2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2.1 函數(shù)奇偶性的概念學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時(shí) 函數(shù)奇偶性的概念 1.理解函數(shù)奇偶性的定義. 2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法. 3.會(huì)應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題. 函數(shù)的奇偶性 溫馨提示:(1)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域(對照函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),以加深理解). (2)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,反之,若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性. 1.函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=-,f(x)=2x的圖象分別如圖所示: (1)各個(gè)圖象有怎樣的對稱性? (2)對于以上三個(gè)函數(shù),分別計(jì)算f(-x),觀察對定義域內(nèi)的每一個(gè)

2、x,f(-x)與f(x)有怎樣的關(guān)系? [答案] (1)y=x2-1的圖象關(guān)于y軸對稱;y=-和y=2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 (2)對于f(x)=x2-1,f(-x)=x2-1=f(x); 對于f(x)=-,f(-x)=-=-f(x); 對于f(x)=2x,f(-x)=-2x=-f(x) 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交.(  ) (2)奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn).(  ) (3)函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函數(shù).(  ) (4)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0.(  ) [答案] (1)× 

3、(2)× (3)× (4)√ 題型一函數(shù)奇偶性的判斷 【典例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)=+; (3)f(x)=; (4)f(x)= [思路導(dǎo)引] 借助奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義判斷. [解] (1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱, 又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)為偶函數(shù). (2)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (3)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},不

4、關(guān)于原點(diǎn)對稱, ∴f(x)是非奇非偶函數(shù). (4)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對稱. 當(dāng)x>0時(shí),-x<0, f(-x)=1-(-2x)=1+2x=f(x); 當(dāng)x<0時(shí),-x>0, f(-x)=1+(-2x)=1-2x=f(x). 綜上可知,對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)為偶函數(shù). 判斷函數(shù)奇偶性的2種方法 (1)定義法 (2)圖象法 [針對訓(xùn)練] 1.判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=x2(x2+2); (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)=; (4)f(

5、x)= [解] (1)∵x∈R,關(guān)于原點(diǎn)對稱, 又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x), ∴f(x)為偶函數(shù). (2)∵x∈R,關(guān)于原點(diǎn)對稱, 又∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|) =-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù). (3)f(x)的定義域?yàn)閇-1,0)∪(0,1],關(guān)于原點(diǎn)對稱, 又∵f(-x)==-=-f(x). ∴f(x)為奇函數(shù). (4)顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱. 當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-f(x), 當(dāng)x<0時(shí),

6、-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x), ∴f(-x)=-f(x), ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 題型二奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象 【典例2】 已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示. (1)畫出在區(qū)間[-5,0]上的圖象. (2)寫出使f(x)<0的x的取值集合. [思路導(dǎo)引] 根據(jù)奇函數(shù)圖象特征作出函數(shù)圖象,再求解. [解] (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.由y=f(x)在[0,5]上的圖象,可知它在[-5,0]上的圖象,如圖所示. (2)由圖象知,使f(x)<

7、0的x的取值集合為(-2,0)∪(2,5). [變式] 若將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”,試畫出在區(qū)間[-5,0]上的圖象. [解] 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以y=f(x)在[-5,5]上的圖象關(guān)于y軸對稱.由y=f(x)在[0,5]上的圖象,可知它在[-5,0]上的圖象,如圖所示. 巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題 (1)依據(jù):奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對稱. (2)求解:根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題. [針對訓(xùn)練] 2.定義在[-3,-1]∪[1,3]上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其部分圖象如圖所示.

8、 (1)請?jiān)谧鴺?biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象; (2)比較f(1)與f(3)的大小. [解] (1)由于f(x)是奇函數(shù),則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,其圖象如圖所示. (2)觀察圖象,知f(3)

9、數(shù), ∴a-1+2a=0,得a=. 又f(-x)=f(x),即x2-bx+1+b=x2+bx+1+b 對x∈均成立, ∴b=0. (2)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x), 即=-. 顯然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a, 故a+1=0,得a=-1. [答案] (1) 0 (2)-1 利用奇偶性求參數(shù)的2種類型 (1)定義域含參數(shù):奇偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,利用a+b=0求參數(shù). (2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解. [針對訓(xùn)

10、練] 3.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數(shù),則m的值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由f(-x)=f(x),得(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),所以m=2. [答案] B 4.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+,則f(-1)=________. [解析] ∵f(x)為奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=x2+, ∴f(-1)=-f(1)=-=-2. [答案]?。? 課堂歸納小結(jié) 1.一個(gè)條件:定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(

11、x)是奇(偶)函數(shù)的一個(gè)必要不充分條件. 2.兩個(gè)性質(zhì):函數(shù)為奇函數(shù)?它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;函數(shù)為偶函數(shù)?它的圖象關(guān)于y軸對稱. 3.證明一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),必須對f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x).而證明一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù),只要能舉出一個(gè)反例就可以了. 4.熟悉常見函數(shù)的奇偶性:一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),當(dāng)b=0時(shí)是奇函數(shù);當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).y=(k≠0)為奇函數(shù).y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 1.函數(shù)y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函數(shù),則a等于( 

