－r·r＝C·38－r·(－1)r·x8－r，令8－r＝－2，解得r＝6.故展開式中的系數(shù)是C·32＝252. 答案：252 - 9 -