2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 解析幾何初步 2-2-3-2 圓與圓的位置關系學案 北師大版必修2

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1、二　圓與圓的位置關系 圓與圓位置關系的判定 (1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下： (2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷． 一元二次方程 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩圓無公共點，則兩圓相離．(　　) (2)兩圓有且只有一個公共點，則兩圓內(nèi)切和外切．(　　) (3)設兩圓的圓心距為l，兩圓半徑長分別為r1，r2，則當|r1－r2|＜l＜r1＋r2時，兩圓相交．(　　) (4)兩圓外切時，有三條公切線：兩條外公切線，一條內(nèi)公切線．(　　) [答案]　(1)×　(2)

2、√　(3)√　(4)√ 題型一兩圓位置關系的判定 【典例1】　a為何值時，兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0 (1)外切； (2)相交； (3)相離. [思路導引]　利用圓心距與兩圓半徑之和、半徑之差的關系判定這兩圓的位置關系． [解]　將兩圓方程寫成標準方程， C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9, C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. ∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 設兩圓的圓心距為d, 則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋

3、5. (1)當d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2. (2)當15，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓相離，此時a>2或a<－5. (1)判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟： ①化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑. ②計算兩圓圓心的距離d. ③通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結合. (2)應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數(shù)的范圍是

4、非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [針對訓練1]　(1)圓x2＋y2－2y＝0與圓(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置關系是(　　) A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 (2)已知0r1＋r2＝1＋2, ∴兩圓相離. (2)兩圓的

5、圓心分別為(0,0)，(1，－1), 半徑分別為r，， 兩圓心距d＝＝， ∵0

6、心為(－1，－1)，半徑r2＝. 又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－， ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴兩圓相交． (2)將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為x－2y＋4＝0. (3)解法一：由(2)知圓C1的圓心(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離 d＝＝3， ∴公共弦長l＝2＝2＝2. 解法二：設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點滿足方程組 解得或即A(－4,0)，B(0,2)． 所以|AB|＝＝2， 即公共弦長為2. (1)兩圓相交時，公共弦所在的直線方程的求法 若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2

7、：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦長的求法 ①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長． ②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解． [針對訓練2]　已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長． [解]　設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組的解， ①－②得：3x－4y＋6＝0

8、. ∵A，B兩點坐標都滿足此方程， ∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程． 易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r1＝3. 又C1到直線AB的距離為d＝＝. ∴|AB|＝2＝2 ＝. 即兩圓的公共弦長為. 題型三兩圓相切問題 【典例3】　已知圓C與圓C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且與直線x＋y＝0相切于點A(3，－)，求圓C的方程． [思路導引]　利用圓C與圓C1及直線x＋y＝0相切于點A(3，－)的幾何關系轉化為代數(shù)關系，用待定系數(shù)法求圓C的方程． [解]　設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 因為圓C與圓C1：x2＋y2－2x＝0

9、相外切， 所以＝r＋1.① 又因為圓C與直線x＋y＝0相切于A(3，－)， 所以＝r，② ＝.③ 由①②③解得或 故圓C的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 　處理兩圓相切問題的兩個步驟 [針對訓練3]　求與圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點A(4，－1)且半徑為1的圓的方程． [解]　因已知圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圓心C(2，－1)． 設所求圓B的圓心為B(a，b)，由切點為A(4，－1)，則點C，A，B共線． 則b＝－1，又因|AB|＝1， 可得a＝5或3， 即所求圓B的圓心B(5，－1)或(3，－1)

10、， 故圓B的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1 或(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 1．圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2＋4y＝0的位置關系是(　　) A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切 [答案]　C 2．若圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不確定 [解析]　兩圓的圓心坐標分別為(－2，m)，(m，－1)， 兩圓的半徑分別為3,2， 由題意得＝3＋2， 解得m＝2或－5. [答案]　C 3．設r＞0，圓(x－1)2＋(y＋3)2＝r2與圓

11、x2＋y2＝16的位置關系不可能是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．內(nèi)切或內(nèi)含 D．外切或相離 [解析]　兩圓的圓心距為d＝＝，兩圓的半徑之和為r＋4，因為＜r＋4， 所以兩圓不可能外切或相離，故選D. [答案]　D 4．若圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．E＝－4，F(xiàn)＝8 B．E＝4，F(xiàn)＝－8 C．E＝－4，F(xiàn)＝－8 D．E＝4，F(xiàn)＝8 [解析]　 ①－②可得4x＋Ey－F－4＝0， 即x＋y－＝0， 由兩圓的公共弦所在的直線方程為x－y＋1＝0， 得解得 [答案]　C 圓

12、系方程及應用 已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0有兩個交點，則對于方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0來說，當λ＝0時，它表示圓C1；λ＝－1時，它表示兩圓公共弦所在的直線方程．求經(jīng)過這兩個圓公共點的圓的方程時，也可設為：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 【示例】　求圓心在直線x－y－4＝0上，且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程． [思路分析]　解法一：可以用過兩圓交點的圓系方程求出圓心，代入

