2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練16 直線與圓 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓(xùn)練16 直線與圓 理 1.已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.+y2= B.+y2= C.+y2= D.+y2= 2.若直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點(diǎn),則△ECF的面積為(　　) A. B.2 C. D. 3.(2018全國Ⅲ,理6)已知直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(　　) A.[2,6] B.[4,8] C.

2、[,3] D.[2,3] 4.已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2-4a+3=0,函數(shù)f(x)=asin x+bcos x+1的最大值記為φ(a,b),則φ(a,b)的最小值是(　　) A.1 B.2 C.+1 D.3 5.已知兩條直線l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,則a=　　　　　.? 6.已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),且直線3x+4y+2=0與該圓相切,則該圓的方程為　　　　　　　　　　　　.? 7.已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F關(guān)于直線y=x對稱,直線4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|

3、=6,則圓C的方程為　.? 8.已知P是拋物線y2=4x上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)M,N是圓(x-2)2+(y-5)2=1上的動點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值是　　　　　.? 9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線x-y=4相切. (1)求圓O的方程; (2)若圓O上有兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程; (3)設(shè)圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn),若圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍. 10. 已知圓O:x2+y2=4,點(diǎn)A(,0),以線段AB為直徑的圓

4、內(nèi)切于圓O,記點(diǎn)B的軌跡為Γ. (1)求曲線Γ的方程; (2)直線AB交圓O于C,D兩點(diǎn),當(dāng)B為CD的中點(diǎn)時,求直線AB的方程. 11.已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn). (1)求k的取值范圍; (2)若=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|. 二、思維提升訓(xùn)練 12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為(　　) A.3 B.2 C. D.2 13.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將

5、△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是(　　) A.(0,1) B. C. D. 14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上.若≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是　　　　　.? 15.已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=2,則|CD|=　　　　　.? 16. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4). (1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6

6、上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程; (3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 17.已知以點(diǎn)C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn). (1)求證:△AOB的面積為定值; (2)設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程; (3)在(2)的條件下,設(shè)P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點(diǎn),求|PB|+|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo). 專題能力訓(xùn)

7、練16　直線與圓 一、能力突破訓(xùn)練 1.C　解析 因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上,排除B;代入點(diǎn)A(0,1),排除A,D.故選C. 2.B　解析 由題意,圓心為C(2,-3),半徑為r=3,則△ECF的高h(yuǎn)=d=,底邊長為l=2=2=4,所以S△ECF=4=2,故選B. 3.A　解析 設(shè)圓心到直線AB的距離d==2 點(diǎn)P到直線AB的距離為d'. 易知d-r≤d'≤d+r,即d'≤3 又AB=2,∴S△ABP=|AB|·d'=d', ∴2≤S△ABP≤6. 4.B　解析 由題意知φ(a,b)=+1,且(a,b)滿足a2+b2-4a+3=0,即(a,b)在圓C:(a-2)2+b2=

8、1上,圓C的圓心為(2,0),半徑為1,表示圓C上的動點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離,最小值為1,所以φ(a,b)的最小值為2.故選B. 5.0或　解析 當(dāng)a=0時,l1⊥l2;當(dāng)a≠0時,由-2a2=-1,解得a=,所以a=0或a= 6.(x-1)2+y2=1　解析 因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以a=1,b=0.又根據(jù)=1=r,所以圓的方程為(x-1)2+y2=1. 7.x2+(y-1)2=10　解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)C(0,1)是圓心,C到直線4x-3y-2=0的距離d==1. ∵圓截直線4x-3y-2=0的弦長為6, ∴圓的半

9、徑r= ∴圓方程為x2+(y-1)2=10. 8-1　解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),圓(x-2)2+(y-5)2=1的圓心為C(2,5),根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而推斷出當(dāng)P,C,F三點(diǎn)共線時,點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值為|FC|=,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1. 9.解 (1)依題意,圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-y=4的距離, 即r==2.所以圓O的方程為x2+y2=4. (2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0. 則圓心O到直線MN的距離d= 由垂徑定理,得+()2=

10、22,即m=± 所以直線MN的方程為2x-y+=0或2x-y-=0. (3)設(shè)P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2, 0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列, 得=x2+y2, 即x2-y2=2. 因?yàn)?(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1), 且點(diǎn)P在圓O內(nèi),所以由此得0≤y2<1.所以的取值范圍為[-2,0). 10.解 (1)設(shè)AB的中點(diǎn)為M,切點(diǎn)為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4. 取點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A',連接A

