13、≥2}
課堂歸納小結(jié)
1.若f(x)的定義域為D,A?D,B?D,f(x)在A和B上都單調(diào)遞減,未必有f(x)在A∪B上單調(diào)遞減,如函數(shù)y=.
2.對增函數(shù)的判斷,當x10或>0.
對減函數(shù)的判斷,當x1f(x2),相應(yīng)地也可用一個不等式來替代:(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0.
3.熟悉一些常見函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論,包括一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù)等.
4.若f(x),g(x)都是增函數(shù),h(x)是減函數(shù),則:①在定義域的交集(非空)
14、上,f(x)+g(x)單調(diào)遞增,f(x)-h(huán)(x)單調(diào)遞增,②-f(x)單調(diào)遞減,③單調(diào)遞減(f(x)≠0).
5.對于函數(shù)值恒正(或恒負)的函數(shù)f(x),證明單調(diào)性時,也可以作商與1比較.
1.如圖所示,函數(shù)y=f(x)在下列哪個區(qū)間上是增函數(shù)( )
A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]
[解析] 觀察題中圖象知,函數(shù)在[-3,1]上是增函數(shù).
[答案] C
2.下列函數(shù)中,在(-∞,0]內(nèi)為增函數(shù)的是( )
A.y=x2-2 B.y=
C.y=1+2x D.y=-(x+2)2
[解析] 選項A,B在(-
15、∞,0)上為減函數(shù),選項D在(-2,0]上為減函數(shù),只有選項C滿足在(-∞,0]內(nèi)為增函數(shù).故選C.
[答案] C
3.若函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由一次函數(shù)的性質(zhì)得2a-1<0,即a<.故選D.
[答案] D
4.已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù),則滿足f(x)
16、義證明.
[解] f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
證明如下:任取x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=-=,
由x1>x2>0知x1+1>0,x2+1>0,x1-x2>0,
故f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
課后作業(yè)(十九)
復習鞏固
一、選擇題
1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),在區(qū)間(b,c)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)∪(b,c)上( )
A.必是增函數(shù) B.必是減函數(shù)
C.是增函數(shù)或減函數(shù) D.無法確定單調(diào)性
[解析] 函數(shù)在區(qū)間(a,b)∪(b,c)上無法確定單調(diào)性.如y=-在(0,+∞)
17、上是增函數(shù),在(-∞,0)上也是增函數(shù),但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有單調(diào)性.
[答案] D
2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是( )
A.y=|x| B.y=3-x
C.y= D.y=-x2+4
[解析] 因為-1<0,所以一次函數(shù)y=-x+3在R上遞減,反比例函數(shù)y=在(0,+∞)上遞減,二次函數(shù)y=-x2+4在(0,+∞)上遞減.故選A.
[答案] A
3.對于函數(shù)y=f(x),在給定區(qū)間上有兩個數(shù)x1,x2,且x1
18、不能確定
[解析] 由單調(diào)性定義可知,不能用特殊值代替一般值.
[答案] D
4.函數(shù)y=x2+x+1(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A. B.[-1,+∞)
C. D.(-∞,+∞)
[解析] y=x2+x+1=2+,其對稱軸為x=-,在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減,∴當x≤-時單調(diào)遞減.
[答案] C
5.若f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),則下列說法中正確的是( )
A.f(x)>f(0) B.f(x2)>f(0)
C.f(3a+1)
19、(a2+1)=f(2a);
當a≠1時,f(a2+1)>f(2a).故選D.
[答案] D
二、填空題
6.若函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當x∈[-2,+∞)時是增函數(shù),當x∈(-∞,-2)時是減函數(shù),則f(1)=________.
[解析] 由條件知x=-2是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸,所以=-2,m=-8,則f(1)=13.
[答案] 13
7.已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(-∞,-1)是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是________.
[解析] 因為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-a],所以-a≥-1,解得a≤1.
[答案] (-∞,1]
8.已知f(x)是定義
20、在R上的增函數(shù),且f(x-2)
21、
結(jié)合圖象可知,f(x)在(-∞,-1)上是單調(diào)增函數(shù),在[-1,1]上是單調(diào)減函數(shù),在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).函數(shù)的值域是R.
10.已知函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),試比較
f與f(a2-a+1)的大?。?
[解] ∵a2-a+1=2+≥,
∴與a2-a+1都在區(qū)間[0,+∞)內(nèi).
又∵y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù),
∴f≥f(a2-a+1).
綜合運用
11.如果函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)>- B.a(chǎn)≥-
C.-≤a<0 D.-≤a≤0
[解析] 當a=0時,f(
22、x)=2x-3在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的;當a>0時,由函數(shù)f(x)=ax2+2x-3的圖象知,不可能在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增;當a<0時,只有-≥4,即a≥-滿足函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的,綜上可知實數(shù)a的取值范圍是-≤a≤0.
[答案] D
12.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1,則( )
A.f(-1)
23、又函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線,則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),故f(1)0,則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是________.
[解析] 由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知
24、函數(shù)f(x)為增函數(shù).又-3>-π,所以f(-3)>f(-π).
[答案] f(-3)>f(-π)
15.設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,則不等式f(x)+f(-2)>1的解集為________.
[解析] 由條件可得f(x)+f(-2)=f(-2x),又f(3)=1,∴不等式f(x)+f(-2)>1,即為f(-2x)>f(3).
∵f(x)是定義在R上的增函數(shù),∴-2x>3,
解得x<-.故不等式f(x)+f(-2)>1的解集為.
[答案]
16.已知函數(shù)f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
[解] 設(shè)11.
∵函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x1)-f(x2)=x1-+-
=(x1-x2)<0.
∵x1-x2<0,∴1+>0,即a>-x1x2.
∵11,∴-x1x2<-1,∴a≥-1.
∴a的取值范圍是[-1,+∞).
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