2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-2-2 圓的一般方程學(xué)案 北師大版必修2

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1、2.2　圓的一般方程 1．圓的一般方程的定義 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個(gè)圓，這時(shí)這個(gè)方程叫作圓的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形 　判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圓．(　　) (2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓．(　　) (3)任何二元二次方程都表示圓．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 題型一圓的一般方程的概念 【典例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：

2、 (1)實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)圓心坐標(biāo)和半徑． [思路導(dǎo)引]　(1)根據(jù)表示圓的條件求m的取值范圍． (2)將方程配方，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解． [解]　(1)據(jù)題意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范圍為. (2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圓心坐標(biāo)為(－m,1)，半徑r＝. 解答該類型的題目，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時(shí)，再看它能否表示圓，此時(shí)有兩種途徑

3、，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方變形，看方程等號(hào)右端是否為大于零的常數(shù)． [針對(duì)訓(xùn)練1]　下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑． (1)x2＋y2＋2x＋y＋2＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． [解]　(1)∵D＝2，E＝1，F(xiàn)＝2， ∴D2＋E2－4F＝4＋1－8＝－3＜0， ∴方程不表示任何圖形． (2)∵D＝2a，E＝0，F(xiàn)＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示點(diǎn)(－a,0)． (3)∵D＝2a，E＝－2a，F(xiàn)＝0， ∴D2＋E2－4F＝8

4、a2>0， ∴方程表示圓，它的圓心為(－a，a)， 半徑r＝＝|a|. 題型二求圓的一般方程 【典例2】　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圓的方程； (2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上，求a的值． [思路導(dǎo)引]　求圓的方程有兩種形式可選：標(biāo)準(zhǔn)形式及一般式，分別代表了圓的幾何特征與代數(shù)特征，根據(jù)已知選取合適的形式是解決問題的關(guān)鍵． [解]　(1)設(shè)△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由題意，得 解得 即△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圓的方程為x

5、2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. [引申探究]　若本例中將點(diǎn)“C(3，－1)”改為“圓C過A，B兩點(diǎn)且圓C關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱”，其他條件不變，如何求圓C的方程？ [解]　∵kAB＝＝，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為， ∵AB的垂直平分線方程為y－＝－3. 聯(lián)立得 即圓心C的坐標(biāo)為， r＝＝， ∴圓C的方程為2＋2＝. 應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方

6、程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r. (2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn). [針對(duì)訓(xùn)練2]　已知一圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求圓的方程． [解]　解法一(待定系數(shù)法)： 設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P，Q的坐標(biāo)分別代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根， ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④ 聯(lián)立①②④解得 或 故圓的方程為x

7、2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 解法二(幾何法)： 由題意得線段PQ的垂直平分線方程為x－y－1＝0， ∴所求圓的圓心C在直線x－y－1＝0上， 設(shè)其坐標(biāo)為(a，a－1)． 又圓C的半徑長(zhǎng) r＝|CP|＝.⑤ 由已知得圓C截y軸所得的線段長(zhǎng)為4，而圓心C到y(tǒng)軸的距離為|a|， ∴r2＝a2＋2， 代入⑤整理得a2－6a＋5＝0， 解得a1＝1，a2＝5， ∴r1＝，r2＝. 故圓的方程為(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 題型三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 【典例3】　等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,

8、5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么． [思路導(dǎo)引]　用(x，y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)，列出關(guān)于x，y的方程，把方程化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式，剔除不符合條件的點(diǎn)． [解]　設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．依題意，得|AC|＝|AB|. 由兩點(diǎn)間距離公式，得 ＝， 整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10. 這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)． 因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5)． 又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端

9、點(diǎn)， 所以≠4，且≠2，即點(diǎn)C不能為(5，－1)． 故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(diǎn)(3,5)和(5，－1))，它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心， 為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點(diǎn)． 　求與圓有關(guān)的軌跡問題常用的方法 (1)直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式． (2)定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． (3)相關(guān)點(diǎn)法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知

10、圓的方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． [針對(duì)訓(xùn)練3]　已知直角△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(－1,0)和B(3,0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程． [解]　解法一：設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線， 所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝. 且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 解法二：△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即

11、(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 1．圓2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為(　　) A.和 B．(3,2)和 C.和 D.和 [解析]　由一般方程圓心， 半徑r＝兩公式易得答案． [答案]　C 2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圓的條件是(　　) A.1 C．m< D．m<1 [解析]　表示圓應(yīng)滿足D2＋E2－4F>0. [答案]　D 3．M(3,0)是圓x2＋y2－8x－2y＋10＝0

12、內(nèi)一點(diǎn)，過M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0 [解析]　過M最長(zhǎng)的弦應(yīng)為過M點(diǎn)的直徑所在直線． [答案]　B 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圓心為C(2,2)，半徑為2的圓，則a，b，c的值依次為(　　) A．－2,4,4 B．－2，－4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 [解析]　由方程得圓心坐標(biāo)為，半徑為r＝.由已知，得－a＝2，＝2，＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4. [答案]　A 課后作業(yè)(二十四) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間20分鐘) 1

13、．若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 [解析]　因?yàn)閳Ax2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1,2)， 所以3x＋y＋a＝0過點(diǎn)(－1,2)， 即－3＋2＋a＝0，所以a＝1. [答案]　B 2．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為，則a的值為(　　) A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0 [解析]　由圓心(1,2)到直線的距離公式得＝，得a＝0或a＝2. [答案]　C 3．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的圖形是(　　) A．一個(gè)圓 B．只