11、'B, 則|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|. 所以點(diǎn)B的軌跡是以A',A為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.其中,a=2,c=,b=1,故曲線Γ的方程為+y2=1. (2)因?yàn)锽為CD的中點(diǎn),所以O(shè)B⊥CD, 則設(shè)B(x0,y0), 則x0(x0-)+=0. 又=1,解得x0=,y0=± 則kOB=±,kAB=,則直線AB的方程為y=±(x-), 即x-y-=0或x+y-=0. 11.解 (1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1. 因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以<1. 解得

12、),N(x2,y2). 將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2=,x1x2= =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8. 由題設(shè)可得+8=12,解得k=1, 所以l的方程為y=x+1. 故圓心C在l上,所以|MN|=2. 二、思維提升訓(xùn)練 12.A　解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則A(0,1),B(0,0),D(2,1). 設(shè)P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=, 即圓的方程是(x-2)2+y2= 易知=(x,y-1),=

13、(0,-1),=(2,0). 由=+, 得所以μ=,λ=1-y, 所以λ+μ=x-y+1. 設(shè)z=x-y+1,即x-y+1-z=0. 因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在圓(x-2)2+y2=上, 所以圓心C到直線x-y+1-z=0的距離d≤r, 即,解得1≤z≤3, 所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故選A. 13.B　解析 由題意可得,△ABC的面積為S=AB·OC=1, 由于直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點(diǎn)為M,由-0可得點(diǎn)M在射線OA上. 設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N,又直線BC的方程為x+y=1, 則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合,則點(diǎn)N為線段BC的

14、中點(diǎn),則-=-1,且,解得a=b= ②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間,則點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間,由題意可得△NMB的面積等于,即|MB|·yN=,即,解得a=>0,則b< ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè),則-<-1,b>a,設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P,則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為, 此時,NP= = =, 此時,點(diǎn)C(0,1)到直線y=ax+b的距離為, 由題意可得,△CPN的面積等于, 即, 化簡,得2(1-b)2=|a2-1|. 由于此時01-, 綜合以上可得,b=符合題意,且b<

15、,b>1-,即b的取值范圍是 14.[-5,1]　解析 設(shè)P(x,y),由20,易得x2+y2+12x-6y≤20. 把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由可得由2x-y+5≤0表示的平面區(qū)域及P點(diǎn)在圓上,可得點(diǎn)P在圓弧EPF上,所以點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[-5,1]. 15.4　解析 因?yàn)閨AB|=2,且圓的半徑R=2, 所以圓心(0,0)到直線mx+y+3m-=0的距離為=3. 由=3,解得m=- 將其代入直線l的方程,得y=x+2,即直線l的傾斜角為30°. 由平面幾何知識知在梯形ABDC中, |CD|==4. 16.解

16、 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0). 因?yàn)閳AN與x軸相切,與圓M外切,所以0

17、=0. (3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 因?yàn)锳(2,4),T(t,0),, 所以 ① 因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. ② 將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是點(diǎn)P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點(diǎn), 所以5-55+5, 解得2-2t≤2+2 因此,實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2-2,2+2]. 17.(1)證明 由題設(shè)知,圓C的方程為(x-t)2+=t2+,化簡,得x2-2tx+

18、y2-y=0.當(dāng)y=0時,x=0或2t,則A(2t,0);當(dāng)x=0時,y=0或,則B,故S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|=4為定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,∴原點(diǎn)O在MN的中垂線上. 設(shè)MN的中點(diǎn)為H,則CH⊥MN, ∴C,H,O三點(diǎn)共線,則直線OC的斜率k=,∴t=2或t=-2. ∴圓心為C(2,1)或(-2,-1), ∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5. 由于當(dāng)圓的方程為(x+2)2+(y+1)2=5時,直線2x+y-4=0到圓心的距離d>r,此時不滿足直線與圓相交,舍去,故圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. (3)解 點(diǎn)B(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為B'(-4,-2),則|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|. 又點(diǎn)B'到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B'C|-r==3=2, 所以|PB|+|PQ|的最小值為2,直線B'C的方程為y=x,則直線B'C與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為