2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 1-6-1-1 直線與平面垂直的判定學(xué)案 北師大版必修2

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1、一　直線與平面垂直的判定 1．直線與平面垂直的定義 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直． 2．直線和平面垂直的判定定理 1．直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任何一條直線”是否可以換成“所有直線”“無數(shù)條直線”？ [答案]　定義中的“任何一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說成“無數(shù)條直線”，因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個(gè)平面不一定垂直． 2．線面垂直判定定理中，平面內(nèi)兩條相交直線和已知直線l必須有公共點(diǎn)嗎？ [答案]　用線面垂直判定定理判定直線與平面垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線

2、和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，則是無關(guān)緊要的． 題型一直線與平面垂直的定義及判定定理的理解 【典例1】　下列命題中，正確的序號(hào)是________． ①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直． [解析]　當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；根據(jù)線面垂直的定義，若l⊥α，則l與α內(nèi)

3、的所有直線都垂直，所以④正確． [答案]　③④ (1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解．實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直． (2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，bα，則a⊥b. [針對(duì)訓(xùn)練1]　設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(　　) A．若l⊥m，mα，l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，mα，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則

4、l∥m [解析]　對(duì)于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任何一條直線，所以不能判定線面垂直；對(duì)于B，因l⊥α，則l垂直α內(nèi)任何一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任何一條直線所成的角都是90°，即m⊥α， 故B正確；對(duì)于C，也有可能是l，m異面；對(duì)于D，l，m還可能相交或異面． [答案]　B 題型二線面垂直的判定 【典例2】　在三棱錐P－ABC中，H為△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求證：PH⊥平面ABC. [思路導(dǎo)引]　證明直線PH與平面ABC內(nèi)的兩條相交直線垂直即可． [證明]　如圖，連接AH，因?yàn)镠為△ABC的垂心， 所以AH⊥BC，

5、又AP⊥BC，AH∩AP＝A， 所以BC⊥平面AHP， 又PH平面AHP, 所以PH⊥BC. 同理可證PH⊥AB, 又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC. 利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線，證明它們都和這條直線垂直． [針對(duì)訓(xùn)練2]　 如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥平面SBC. [證明]　因?yàn)椤螦CB＝90°， 所以BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC. 又AC∩SA＝A，所以BC⊥平面SAC. 因?yàn)锳D平面SAC，所以BC⊥AD. 又

6、SC⊥AD，SC∩BC＝C， 所以AD⊥平面SBC. 1．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 [解析]　連接AC，因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交． [答案]　C 2．下列表述正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①若直線a∥平面α，直線a⊥b，則b⊥α； ②若直線a平面α，

7、bα，且a⊥b，則a⊥α； ③若直線a平行于平面α內(nèi)的兩條直線，則a∥α； ④若直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則a⊥α. A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　①中b與α還可能平行、斜交或b在平面α內(nèi)；②中a與α還可能平行或斜交；③中a還可能在平面α內(nèi)或 與α斜交；由直線與平面垂直的判定定理知④錯(cuò)． [答案]　A 3．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的： ①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊． 那么能保證該直線與平面垂直的是(　　) A．①③ B．①② C．②④ D．①④ [解析]　如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直

8、線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面，因此可知①③適合判定定理．故選A. [答案]　A 4．已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的______(填“重心”、“外心”、“內(nèi)心”、“垂心”)． [解析]　P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，所以是外心． [答案]　外心 課后作業(yè)(十一) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間20分鐘) 1．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α； ②若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l⊥α； ③若

9、直線l與平面α內(nèi)的任何一條直線垂直，則l⊥α. A．3 B．2 C．1 D．0 [解析]　根據(jù)線面垂直的判定定理可知，當(dāng)平面α內(nèi)有兩條相交直線都與l垂直時(shí)，直線l與平面α垂直，故①錯(cuò)誤，②③正確。故選B. [答案]　B 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1垂直的平面的個(gè)數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．6 [解析]　僅有平面AC和平面A1C1與直線AA1垂直． [答案]　B 3．PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是(　　) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB

10、D．PC⊥BC [解析]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，A正確；∵C為以AB為直徑的圓周上一點(diǎn)，∴BC⊥AC，又BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴B、D正確．故選C. [答案]　C 4．如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是(　　) A．異面　　　　B．平行 C．垂直　　　　D．不確定 [解析]　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l. 同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC. ∵AC平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC. [答案]　C 5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥

