2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)學案 新人教A版必修第一冊
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1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一) 1.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題. 2.能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題. 幾類常見的函數(shù)模型 1.一次函數(shù)y=kx+b中k的取值是如何影響其圖象和性質(zhì)的? [答案] 當k>0時直線必經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當k<0時直線必經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小 2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)由哪些因素決定? [答案] 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)由開口方向、對稱軸及頂點位置決定.a(chǎn)決定拋物線的開口方向,直線x=-決定對稱軸的位置,決定頂點的縱坐標.另外其單調(diào)性由開口方向及對稱軸決定 3.判斷正誤(正確的
2、打“√”,錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y=kx+8(k≠0)在R上是增函數(shù).( ) (2)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是.( ) (3)分段函數(shù)中每一段的模型可以是一次函數(shù)或二次函數(shù).( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 題型一用一、二次函數(shù)模型解決實際問題 【典例1】 某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品,在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系: 銷售單價x(元) 30 40 45 50 日銷售量y(件) 60 30 15 0 (1)在坐標系中,根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x,y
3、)對應(yīng)的點,并確定x與y的一個函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x); (2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元,根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出銷售單價x為多少時,才能獲得最大日銷售利潤. [思路導(dǎo)引] (1)在平面直角坐標系中描出點,選擇合適的模型,從而用待定系數(shù)法求解;(2)日銷售利潤P=每件利潤×銷量. [解] (1)在平面直角坐標系中畫出各點,如圖. 這些點近似地分布在一條直線上,猜想y與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系, 設(shè)f(x)=kx+b(k≠0,且k,b為常數(shù)), 則 解得 ∴f(x)=-3x+150,經(jīng)檢驗,點(45,15),點(50,0)也在此直線上. ∴y與x
4、之間的函數(shù)解析式為y=-3x+150(30≤x≤50). (2)由題意,得P=(x-30)(-3x+150)=-3x2+240x-4500=-3(x-40)2+300(30≤x≤50). ∴當x=40時,P有最大值300.故銷售單價為40元時,日銷售利潤最大. 在函數(shù)模型中,二次函數(shù)模型占有重要的地位.根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)解析式后,可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值,從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題. [針對訓(xùn)練] 1.有l(wèi)米長的鋼材,要做成如右圖所示的窗框:上半部分為半圓,下半部分為四個全等的小矩形組成的矩形,則小矩形的長與寬之比
5、為多少時,窗戶所通過的光線最多?并求出窗戶面積的最大值.
[解] 設(shè)小矩形的長為x,寬為y,窗戶的面積為S,
則由圖可得9x+πx+6y=l,所以6y=l-(9+π)x,
所以S=x2+4xy=x2+x[l-(9+π)x]=
-x2+lx=-2+.
要使窗戶所通過的光線最多,只需窗戶的面積S最大.
由6y>0,得0 6、2)假設(shè)氣體在半徑為3 cm的管道中的流量為400 cm3/s,求該氣體通過半徑為r cm的管道時,其流量R的表達式;
(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5 cm,計算該氣體的流量(精度為1 cm3/s).
[解] (1)由題意得R=kr4(k是大于0的常數(shù)).
(2)由r=3 cm,R=400 cm3/s,得k·34=400,
∴k=,
∴流量R的表達式為R=·r4.
(3)∵R=·r4,∴當r=5 cm時,R=×54≈3086(cm3/s).
利用冪函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟
(1)設(shè)出函數(shù)關(guān)系式.
(2)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)題意,利 7、用得出的函數(shù)關(guān)系式解決問題.
[針對訓(xùn)練]
2.某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.
(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使投資獲得最大收益,最大收益是多少萬元?
[解] (1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0),
結(jié)合已知得f(1)==k1,g(1)==k2,
所以f( 8、x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬元,則投資風險型產(chǎn)品(20-x)萬元,依題意得獲得收益為y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20),令t=(0≤t≤2),則x=20-t2,所以y=+=-(t-2)2+3,所以當t=2,即x=16時,y取得最大值,ymax=3.
故當投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元,風險型產(chǎn)品4萬元時,可使投資獲得最大收益,最大收益是3萬元.
題型三用分段函數(shù)模型解決實際問題
【典例3】 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當橋上的車 9、流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/時.研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式;
(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/時)f(x)=x·v(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時)
[思路導(dǎo)引] 用待定系數(shù)法確定v(x)的表達式,再確定f(x).
