2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.2 分段函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊
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1、第2課時 分段函數(shù) 1.會用解析法及圖象法表示分段函數(shù). 2.給出分段函數(shù),能研究有關(guān)性質(zhì). 3.對生活中的一些實(shí)例,會用分段函數(shù)表示. 1.分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值范圍,有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù). 2.分段函數(shù)是一個函數(shù),其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集;各段函數(shù)的定義域的交集是空集. 溫馨提示:(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成,但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù). (2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的,也可以是不等長的.如y=其“段”是不等長的. (3)分段函數(shù)的圖象要分段來畫. 1.某市空調(diào)公共汽車的標(biāo)價按下列規(guī)則判定:
2、 ①5千米以內(nèi),票價2元; ②5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米的按5千米計(jì)算). 已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米,沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)有11個汽車站. (1)從起點(diǎn)站出發(fā),公共汽車的行程x(千米)與票價y(元)有函數(shù)關(guān)系嗎? (2)函數(shù)的表達(dá)式是什么? (3)x與y之間有何特點(diǎn)? [答案] (1)有函數(shù)關(guān)系 (2)y= (3)x在不同區(qū)間內(nèi)取值時,與y所對應(yīng)的關(guān)系不同 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成.( ) (2)函數(shù)f(x)=是分段函數(shù).( ) (3)分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的.(
3、) (4)y=|x-1|與y=是同一函數(shù).( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 題型一分段函數(shù)求值 【典例1】 已知函數(shù)f(x)= (1)求f(f(f(-2)))的值; (2)若f(a)=,求a. [思路導(dǎo)引] 根據(jù)自變量取值范圍代入對應(yīng)解析式求值. [解] (1)∵-2<-1,∴f(-2)=2×(-2)+3=-1, ∴f[f(-2)]=f(-1)=2, ∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+=. (2)當(dāng)a>1時,f(a)=1+=,∴a=2>1; 當(dāng)-1≤a≤1時,f(a)=a2+1=, ∴a=±∈[-1,1]; 當(dāng)a<-1時,f(a)
4、=2a+3=, ∴a=->-1(舍去). 綜上,a=2或a=±. (1)分段函數(shù)求值,一定要注意所給自變量的值所在的范圍,代入相應(yīng)的解析式求解.對于含有多層“f”的問題,要按照“由內(nèi)到外”的順序,逐層處理. (2)已知函數(shù)值,求自變量的值時,要先將“f”脫掉,轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解. [針對訓(xùn)練] 1.設(shè)函數(shù)f(x)=則f[f(3)]=( ) A. B.3 C. D. [解析] ∵f(3)=<1, ∴f[f(3)]=2+1=. [答案] D 2.已知函數(shù)f(x)=若f(x)=-3,則x=________. [解析] 若x≤1,由x+1=-3得x=-4
5、. 若x>1,由1-x2=-3得x2=4, 解得x=2或x=-2(舍去). 綜上可得,所求x的值為-4或2. [答案]?。?或2 題型二分段函數(shù)的圖象 【典例2】 (1)作出下列分段函數(shù)的圖象: ①y= ②y=|x+1|. (2)如圖所示,在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,沿著折線BCDA由B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動路程為x,△ABP的面積為y,求: ①y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; ②畫出y=f(x)的圖象. [思路導(dǎo)引] (1)利用描點(diǎn)法分段作圖;(2)先依據(jù)x的變化范圍求出關(guān)系式. [解] (1)①函數(shù)圖象如圖1所示. ②y=|x+1
6、|=,其圖象如圖2所示. (2)①y= ② 分段函數(shù)圖象的畫法 (1)作分段函數(shù)的圖象時,分別作出各段的圖象,在作每一段圖象時,先不管定義域的限制,作出其圖象,再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可. (2)對含有絕對值的函數(shù),要作出其圖象,首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后分段作出函數(shù)圖象. [針對訓(xùn)練] 3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,求f(x)的解析式并寫出f(x)的值域. [解] 由于f(x)的圖象由兩條線段組成, 因此可設(shè)f(x)= 將點(diǎn)(-1,0),(0,1)代入f(x)=ax+b, 點(diǎn)(1,-1)代入f(x)=c
7、x可得
f(x)=
由圖象可得f(x)的值域?yàn)?-1,1).
題型三分段函數(shù)的綜合問題
【典例3】 已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x+1|.
(1)求f(x)的值域;
(2)解不等式:f(x)>0;
(3)若直線y=a與f(x)的圖象無交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[思路導(dǎo)引] 去掉絕對值符號,化簡f(x),再分段求解.