11、平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD. ?BC⊥平面PAB?BC⊥PB 由?CD⊥平面PAD?CD⊥PD. ∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形． [答案]　D 6．已知直線l，a，b，平面α，若要得到結(jié)論l⊥α，則需要在條件aα，bα，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個(gè)條件是________. [解析]　由直線與平面垂直的判定定理知，需添加的一個(gè)條線為：a與b相交． [答案]　a與b相交 7．在Rt△ABC中

12、，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________. [解析]　 如圖，∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，∴CD＝5. 在Rt△ECD中，EC＝12， ∴ED＝＝13. [答案]　13 8．如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中： (1)與PC垂直的直線有________； (2)與AP垂直的直線有________． [解析]　(1)因?yàn)镻C⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以與PC垂直的直線有AB，AC，BC. (2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC， 又B

13、C⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，PA平面PAC.所以BC⊥AP. [答案]　(1)AB，AC，BC　(2)BC 9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的邊BC＝AC，AD＝BD，BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求證：AH⊥平面BCD. [證明]　 取AB的中點(diǎn)F，連接CF，DF. ∵AC＝BC，∴CF⊥AB. 又AD＝BD，∴DF⊥AB. ∵CF∩DF＝F， ∴AB⊥平面CDF. 又CD平面CDF， ∴AB⊥CD. 又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE. 又AH平面ABE，∴CD⊥AH. 又AH⊥BE，且BE∩CD＝E， ∴A

14、H⊥平面BCD. 10.如圖所示，△ABC中，∠B為直角，P是△ABC外一點(diǎn)，且PA＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中點(diǎn)，試確定AB上點(diǎn)N的位置，使得MN⊥AB. [解]　∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，∴CB⊥平面APB. 過M作ME∥CB，則ME⊥平面APB， ∴ME⊥AB.若MN⊥AB， ∵M(jìn)E∩MN＝M，則AB⊥平面MNE， ∴AB⊥EN.取AB中點(diǎn)D，連接PD， ∵PA＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD. 又M為PC中點(diǎn)，ME∥BC，∴E為PB中點(diǎn)． ∵EN∥PD，∴N為BD中點(diǎn)， 故當(dāng)N為AB的四等分點(diǎn)(AN＝3BN)時(shí)，MN⊥AB. 應(yīng)試能

15、力等級(jí)練(時(shí)間25分鐘) 11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1上的點(diǎn)，則下列直線中一定與CE垂直的是(　　) A．AC B．BD C．A1D1 D．A1A [解析]　∵BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1A1. 又∵CE平面ACC1A1，∴BD⊥CE. [答案]　B 12．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB

16、點(diǎn)，∴MA＝MB＝MC. 又∵PM⊥平面ABC， ∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC， ∴PA＝PB＝PC，故選C. [答案]　C 13.如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則a的取值范圍是________． [解析]　因?yàn)镻A⊥平面AC，QD平面AC，∴PA⊥QD. 又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P ∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD. ①當(dāng)0

17、不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD； ②當(dāng)a＝2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點(diǎn)Q，此時(shí)∠AQD＝90°，所以BC邊上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD； ③當(dāng)a>2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相交于點(diǎn)Q1、Q2，此時(shí)∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC邊上存在兩點(diǎn)Q(即Q1與Q2)，使PQ⊥QD. 綜上所述，a的取值范圍為[2，＋∞)． [答案]　[2，＋∞) 14.如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)CF＝λFD，則當(dāng)λ＝________時(shí)，D1E⊥平面AB1F. [解析]　當(dāng)λ＝1時(shí)，D1E⊥平面AB1F. 連

18、接A1B、CD1，則A1B⊥AB1， A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1 又D1E面A1BCD1， ∴AB1⊥D1E. 又DD1⊥平面BD ∴AF⊥DD1. 又AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE ∴AF⊥D1E. ∴D1E⊥平面AB1F. 即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)λ＝1時(shí)，D1E⊥平面AB1F. [答案]　1 15.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)． (1)求證：MN∥平面PAD； (2)若AP＝AD，求證：MN⊥平面PCD. [證明]　(1)取PD的中點(diǎn)E，連接NE、AE，如圖． ∵N是PC的中點(diǎn)， ∴NE綊DC. 又∵DC綊AB，AM＝AB， ∴AM綊CD，∴NE綊AM， ∴四邊形AMNE是平行四邊形， ∴MN∥AE. ∵AE平面PAD，MN平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)∵AP＝AD，∴AE⊥PD. 又∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD. ∵AE平面PAD，∴CD⊥AE. ∴CD⊥MN，又CD∩PD＝D， ∴MN⊥平面PCD. 11