2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 6.2 橢圓、雙曲線、拋物線學(xué)案 理

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1、第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 考點1　圓錐曲線的定義及標準方程 1．圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M. 2．求解圓錐曲線標準方程“先定型，后計算” 所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值． [例1]　(1)[2019·全國卷Ⅰ]已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|

2、＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)[2019·全國卷Ⅲ]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________． 【解析】　(1)由題意設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標原點)，則sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝

3、1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝1.故選B. (2)本題主要考查橢圓的標準方程及定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運算． 不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據(jù)題意可知c＝＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)，則得所以M的坐標為(3，)． 【答案】　(1)B　(2)(3，) 　求圓錐曲線標準方程常用的方法 (1)定義法． (2)待定系數(shù)法． ①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避開

4、對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時a不具有p的幾何意義． ②中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設(shè)為＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)． 雙曲線方程可設(shè)為－＝1(mn>0)． 這樣可以避免討論和煩瑣的計算． 對于＋＝1和－＝1來說，抓住a、b、c間的關(guān)系是關(guān)鍵. 『對接訓(xùn)練』 1．[2019·江西九江模擬]點M(5,3)到拋物線y＝ax2(a≠0)的準線的距離為6，那么拋物線的方程是(　　) A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2 解析：當a>0時，可得y＝x2；當a<0時，可得y＝－x2. 答案：D

5、 2．[2019·吉林長春模擬]雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左焦點為(－3,0)，且C的離心率為，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由題意，可得c＝3.又由e＝＝，得a＝2.又b2＝32－22＝5，故雙曲線C的方程為－＝1，故選C. 答案：C 考點2　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ； (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝ . 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．

6、 [例2]　(1)[2019·全國卷Ⅱ]若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 (2)[2019·全國卷Ⅰ]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 【解析】　(1)本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，意在考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算． 由題意，知拋物線的焦點坐標為，橢圓的焦點坐標為(±，0)，所以＝，解得p＝8，故選D. (2)本題主要考查雙曲線

7、的幾何性質(zhì)，直線和雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的相關(guān)知識，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算． 通解　因為·＝0，所以F1B⊥F2B，如圖． 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO， 所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為＝，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因為tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離

8、心率e＝＝2. 優(yōu)解　因為·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A為F1B的中點，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c,0)可得B，因為點B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2. 【答案】　(1)D　(2)2 圓錐曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧 1．求解與橢圓曲線幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形．當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系

9、． 2．解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等. 『對接訓(xùn)練』 3．[2019·河北衡水中學(xué)一模]橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 解析：若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝，由＝，得＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，則c2＝k－5，由＝，得＝，得k＝21.綜上可知，選C. 答案：C 4．[2019·全國卷Ⅲ]雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一

10、條漸近線上，O為坐標原點．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：不妨設(shè)點P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝. 答案：A 考點3　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法 (1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標； (2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共

11、點個數(shù)． [例3]　[2019·全國卷Ⅰ]已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 【解析】　設(shè)直線l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由題設(shè)得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋， 由題設(shè)可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 則x1＋x2＝－. 從而－＝，得t＝－. 所以l的方程為y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2.從而－3y2＋

12、y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 故|AB|＝. 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的方法 1．通法：將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入雙曲線E的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元二次方程．解此方程或利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入的思想解題． 2．點差法：在涉及直線與圓錐曲線相交弦的中點與斜率問題時，常把直線與圓錐曲線的交點坐標代入圓錐曲線方程，作差后結(jié)合已知條件進行轉(zhuǎn)化求解． 提醒：利用點差法，對求出的結(jié)果要驗證其是否滿足相交的要求，即Δ＞0. 『對接訓(xùn)練』 5．[

13、2019·湖北武漢調(diào)研]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為，直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N. (1)求橢圓C的方程； (2)當△AMN的面積為時，求k的值． 解析：(1)由題意得 得b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝. 又點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝， 所以△AMN的面積S＝|MN|·d＝，

14、 由＝，得k＝±1. 所以當△AMN的面積為時，k＝±1. 課時作業(yè)15　橢圓、雙曲線、拋物線 1．[2019·江西南昌一模]已知拋物線方程為x2＝－2y，則其準線方程為(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．y＝ D．y＝－ 解析：由題意得，拋物線的準線方程為y＝，故選C. 答案：C 2．[2019·河南南陽期末]若雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線與直線y＝x垂直，則此雙曲線的實軸長為(　　) A．2 B．4 C．18 D．36 解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由題意可得－×＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故選C. 答案：C 3．[201

15、9·安徽合肥二檢]已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P，若F2B∥AP，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，由題意知，P為以F1A為直徑的圓上一點，所以F1P⊥AP，結(jié)合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2為等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以橢圓的離心率e＝＝，故選D. 答案：D 4．[2019·湖北六校聯(lián)考]已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)