[解] 若x≤-1,則x-3<0,x+1≤0,
f(x)=-(x-3)+(x+1)=4;
若-1
8、+1)=-4.
∴f(x)=
(1)-1
9、)有無數(shù)個交點(diǎn);當(dāng)-44時,y=a與y=f(x)沒有交點(diǎn). 綜上可知: 當(dāng)a=±4時,方程f(x)=a有無數(shù)個解. 當(dāng)-44時,方程f(x)=a無解. 研究分段函數(shù)要牢牢抓住的2個要點(diǎn) (1)分段研究.在每一段上研究函數(shù). (2)合并表達(dá).因?yàn)榉侄魏瘮?shù)無論分成多少段,仍是一個函數(shù),對外是一個整體. [針對訓(xùn)練] 4.已知f(x)= (1)畫出f(x)的圖象; (2)若f(x)≥,求x的取值范圍; (3)求f(x)的值域. [解] (1)利用
10、描點(diǎn)法,作出f(x)的圖象,如圖所示. (2)由于f=,結(jié)合此函數(shù)圖象可知,使f(x)≥的x的取值范圍是∪. (3)由圖象知,當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x2的值域?yàn)閇0,1], 當(dāng)x>1或x<-1時,f(x)=1. 所以f(x)的值域?yàn)閇0,1]. 題型四分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【典例4】 某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15~20℃的新品種,如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚里溫度y(℃)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象,其中AB段是恒溫階段,BC段是雙曲線y=的一部分,請根據(jù)圖中信息解答下列問題: (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式; (
11、2)大棚內(nèi)的溫度為18℃時是否適宜該品種蔬菜的生長? (3)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有多少小時? [思路導(dǎo)引] 利用待定系數(shù)法求出x在每一段上的解析式,再分段研究. [解] (1)設(shè)線段AD的解析式為y=mx+n(m≠0), 將點(diǎn)A(2,20),D(0,10)代入, 得,解得, ∴線段AD的解析式為y=5x+10(0≤x≤2). ∵雙曲線y=經(jīng)過B(12,20), ∴20=,解得k=240, ∴BC段的解析式為y=(12≤x≤24). 綜上所述,y與x的函數(shù)解析式為: y=. (2)當(dāng)x=18時,y==,由于<15, ∴大棚內(nèi)的溫度為18℃
12、時不適宜該品種蔬菜的生長. (3)令y=15,當(dāng)0≤x≤2時,解5x+10=15,得x=1, 當(dāng)12≤x≤24時,解=15,得x=16. 由于16-1=15(小時), ∴恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有15小時. 對于應(yīng)用題,要在分析題意基礎(chǔ)上,弄清變量之間的關(guān)系,然后選擇適當(dāng)形式加以表示;若根據(jù)圖象求解析式,則要分段用待定系數(shù)法求出,最后用分段函數(shù)表示,分段函數(shù)要特別地把握準(zhǔn)定義域的各個“分點(diǎn)”. [針對訓(xùn)練] 5.A,B兩地相距150公里,某汽車以每小時50公里的速度從A地到B地,在B地停留2小時之后,又以每小時60公里的速度返回A地.寫
13、出該車離A地的距離s(公里)關(guān)于時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系,并畫出函數(shù)圖象. [解] (1)汽車從A地到B地,速度為50公里/小時,則有s=50t,到達(dá)B地所需時間為=3(小時). (2)汽車在B地停留2小時,則有s=150. (3)汽車從B地返回A地,速度為60公里/小時,則有s=150-60(t-5)=450-60t,從B地到A地用時=2.5(小時). 綜上可得,該汽車離A地的距離s關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為 s= 函數(shù)圖象如圖所示. 課堂歸納小結(jié) 1.分段函數(shù) (1)分段是針對定義域而言的,將定義域分成幾段,各段的對應(yīng)關(guān)系不一樣. (2)一般而言,分段函數(shù)的定義域部分
14、是各不相交的,這是由函數(shù)定義中的唯一性決定的. (3)研究分段函數(shù)時,應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則,尤其是 作分段函數(shù)的圖象時,可先將各段的圖象分別畫出來,從而得到整個函數(shù)的圖象. 2.與分段函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題 要理解題意,合理引進(jìn)變量,確定自變量分段的“段點(diǎn)”,注意在自變量分段的端點(diǎn)處要不重不漏. 1.已知f(x)=則f[f(-7)]的值為( ) A.100 B.10 C.-10 D.-100 [解析] ∵f(-7)=10,∴f[f(-7)]=f(10)=10×10=100. [答案] A 2.下列圖形是函數(shù)y=x|x|的圖象的是( ) [解析] ∵f(x)
15、=分別畫出y=x2(取x≥0部分)及y=-x2(取x<0部分)即可.