[解] (1)由題意:當0≤x≤20時,v(x)=60;當20≤x≤200時,設(shè)v(x)=ax+b,
再由已知得解得
故函數(shù)v(x)的 10、表達式為
v(x)=
(2)依題意并由(1)可得
f(x)=
當0≤x≤20時,f(x)為增函數(shù),故當x=20時,其最大值為60×20=1200;
當20≤x≤200時,f(x)=x(200-x)
=-x2+x=-(x2-200x)
=-(x-100)2+,
所以當x=100時,f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.
綜上,當x=100時,f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333,
即當車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大,最大值約為3333輛/時.
構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點
建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點,即明確自變量的取值區(qū) 11、間,對每一區(qū)間進行分類討論,從而寫出函數(shù)的解析式.
[針對訓(xùn)練]
3.某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超過6元,則每提高1元,租不出去的自行車就增加3輛.旅游點規(guī)定:每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元,每輛自行車的日租金x元只取整數(shù),用y表示出租所有自行車的日凈收入(即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費后的所得).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式.
(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元?日凈收入最多為多少元?
[解] (1)當x≤6時,y=5 12、0x-115,令50x-115>0,解得x>2.3.
又因為x∈N,x≥3,所以3≤x≤6,且x∈N.
當6 13、題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學模型,這是解應(yīng)用問題的難點所在;
(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,將文字語言轉(zhuǎn)化
為符號語言,利用數(shù)學知識,建立相應(yīng)的數(shù)學模型;
(3)求模:求解數(shù)學模型,得出數(shù)學結(jié)論;
(4)還原:將數(shù)學問題還原為實際問題.
1.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次,存車費為:電動自行車0.3元/輛,普通自行車0.2元/輛.若該天普通自行車存車x輛次,存車費總收入為y元,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為( )
A.y=0.2x(0≤x≤4000)
B.y=0.5x(0≤x≤4000)
C.y=-0.1x+12 14、00(0≤x≤4000)
D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000)
[解析] 由題意得y=0.3(4000-x)+0.2x=-0.1x+1200.(0≤x≤4000)
[答案] C
2.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示,由圖中給出的信息可知,營銷人員沒有銷售量時的收入是( )
A.310元 B.300元
C.390元 D.280元
[解析] 由圖象知,該一次函數(shù)過(1,800),(2,1300),可求得解析式y(tǒng)=500x+300(x≥0),當x=0時,y=300.
[答案] B
3.下面是一幅統(tǒng)計圖,根據(jù)此圖得到的以下說法中, 15、正確的個數(shù)是( )
①這幾年生活水平逐年得到提高;
②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年;
③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年;
④雖然2016年生活費收入增長緩慢,但生活價格指數(shù)也略有降低,因而生活水平有較大的改善.
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析] 由題意知,“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的,故①正確;“生活費收入指數(shù)”在2014~2015年最陡;故②正確;“生活價格指數(shù)”在2015~2016年最平緩,故③不正確;“生活價格指數(shù)”略呈下降,而“生活費收入指數(shù)”呈上升趨勢,故④正確.
[答案] C
4.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上 16、經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.
(1)當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;
(2)在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為________.
[解析] (1)x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.
(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為y元,當y< 17、120元時,李明得到的金額為y×80%,符合要求;當y≥120元時,有(y-x)×80%≥y×70%恒成立,即8(y-x)≥7y,x≤,
因為min=15,所以x的最大值為15.
[答案] (1)130 (2)15
5.如圖所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形塊BNPM,使點P在邊DE上.
(1)設(shè)MP=x米,PN=y(tǒng)米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;
(2)求矩形BNPM面積的最大值.
[解] (1)如圖所示,延長NP交AF于點Q,
所以PQ=8-y,EQ=x 18、-4.
在△EDF中,=,所以=.
所以y=-x+10,定義域為[4,8].
(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S,
則S=xy=x=-(x-10)2+50.
又x∈[4,8],
所以當x=8時,S取最大值48.
課后作業(yè)(二十四)
復(fù)習鞏固
一、選擇題
1.某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購,也可以自己生產(chǎn).如果外購,每個配件的價格是1.10元;如果自己生產(chǎn),則每月的固定成本將增加800元,并且生產(chǎn)每個配件的材料和勞力需0.60元,則決定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點(即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算)是( )
A.1000件 B.1200件
C.1400件 D.1600件
[解析] 設(shè) 19、生產(chǎn)x件時自產(chǎn)合算,由題意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1600,故選D.