14、有當(dāng)a＝0時(shí)，才能表示一個(gè)圓 C．一個(gè)點(diǎn) D．a(chǎn)，b不全為0時(shí)，才能表示一個(gè)圓 [解析]　(2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)， 當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)a≠0或b≠0時(shí)方程表示一個(gè)圓． [答案]　D 4．已知兩點(diǎn)A(0,3)，B(－4,0)，若點(diǎn)P是圓x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為(　　) A．13 B．3 C. D. [解析]　圓的方程可化為x2＋(y－1)2＝1，∴圓心為(0,1)，半徑為1.直線AB的方程為＋＝1，即3x－4y＋12＝0，|AB|＝＝5.圓心到直線AB的距離為d＝＝，∴P到直線AB的距離的最大值為＋1＝，∴S△

15、ABP的最大值為S＝×5×＝，故選C. [答案]　C 5．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)(2,0)的距離的2倍，那么點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 [解析]　設(shè)P(x，y)，根據(jù)題意有2＝，整理得x2＋y2＝16. [答案]　B 6．過圓x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圓心，且垂直于x＋2y＋11＝0的直線方程是__________________． [解析]　圓x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圓心為(3，－2)，直線x＋2y＋11＝0的斜率為－，則所求直線的斜率為k＝2，

16、故所求直線方程為y＋2＝2(x－3)， 即2x－y－8＝0. [答案]　2x－y－8＝0 7．圓C：x2＋y2－8x＋4y＋19＝0關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的圓的方程為__________________． [解析]　圓C的方程可化為(x－4)2＋(y＋2)2＝1，圓心為(4，－2)，半徑r＝1.設(shè)所求的圓為(x－a)2＋(y－b)2＝1，則有即 解得 所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝1. [答案]　(x－1)2＋(y＋5)2＝1 8．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所確定的圓中，最大面積是________． [解析]　r2＝＝， 所以當(dāng)m＝－1

17、時(shí)，r＝，所以Smax＝π. [答案]　π 9．設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x－5＝0， (1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑； (2)若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P(3,1)，求直線AB的方程． [解]　(1)將x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圓心坐標(biāo)為C(2,0)，半徑為r＝3. (2)設(shè)直線AB的斜率為k.由圓的幾何性質(zhì)可知：CP⊥AB， ∴kCP·k＝－1.又kCP＝＝1，∴k＝－1. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3)，即：x＋y－4＝0. 10．已知圓C的方程為x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根據(jù)下列條件確定實(shí)數(shù)m的取值，并寫

18、出相應(yīng)的圓心坐標(biāo)和半徑． (1)圓的面積最??； (2)圓心距離坐標(biāo)原點(diǎn)最近． [解]　因?yàn)?m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝22＋>0恒成立，所以無論m為何值，方程總表示圓，且圓心坐標(biāo)為，圓的半徑r＝. (1)當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，圓的面積最?。? r＝＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最?。? 所以當(dāng)圓的面積最小時(shí)，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝. (2)圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)m＝時(shí)，圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最近． 此時(shí)，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝. 應(yīng)試能力等級(jí)練(時(shí)間25分鐘) 11．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2

19、x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是(　　) A．3－ B．3＋ C．3－ D. [解析]　lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到l的距離 d＝＝，∴AB邊上的高的最小值為－1. ∴Smin＝×2×＝3－. [答案]　A 12．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) [解析]　曲線C的方程可化為(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，則曲線C表示的是以(－a,2a)為圓心，2為半徑的圓．要使圓C上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，則圓心(－a

20、,2a)必須在第二象限，從而有a>0，并且圓心到兩坐標(biāo)軸的最短距離應(yīng)該大于圓C的半徑．易知圓心到兩坐標(biāo)軸的最短距離為|－a|，則有|－a|>2，故a>2. [答案]　D 13．若A(5,0)、B(－1,0)、C(－3,3)三點(diǎn)的外接圓為⊙M，點(diǎn)D(m,3)在⊙M上，則m＝________. [解析]　設(shè)過A(5,0)、B(－1,0)、C(－3,3)的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 依題意有 解得 即所求圓的方程為x2＋y2－4x－y－5＝0. 因?yàn)辄c(diǎn)D(m,3)在⊙M上， 所以m2＋32－4m－×3－5＝0， 解得m＝－3或m＝7. [答案]?。?或7 1

21、4．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長(zhǎng)，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為________． [解析]　圓M的圓心為(－2，－1)，由題意知點(diǎn)M在直線l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5. [答案]　5 15．在△ABC中，|BC|＝4，|AB|＝3|AC|. (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求A的軌跡方程，并說明是何種曲線； (2)求△ABC面積的最大值． [解]　(1)以BC所在的直線為x軸，B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系． 則B、C的坐標(biāo)分別為B(0,0)，C(4,0)． 設(shè)A的坐標(biāo)為(x，y)，(y≠0)． 由|AB|＝3|AC|，得＝3， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－9x＋18＝0， 即A的軌跡方程為2＋y2＝(y≠0)． 所以A的軌跡是以為圓心，半徑為的圓[除去點(diǎn)(3,0)與(6,0)]． (2)由(1)知，當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離的最大值為半徑r＝時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為|BC|·r＝×4×＝3. 12