[答案] D
3.函數(shù)f(x)=的值域是( )
A.R B.[0,2]∪{3}
C.[0,+∞) D.[0,3]
[解析] 當(dāng)0≤x≤1時,0≤f(x)≤2,當(dāng)1 16、選項(xiàng)A,C;再將點(diǎn)代入,排除D項(xiàng).
[答案] B
5.設(shè)函數(shù)f(x)=若f[f(a)]=2,則a=________.
[解析] 當(dāng)a≤0時,f(a)=a2+2a+2>0,f[f(a)]<0,顯然不成立;當(dāng)a>0時,f(a)=-a2,f[f(a)]=a4-2a2+2=2,則a=±或a=0,故a=.
[答案]
課后作業(yè)(十八)
復(fù)習(xí)鞏固
一、選擇題
1.已知f(x)=則f(-2)=( )
A.2 B.4 C.-2 D.2或4
[解析] f(-2)=-(-2)=2,選A.
[答案] A
2.函數(shù)f(x)=|x-1|的圖象是( )
[解析] f(x)=|x-1 17、|=選B.
[答案] B
3.已知函數(shù)y=使函數(shù)值為5的x的值是( )
A.-2 B.2或-
C.2或-2 D.2或-2或-
[解析] 當(dāng)x≤0時,令x2+1=5,解得x=-2;當(dāng)x>0時,令-2x=5,得x=-,不合題意,舍去.
[答案] A
4.已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖所示,不含端點(diǎn)),則f等于( )
A.- B.
C.- D.
[解析] 由圖可知,函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
∴f=-1=-,
∴f=f=-+1=.
[答案] B
5.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出了如下規(guī)定:每位職工每月用水量不超過10立方米的,按每立方米 18、m元收費(fèi);用水量超過10立方米的,超過部分按每立方米2m元收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)16m元,則該職工這個月實(shí)際用水量為( )
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
[解析] 該單位職工每月應(yīng)繳水費(fèi)y與實(shí)際用水量x滿足的關(guān)系式為y=由y=16m,可知x>10,令2mx-10m=16m,解得x=13.
[答案] A
二、填空題
6.已知函數(shù)f(x)=,則不等式xf(x-1)≤1的解集為________.
[解析] 原不等式轉(zhuǎn)化為或解得-1≤x≤1.
[答案] [-1,1]
7.函數(shù)f(x)=的值域是________.
[解析] 當(dāng)0≤x≤1時,0≤ 19、f(x)≤1;
當(dāng)1 20、x|>1,則=,得x=±,符合|x|>1.
所以若f(x)=,x的值為±.
10.已知函數(shù)f(x)=1+(-2 21、|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx
[解析] 由已知得,xsgnx=
而|x|=
所以|x|=xsgnx,故選D.
[答案] D
12.如圖,拋物線y1=ax2與直線y2=bx+c的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,4),B(1,1).記f(x)為max{y1,y2},則f(x)的解析式為( )
[解析] 由y1=ax2過點(diǎn)B(1,1)得a=1,∴y=x2.
由y2=bx+c過點(diǎn)A(-2,4),B(1,1),有
解得∴y2=-x+2,結(jié)合圖象可得.
f(x)=,選A.
[答案] A
13.已知f(x)=則f+f等于( )
A.-2 B.4 C.2 22、D.-4
[解析] ∵f(x)=
∴f=f=f=f=f=×2=,f=2×=,
∴f+f=+=4.
[答案] B
14.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 當(dāng)a≥0時,f(a)=a-1>1,
解得a>4,符合a≥0;
當(dāng)a<0時,f(a)=>1,無解.
[答案] (4,+∞)
15.若定義運(yùn)算a⊙b=則函數(shù)f(x)=x⊙(2-x)的值域?yàn)開_______.
[解析] 由題意得f(x)=畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(-∞,1].
[答案] (-∞,1]
16.成都市出租車的現(xiàn)行計(jì)價標(biāo)準(zhǔn)是:路程在2 km以內(nèi)(含2 km) 23、按起步價8元收取,超過2 km后的路程按1.9元/km收取,但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價為1.9×(1+50%)=2.85(元/km).
(1)將某乘客搭乘一次出租車的費(fèi)用f(x)(單位:元)表示為行程x(0
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