[答案] D
2.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本(單位:萬元)為C(x)=x2+2x+20.已知1萬件售價是20萬元,為獲取更大利潤,該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為( )
A.36萬件 B.22萬件
C.18萬件 D.9萬件
[解析] ∵利潤L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,∴當x=18時,L(x)取最大值.
[答案] C
3.某公司招聘員工,面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算,計算公式為y=其中,x代表擬錄用人數(shù),y代表面試人 20、數(shù),若面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為( )
A.15 B.40
C.25 D.130
[解析] 若4x=60,則x=15>10,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿足題意;若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用25人.
[答案] C
4.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車,利潤(單位:萬元)分別為L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x為銷售量(單位:輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車,則能獲得的最大利潤為( )
A.45.606萬元 B.45.6萬元
C.45.56萬元 D.45.51萬元
[解析] 依題意,可設(shè)甲地銷售x輛,則乙 21、地銷售(15-x)輛,故總利潤S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15),∴對稱軸為直線x=10.2,又x∈N*,∴當x=10時,Smax=45.6.
[答案] B
5.根據(jù)統(tǒng)計,一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位:分鐘)為f(x)=(A,c為常數(shù)).
已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30 min,組裝第A件產(chǎn)品用時15 min,那么c和A的值分別是( )
A.75,25 B.75,16
C.60,25 D.60,16
[解析] 由題意知,組裝第A件產(chǎn)品所需時間為=15,故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為=30,解得c=60.將c=60 22、代入=15,得A=16.
[答案] D
二、填空題
6.若等腰三角形的周長為20,底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù),則它的解析式為__________________.
[解析] 由題意,得2x+y=20,∴y=20-2x.∵y>0,∴20-2x>0,∴x<10.又∵三角形兩邊之和大于第三邊,∴解得x>5,∴5 23、 km.若一輛這種型號的汽車緊急剎車后滑行的距離為3b km,則這輛車的行駛速度為________km/h.
[解析] 由題意得a×602=b,解得a=,所以y=x2.因為y=3b,所以x2=3b,解得x=-60(舍去)或x=60,所以這輛車的行駛速度是60 km/h.
[答案] 60
8.某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料,根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù),若零售價定為每瓶4元,每月可銷售400瓶;若零售價每降低(升高)0.5元,則可多(少)銷售40瓶,在每月的進貨當月銷售完的前提下,為獲得最大利潤,銷售價應(yīng)定為________元/瓶.
[解析] 設(shè)銷售價每瓶定為x元,利潤為y元,則y=(x- 24、3)=80(x-3)(9-x)=-80(x-6)2+720(x≥3),所以x=6時,y取得最大值.
[答案] 6
三、解答題
9.某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)和時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為:
P=(t∈N*)
設(shè)該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q=40-t(0 25、,y=(t-70)2-900,
所以當t=25時,ymax=1125(元).
結(jié)合①②得ymax=1125(元).
因此,這種商品日銷售額的最大值為1125元,且在第25天時日銷售金額達到最大.
10.醫(yī)院通過撒某種藥物對病房進行消毒.已知開始撒放這種藥物時,濃度激增,中間有一段時間,藥物的濃度保持在一個理想狀態(tài),隨后藥物濃度開始下降.若撒放藥物后3小時內(nèi)的濃度變化可用下面的函數(shù)表示,其中x表示時間(單位:小時),f(x)表示藥物的濃度:
f(x)=
(1)撒放藥物多少小時后,藥物的濃度最高?能維持多長時間?
(2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時,那么在撒放藥物后, 26、能否達到消毒要求?并簡要說明理由.
[解] (1)當0 27、5=1.58小時,
∴撒放藥物后,能夠達到消毒要求.
綜合運用
11.擬定從甲地到乙地通話m min的電話費f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),則從甲地到乙地通話時間為5.5 min的通話費為( )
A.3.71 B.3.97
C.4.24 D.4.77
[解析] 5.5 min的通話費為f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.
[答案] C
12.某商人購貨,進價已按原價a扣去25%,他希望對貨物定一新價, 28、以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的利潤,則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是________.
[解析] 設(shè)新價為b,則售價為b(1-20%).
∵原價為a,
∴進價為a(1-25%).依題意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)×25%,化簡得b=a,∴y=b×20%·x=a×20%·x,即y=x(x∈N*).
[答案] y=x(x∈N*)
13.漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m(m>0),為了保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量x小于m,以便留出適當?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y和實際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值) 29、的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為____________________.該函數(shù)的定義域是________.
[解析] 根據(jù)題意知,空閑率是,故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=kx·,0
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