12、 ) A.-1 B.0 C.1 D.無法確定 [解析] 由-1+a=0,得a=1.選C. [答案] C 2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(  ) A.y=x B.y=2x2-3 C.y= D.y=x2,x∈[0,1] [解析] A項(xiàng)中的函數(shù)為奇函數(shù);C、D選項(xiàng)中的函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);B項(xiàng)中的函數(shù)為偶函數(shù).故選B. [答案] B 3.函數(shù)f(x)=-x的圖象(  ) A.關(guān)于y軸對稱 B.關(guān)于直線y=x對稱 C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線y=-x對稱 [解析] 函數(shù)f(x)=-x的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(-x

13、)=--(-x)=x-=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. [答案] C 4.若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=________. [解析] 由f(x)=(x+a)(x-4)得f(x)=x2+(a-4)x-4a,若f(x)為偶函數(shù),則a-4=0,即a=4. [答案] 4 5.已知y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù),它們的定義域都是[-3,3],且它們在[0,3]上的圖象如圖所示,求不等式<0的解集. [解] 由題知,y=f(x)是偶函數(shù),y=g(x)是奇函數(shù). 根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性畫出y=f(x),y=g(x)在[-3, 0]上的

14、圖象如圖所示.由圖可知f(x)>0?00?1

15、稱,不具有奇偶性,故排除;選項(xiàng)B中的圖象關(guān)于y軸對稱,其表示的函數(shù)是偶函數(shù).故選B. [答案] B 3.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(xiàn)(x)=f(x)+f(-x),則F(x)是(  ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù) [解析] F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x). 又x∈(-a,a)關(guān)于原點(diǎn)對稱, ∴F(x)是偶函數(shù). [答案] B 4.對于定義在R上的函數(shù)f(x),有下面四個(gè)結(jié)論: ①若f(x)是偶函數(shù),則f(-2)=f(2); ②若f(-2)=f(2),則函數(shù)f(x)是偶函數(shù); ③若f(-2)≠f(2),則函數(shù)

16、f(x)不是偶函數(shù); ④若f(-2)=f(2),則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù). 其中正確的個(gè)數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]?、僬_;②錯(cuò)誤,僅兩個(gè)特殊的函數(shù)值相等不足以確定函數(shù)的奇偶性,需要滿足“任意”;③正確;④錯(cuò)誤,反例:f(x)=0滿足條件,該函數(shù)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù). [答案] B 5.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù),則g(x)=ax3+bx2+cx是(  ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) [解析] ∵f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù), ∴f(-x)=f(x),得b=0. ∴g(x)=

17、ax3+cx. ∴g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x), ∴g(x)為奇函數(shù). [答案] A 二、填空題 6.奇函數(shù)f(x)的定義域是(t,2t+3),則t=________. [解析] 由奇函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,知t+2t+3=0,得t=-1. [答案] -1 7.函數(shù)f(x)=x3+ax,若f(1)=3,則f(-1)的值為________. [解析] ∵x∈R,且f(-x)=-x3-ax=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù). ∴f(-1)=-f(1)=-3. [答案]?。? 8.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+1,

18、則f(-2)+f(0)=________. [解析] 由題意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5. [答案]?。? 三、解答題 9.判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)=; (3)f(x)=x2+|x+a|+1. [解] (1)由x+1≠0,得f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以函數(shù)f(x)=不具有奇偶性. (2)∴-1≤x≤1且x≠0, ∴定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1,且x≠0}. ∴f(x)=, ∴f(-x)=-=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù). (3)f(x)的定義

19、域?yàn)镽, f(-x)=x2+|x-a|+1. 又f(x)=x2+|x+a|+1, 當(dāng)a=0時(shí),f(-x)=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù); 當(dāng)a≠0時(shí),|x-a|≠|(zhì)x+a|,此時(shí)f(x)不具有奇偶性. 10.(1)如圖①,給出奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值. (2)如圖②,給出偶函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大?。? [解] (1)奇函數(shù)y=f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(-x,-f(-x))關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P′(x,f(x)),圖③為圖①補(bǔ)充后的圖象,易知f(3)=-2.    (2)

20、偶函數(shù)y=f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(-x,f(-x))關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P′(x,f(x)),圖④為圖②補(bǔ)充后的圖象,易知f(1)>f(3). 綜合運(yùn)用 11.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是(  ) A.|f(x)|-g(x)是奇函數(shù) B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù) C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù) D.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù) [解析] ∵函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù), ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 對于選項(xiàng)A,|f(-x)|-g(-x)=|f(x)|+g(x)≠±(|f(

21、x)|-g(x)),故其不具有奇偶性; 對于選項(xiàng)B,f(-x)-|g(-x)|=f(x)-|g(x)|,故函數(shù)為偶函數(shù); 對于選項(xiàng)C,|f(-x)|+g(-x)=|f(x)|-g(x)≠±(|f(x)|+g(x)),故其不具有奇偶性; 對于選項(xiàng)D,f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|,故函數(shù)為偶函數(shù). 綜上,選D. [答案] D 12.已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] 由題意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(

22、-1)=f(1)+g(1)=4.兩式相加,解得g(1)=3. [答案] B 13.若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a等于________. [解析] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x. 又f(x)為奇函數(shù),定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴a=. [答案]  14.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax,且f(3)=6,則a的值為________. [解析] 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5. [答案] 5 15.已知函數(shù)f(x)對一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求證:f(x)是奇函數(shù); (2)若f(-3)=a,試用a表示f(12). [解] (1)證明:由已知f(x+y)=f(x)+f(y), 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 令x=y(tǒng)=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x), 故f(x)是奇函數(shù). (2)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù). 所以f(-3)=-f(3)=a, 所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以f(12)=-4a. 13

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