16、的左、右焦點，P為雙曲線上一點，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長為2，則該雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 解析：依題意得2b＝2，tan60°＝＝，于是b＝，2c＝×，∴ac＝，a＝，得a＝1，因此該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選D. 答案：D 5．[2019·湖南四校聯(lián)考]已知A，B，P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上不同的三點，且A，B的連線經(jīng)過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPA·kPB＝3，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：由雙曲線的對稱性知，點A，B關(guān)于原

17、點對稱，設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，則－＝1，－＝1，又kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝＝＝3，所以離心率e＝＝2，故選C. 答案：C 6．[2019·湖南長沙一模]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(a>0)在C上，|AF|＝3.若直線AF與C交于另一點B，則|AB|＝(　　) A．12 B．10 C．9 D．4.5 解析：由拋物線的定義知|AF|＝＋＝3，解得p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x，A(1，a)(a＞0)，則a2＝8，解得a＝2或a＝－2(舍去)，所以A(1,2)．又焦點F(2,0)，所以直線AF的斜

18、率為－2，直線AF的方程為y＝－2(x－2)，代入拋物線C的方程y2＝8x，得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，|AB|＝xA＋xB＋p＝5＋4＝9，故選C. 答案：C 7．[2019·湖南長沙模擬]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以

19、|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝a，所以b＝＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0，故選A. 答案：A 8．[2018·全國卷Ⅰ]設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由題意知直線MN的方程為y＝(x＋2)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程，得 解得或不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)

20、． 又∵拋物線焦點為F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)． ∴·＝0×3＋2×4＝8.故選D. 答案：D 9．[2019·云南昆明診斷]已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，B為C的短軸的一個端點，直線BF1與C的另一個交點為A，若△BAF2為等腰三角形，則＝(　　) A. B. C. D．3 解析：如圖，不妨設(shè)點B在y軸的正半軸上，根據(jù)橢圓的定義，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由題意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故選A. 答案：A 10．[2019

21、·廣東仲元中學(xué)模擬]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(－2,1)，則直線l的斜率為(　　) A. B. C. D．1 解析：由＝，得＝＝，∴a2＝4b2，則橢圓C的方程為x2＋4y2＝4b2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，把A，B的坐標代入橢圓方程，得①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)， ∴＝－＝－＝. ∴直線l的斜率為.故選C. 答案：C 11．[2019·河北衡水中學(xué)五調(diào)]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，

22、F2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線，交雙曲線右支于點M，若∠F1MF2＝45°，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：如圖，作OA⊥F1M于點A，F(xiàn)2B⊥F1M于點B，∵F1M與圓x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，∴|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又點M在雙曲線上， ∴|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a，整理，得b＝a，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選A. 答案：A 12．[2019·重慶七校聯(lián)考]已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F

23、1，F(xiàn)2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則＋＝(　　) A．4 B．2 C．2 D．3 解析：設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，不妨設(shè)焦點在x軸上且點P與點F2在y軸同一側(cè)，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2. 又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a

24、2)(a1－a2)cos，化簡得3a＋a＝4c2，兩邊同除以c2，得＋＝4.故選A. 答案：A 13．[2019·吉林長春質(zhì)檢]若橢圓C的方程為＋＝1，則其離心率為________． 解析：解法一　由已知可得a＝2，c＝1，故橢圓C的離心率e＝＝. 解法二　由已知得橢圓C的離心率e＝＝＝＝. 答案： 14．[2019·河南鄭州一中摸底測試]從拋物線y＝x2上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5.設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為________． 解析：由題意，得x2＝4y，則拋物線的準線方程為y＝－1.設(shè)P(x0，y0)，則由拋物線的定義知|PM|＝y(tǒng)0＋1，

25、所以y0＝4，所以|x0|＝4，所以S△MPF＝×|PM|×|x0|＝×5×4＝10. 答案：10 15．[2019·河南安陽二模]已知拋物線C1：y＝ax2(a>0)的焦點F也是橢圓C2：＋＝1(b>0)的一個焦點，點M，P分別為C1，C2上的點，則|MP|＋|MF|的最小值為________． 解析：將P代入＋＝1，可得＋＝1， ∴b＝，∴c＝1，∴拋物線C1的焦點F的坐標為(0,1)，∴拋物線C1的方程為x2＝4y，準線為直線y＝－1.設(shè)點M在準線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值．易知當D，M，

26、P三點共線時，|MP|＋|MD|最小，最小值為1－(－1)＝2. 答案：2 16．[2019·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A為雙曲線C虛軸的一個端點，若線段AF2與雙曲線右支交于點B，且|AF1||BF1||BF2|＝341，則雙曲線C的離心率為________． 解析：由雙曲線的定義可得|BF1|－|BF2|＝2a，因為|BF1||BF2|＝41，所以|BF1|＝4|BF2|，所以3|BF2|＝2a.又|AF1|＝|AF2|，|AF1||BF2|＝31，所以|AF2|＝3|BF2|，所以|AF2|＝2a.不妨設(shè)A(0，b)，因為F2(c,0)，所以|AF2|＝，所以2a＝，又a2＋b2＝c2，所以5a2＝2c2，所以＝，所以e＝＝，即雙曲線C的離心率為. 答案： - 13 -