2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程 縱觀近幾年的高考試題，高考對曲線與方程的考查，主要有以下兩個方面：一是確定的軌跡的形式或特點；二是求動點的軌跡方程，同時考查到求軌跡方程的基本步驟和常用方法.一般地，命題作為解答題一問，小題則常常利用待定系數(shù)法求方程或利用方程判斷曲線類別. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，重點說明求點的軌跡方程問題的常見解法. 1、求點軌跡方程的步驟： （1）建立直角坐標系 （2）設點：將所求點坐標設為，同時將其他相關點坐標化（未知的暫用參數(shù)表示） （3）列式：從已知條件中發(fā)掘的關系，列出方程 （

2、4）化簡：將方程進行變形化簡，并求出的范圍 2、求點軌跡方程的方法 （1）直接法：從條件中直接尋找到的關系，列出方程后化簡即可 （2）代入法：所求點與某已知曲線上一點存在某種關系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關于的方程 （3）定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關曲線的要素，求出曲線方程.常見的曲線特征及要素有： ① 圓：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡 直角→圓：若，則點在以為直徑的圓上 確定方程的要素：圓心坐標，半徑 ② 橢圓：平面上到兩個定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點距離）的點

3、的軌跡 確定方程的要素：距離和，定點距離 ③ 雙曲線：平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于定點距離）的點的軌跡 注：若只是到兩定點的距離差為常數(shù)（小于定點距離），則為雙曲線的一支 確定方程的要素：距離差的絕對值，定點距離 ④ 拋物線：平面上到一定點的距離與到一定直線的距離（定點在定直線外）相等的點的軌跡 確定方程的要素：焦準距：.若曲線位置位于標準位置（即標準方程的曲線），則通過準線方程或焦點坐標也可確定方程 （4）參數(shù)法：從條件中無法直接找到的聯(lián)系，但可通過一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程. 【經(jīng)典例題】

4、 例1.【2018屆北京石景山區(qū)一模】如圖，已知線段上有一動點（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數(shù)），則點的運動軌跡為（ ） A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分 【答案】B 例2.設點A到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點A到圖形C的距離．已知點A（1，0），圓C：x2+2x+y2=0，那么平面內(nèi)到圓C的距離與到點A的距離之差為1的點的軌跡是（　?。? A. 雙曲線的一支 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 射線 【答案】D 【解析】圓的標準方程為， 如圖所示，設圓心坐標為，滿足

5、題意的點為點，由題意有： ，則， 設，結合幾何關系可知滿足題意的軌跡為射線. 本題選擇D選項. 例3.動點在曲線上移動，點和定點連線的中點為，則點的軌跡方程為（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 例4.已知直線與拋物線交于兩點，且，其中為坐標原點，若于，則點的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】思路：先處理條件可得由為鄰邊的平行四邊形對角線相等，所以該四邊形為矩形.即，設，即，聯(lián)立直線與拋物線方程并利 聯(lián)立方程：，消去可得：

6、 ，由可得 ，即直線過定點 即 的軌跡為以為直徑的圓 則該圓的圓心為，半徑 軌跡方程為 答案：B 例5.點是圓上的動點，定點，線段的垂直平分線與直線的交點為，則點的軌跡方程是___． 【答案】 【解析】由垂直平分線的性質有，所以， 又，根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是C，F(xiàn)為焦點，以4為實軸長的雙曲線， ，， 所以點Q的軌跡方程是. 例6.【2018屆福建省漳州市高三上學期期末】已知直線過拋物線： 的焦點， 與交于， 兩點，過點， 分別作的切線，且交于點，則點的軌跡方程為________. 【答案】 ，故原拋物線C相應的點P的軌跡方程為，故答案為.

7、 例7.【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足. (1) 求點P的軌跡方程； (2)設點Q在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 【答案】(1) .(2)證明略. 【解析】 （2）由題意知.設,則 ， . 由得，又由（1）知，故 . 所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F. 例8.已知拋物線：的焦點為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點. （I）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ； （II）若△

8、PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程. 【答案】（I）詳見解析；（II）． 【解析】由題設.設，則，且 . 記過兩點的直線為，則的方程為. （I）由于在線段上，故. 記的斜率為，的斜率為，則 當與軸不垂直時，由可得.而，所以. 當與軸垂直時，與重合.所以，所求軌跡方程為. 例9.【2018屆河北衡水金卷】已知焦點為的的拋物線：（）與圓心在坐標原點，半徑為的交于，兩點，且，，其中，，均為正實數(shù). （1）求拋物線及的方程； （2）設點為劣弧上任意一點，過作的切線交拋物線于，兩點，過，的直線，均于拋物線相切，且兩直線交于點，求點的軌跡方程. 【答