13、直線，即可確定方程．解法二：求兩圓的公共弦的垂直平分線，一定過圓心，兩直線聯(lián)立求圓心坐標，然后求半徑． [解]　解法一：設經(jīng)過兩圓交點的圓系方程為 x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即x2＋y2－x－y－6＝0， 所以圓心坐標為. 又圓心在直線x－y－4＝0上，所以－－4＝0， 即λ＝－. 所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 解法二：由 得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x. 由解得 所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點坐標分別為A(－1，－1)，B(3,3)， 線段AB的垂直平分線所在的直線方

14、程為y－1＝－(x－1)． 由得 即所求圓的圓心為(3，－1)， 半徑為＝4. 所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16. [題后反思]　當經(jīng)過兩圓的交點時，圓的方程可設為(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系數(shù)法求出λ即可． [針對訓練]　求過兩圓C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0與C2：x2＋y2－6x＝0的交點且過點(2，－2)的圓的方程． [解]　設過兩圓C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0與C2：x2＋y2－6x＝0的交點的圓系方程為x2＋y2－4x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－6x)＝0， 即(1＋λ

15、)x2＋(1＋λ)y2－(4＋6λ)x＋2y＋1＝0. 把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－. ∴圓的方程為x2＋y2＋2x＋8y＋4＝0. 課后作業(yè)(二十六) (時間45分鐘) 學業(yè)水平合格練(時間20分鐘) 1．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 [解析]　圓x2＋y2－1＝0的圓心為C1(0,0)，半徑為r1＝1，圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圓心為C2(2，－1)，半徑為r2＝3，兩圓的圓心距為d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，

16、r1＋r2＝4，所以r2－r1

17、D. [答案]　C 4．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36 [解析]　由題意可設圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，由題意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4. [答案]　D 5．設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8

18、 [解析]　因為兩圓與兩坐標軸都相切，且都經(jīng)過點(4,1)， 所以兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標相等． 設兩圓的圓心分別為(a，a)，(b，b)， 則有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個根，整理得x2－10x＋17＝0. 所以a＋b＝10，ab＝17， 所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32. 所以|C1C2|＝＝＝8. [答案]　C 6．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是__________________． [解析]　設

19、圓C的半徑為r， 圓心距為d＝＝5， 當圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4， 當圓C與圓O內(nèi)切時，r－1＝5，r＝6， ∴圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)3＝36. [答案]　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 7．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2，則a＝________. [解析]　將兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為y＝，圓心(0,0)到直線的距離為d＝＝＝1，所以a＝1. [答案]　1 8．經(jīng)過直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝2的交點，且過點(1,2

20、)的圓的方程為________________． [解析]　由已知可設所求圓的方程為x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，將(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圓的方程為x2＋y2－x－y－＝0. [答案]　x2＋y2－x－y－＝0 9．求過點A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程． [解]　設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則 由①②③得∴(x－3)2＋(y－3)2＝18. 10．求圓心為(2,1)且與已知圓x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直線經(jīng)過點(5，－2)的圓的方程． [解]　設所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r

21、2， 即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，① 已知圓的方程為x2＋y2－3x＝0，② ②－①得公共弦所在直線的方程為x＋2y－5＋r2＝0，又此直線經(jīng)過點(5，－2)，所以5－4－5＋r2＝0，所以r2＝4，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 應試能力等級練(時間25分鐘) 11．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A．[－3 ，3 ] B．[－3,3] C．(－3,3 ] D．[－3 ，3) [解析]　由M∩N≠?，知直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)相交，所以畫

22、圖(圖略)可知－3

23、圓圓心為P(x，y)．因為動圓過定點A，所以|PA|即為動圓半徑．當動圓P與⊙O外切時，|PO|＝|PA|＋2. 當動圓P與⊙O內(nèi)切時，|PO|＝|PA|－2. 綜合這兩種情況，得||PO|－|PA||＝2， 即|－|＝2，化簡可得(x－2)2－＝1. [答案]　(x－2)2－＝1 14．點M在圓心為C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，點N在圓心為C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值． [解]　把圓的方程都化成標準形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4. C1的坐標是(－3,1)，半徑長是3；C2的坐標是(－1，－

24、2)，半徑長是2.所以， |C1C2|＝＝. 因此，|MN|的最大值是＋5. 15．已知點P(－2，－3)和以點Q為圓心的圓(x－4)2＋(y－2)2＝9. (1)畫出以PQ為直徑，Q′為圓心的圓，再求出它的方程； (2)作出以Q為圓心的圓和以Q′為圓心的圓的兩個交點A，B.直線PA，PB是以Q為圓心的圓的切線嗎？為什么？ (3)求直線AB的方程． [解]　(1)∵已知圓的方程為(x－4)2＋(y－2)2＝32， ∴Q(4,2)． PQ中點為Q′，半徑為r＝＝， 故以Q′為圓心的圓的方程為 (x－1)2＋2＝.圓如圖所示． (2)∵PQ是圓Q′的直徑，∴PA⊥AQ(如圖所示) ∴PA是⊙Q的切線，同理PB也是⊙Q的切線． (3)將⊙Q與⊙Q′方程相減，得6x＋5y－25＝0. 此即為直線AB的方程． 12