9、案】(1)答案見解析；(2). 【解析】試題分析:(1)由題意可得到將點A坐標代入方程可得到m=2,進而得到點A的坐標，由點點距得到半徑；（2）設，，，,由直線和曲線相切得到，：，同理： ，聯(lián)立兩直線得，根據(jù)點在圓上可消參得到軌跡. 解析： （1）由題意，，故。 所以拋物線的方程為. 將代入拋物線方程，解得， 因此， 令，解得， 故：， 同理： . 則由 解得 因直線 ，. 則由 得， 則 因此根據(jù)點在圓上滿足方程，消參得到. 例10：如圖所示，點在圓上運動，軸，點在的延長線上，且 （1）求點的軌跡方恒，并求當為何值時，的軌跡表示焦點在軸上的橢圓

10、（2）當時，在（1）中所得曲線記為，已知直線，是上的動點，射線（為坐標原點）交曲線于點，又點在上且滿足，求點的軌跡方程 設 軸 ① 由在上可知：，代入①可得： 設，進而得到與的聯(lián)系：，再尋找的聯(lián)系，結合條件可知，從而用即可表示出與的聯(lián)系（而不用再設字母）：.所以可以用代入法分別將兩組關系代入至直線與橢圓方程，再消去即可得到的軌跡方程 解：由（1）可得曲線方程為： 設 設 由線段比例可得： 由同理可得： 分別在直線與橢圓上 ，代入可得： ，化簡可得：的軌跡方程為： . 【精選精練】 1．到兩坐標

11、軸的距離相等的動點的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．【2018屆江西省新余市二?！啃甭蕿榈闹本€過拋物線焦點，交拋物線于，兩點，點為中點，作，垂足為，則下列結論中不正確的是（ ） A. 為定值 B. 為定值 C. 點的軌跡為圓的一部分 D. 點的軌跡是圓的一部分 【答案】C 【解析】由題意知拋物線的焦點為，故直線的方程為， 由消去y整理得， 設， 則， ∴． 選項A中，，為定值．故A正確． 選項B中，，為定值，故B正確． 選項C中，由消去k得，故點的軌跡不是圓的一部分，所以C不正確．

12、選項D中，由于，直線過定點，所以點Q在以為直徑的圓上，故D正確． 綜上選C． 3．【2018屆江西省監(jiān)測】已知向量， 滿足， ， ，若為的中點，并且，則點的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 4．如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段， 為垂足. 當點在圓上運動時，滿足 的動點的軌跡是橢圓，求這個橢圓離心率的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設，則，代入圓的方程，即，∵，∴動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，其中， ，則，故而可得，故，即，故選D. 5．點P(4，－2)與圓x2＋y2

13、＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是 (　 　) A. (x＋2)2＋(y－1)2＝1 B. (x－2)2＋(y＋1)2＝4 C. (x＋4)2＋(y－2)2＝4 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝1 【答案】D 6．【2018屆廣西二?！吭O為橢圓上任意一點，，，延長至點，使得，則點的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 為橢圓上任意一點,且A,B為焦點， ，又，，所以點的軌跡方程為. 7．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周長為22,則頂點

14、C的軌跡方程是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 8．【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學高三上學期期末】橢圓M:長軸上的兩個頂點為、，點P為橢圓M上除、外的一個動點，若且，則動點Q在下列哪種曲線上運動( ) A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線 【答案】B 【解析】設P（m，n），Q（x，y） ∵橢圓M的方程為， ∴作出橢圓如圖所示，可得長軸的端點為A（﹣a，0），B（a，0） ∴=（x+a，y），=（m+a，n） ∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣ ① 此方程對應的圖形是焦

15、點在y軸上的橢圓，可得動點Q的軌跡是一個橢圓，B項是正確答案故選B. 9.已知橢圓為橢圓上一動點， 為橢圓的左焦點則線段的中點的軌跡是（ ） A. 橢圓 B. 圓 C. 雙曲線的一支 D. 線段 【答案】A 【解析】設線段的中點 ∴點的軌跡方程為 ∴線段 的中點 的軌跡是橢圓． 故選A． 10.過圓 ： 上的點 作 軸的垂線，垂足為 ，點 滿足 .當 在 上運動時，記點 的軌跡為 . （1）求 的方程； 【答案】（1） 【解析】試題分析： （1）設點坐標，點坐標，由題意可得點坐標為滿足則點的軌跡的方程為． 11.已知坐標平面上

16、兩個定點，，動點滿足：． （1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形； (2)記(1)中的軌跡為，過點的直線被所截得的線段的長為，求直線的方程． 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出點M的軌跡方程，然后說明軌跡的形狀； （2）設出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程． 詳解：（1） 由得 化簡得：，軌跡為圓 （2）當直線的斜率不存在時，直線 符合題意； 當直線的斜率存在時，設的方程為： 由圓心到直線的距離等于得 此時直線的方程為：. 12.已知圓，直線， . （1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點； （2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線. 【答案】(1)見解析(2) 的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓 試題解析： 證明：（1）圓的圓心為，半徑為， 所以圓心到直線的距離. 所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的交點； （2）設中點為， 所以的軌跡方程是， 它是一個以為圓心，以為半徑的圓.