（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第1講 空間幾何體學案 文

（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第1講 空間幾何體學案 文 [考情考向分析]　1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題． 熱點一　三視圖與直觀圖 1．一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． 2．由三視圖還原幾何體的步驟 一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體． 例1　(1)(2018·全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A. (2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________． 答案　2＋ 解析　如圖，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E， 則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可還原原圖形如圖所示． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′ ＝××2＝2＋. 思維升華　空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進行綜合考慮． 跟蹤演練1　(1)(2018·衡水模擬)已知一幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 答案　D 解析　由選項圖可知，選項D對應的幾何體為長方體與三棱柱的組合，其側(cè)(左)視圖中間的線不可視，應為虛線，故該幾何體的俯視圖不可能是D. (2)(2018·合肥質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，用過點A，C，E的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　A 解析　如圖所示，取B1C1的中點F，連接EF，AC，AE，CF，則EF∥AC，平面ACFE，即為平面ACE截正方體所得的截面，據(jù)此可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖如選項A所示． 熱點二　幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧． 例2　(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π＋4 B．4π＋4 C．6π＋4 D．8π＋4 答案　B 解析　由三視圖可得該幾何體由上下兩部分組成，上部分是半徑為1的四分之一球，下部分是底面圓半徑為1，高為2的半圓柱． 故該幾何體的表面積為 S表＝×＋×＋××2＋×＋2×2＝4π＋4. (2)(2018·內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗模擬)甲、乙兩個幾何體的三視圖如圖所示(單位相同)，記甲、乙兩個幾何體的體積分別為V1，V2，則(　　) A．V1>2V2 B．V1＝2V2 C．V1－V2＝163 D．V1－V2＝173 答案　D 解析　由甲的三視圖可知，該幾何體為一個正方體中間挖掉一個長方體，正方體的棱長為8，長方體的長為4，寬為4，高為6，則該幾何體的體積為V1＝83－4×4×6＝416； 由乙的三視圖可知，該幾何體是一個底面為正方形，邊長為9，高為9的四棱錐，則該幾何體的體積為V2＝×9×9×9＝243. ∴V1－V2＝416－243＝173. 思維升華　(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和． (2)求簡單幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等進行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． 跟蹤演練2　(1)(2018·黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學模擬)已知某幾何體是一個平面將一正方體截去一部分后所得，該幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．20＋2 B．18＋2 C．18＋ D．20＋ 答案　B 解析　由三視圖可知，正方體棱長為2，截去部分為三棱錐，作出幾何體的直觀圖如圖所示，故該幾何體的表面積為3×22＋3×＋×2＝18＋2，故選B. (2)(2018·孝義模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(實線部分)，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由三視圖可知，該幾何體是由半個圓柱與半個圓錐組合而成，其中圓柱的底面半徑為2，高為4，圓錐的底面半徑和高均為2，其體積為V＝×4π×4＋××4π×2＝，故選A. 熱點三　多面體與球 與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖． 例3　(1)(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)在三棱錐P－ABC中，△ABC和△PBC均為邊長為3的等邊三角形，且PA＝，則三棱錐P－ABC外接球的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　C 解析　取BC的中點D，連接PD，AD， 因為△ABC和△PBC均為等邊三角形， 所以AD⊥BC，PD⊥BC，AD∩PD＝D，AD，PD?平面PAD， 所以BC⊥平面PAD， 因為△ABC和△PBC均為邊長為3的等邊三角形， 所以AD＝PD＝， 又因為PA＝，PA2＝PD2＋AD2， 所以PD⊥AD， 過△ABC的外心O1作平面ABC的垂線，過△PBC的外心O2作平面PBC的垂線， 設兩條垂線交于點O， 則O為三棱錐P－ABC外接球的球心． O1O＝O2D＝，AO1＝PO2＝， 所以OA2＝OO＋AO＝， 所以外接球的半徑R＝OA＝， 所以三棱錐P－ABC外接球的體積V＝πR3＝π. (2)(2018·衡水金卷信息卷)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為20,24,16的長方體ABCD－A1B1C1D1中， 三棱錐B－KLJ即為所求的三棱錐， 其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16， ∴＝， 則△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°， 故可求得三棱錐各面面積分別為 S△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250， 故表面積為S表＝800. 三棱錐體積V＝S△BKL·JK＝1 000， 設內(nèi)切球半徑為r，則r＝＝， 故三棱錐內(nèi)切球體積V球＝πr3＝. 思維升華　三棱錐P－ABC可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形 (1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點A，B，C可作為下底面的三個頂點． (2)P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個正方體的面對角線． 跟蹤演練3　(1)(2018·咸陽模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A．13π B．20π C．25π D．29π 答案　D 解析　把三棱錐P－ABC放到長方體中，如圖所示， 所以長方體的體對角線長為＝， 所以三棱錐外接球的半徑為， 所以外接球的表面積為4π×2＝29π. (2)(2018·四川成都名校聯(lián)考)已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則等于(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案　C 解析　如圖， 由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長， 則lR＝2πr2， 即·2π·r·R＝2πr2， 解得R＝2r， 故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形， 設B為△DEF的重心，過B作BC⊥DF， 則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑， 則＝，∴＝，故＝. 真題體驗 1．(2018·全國Ⅰ改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點M在正(主)視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在側(cè)(左)視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為________． 答案　2 解析　先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑． ON＝×16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝＝2. 2．(2017·北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為________． 答案　2 解析　在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為該四棱錐的最長棱． 由三視圖可知，正方體的棱長為2， 故SD＝＝2. 3．(2017·天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________． 答案　π 解析　設正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝. 設球的半徑為R，則由題意知2R＝＝3， ∴R＝. 故球的體積V＝πR3＝π×3＝π. 4．(2017·全國Ⅰ)已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S—ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 答案　36π 解析　如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴OA⊥平面SCB. 設球O的半徑為r，則 OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積 V＝××SC×OB×OA＝， 即＝9，∴r＝3，∴球O的表面積S＝4πr2＝36π. 押題預測 1．一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16 B．8＋8 C．2＋2＋8 D．4＋4＋8 押題依據(jù)　求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點．此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求幾何體的表面積或體積． 答案　D 解析　由三視圖知，該幾何體是底面邊長為＝2的正方形，高PD＝2的四棱錐P－ABCD， 因為PD⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形， 易得BC⊥PC，BA⊥PA， 又PC＝＝＝2， 所以S△PCD＝S△PAD＝×2×2＝2， S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2. 所以幾何體的表面積為4＋4＋8. 2．在正三棱錐S－ABC中，點M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為(　　) A．6π B．12π C．32π D．36π 押題依據(jù)　靈活運用正三棱錐中線與棱之間的位置關系來解決外接球的相關問題，是高考的熱點． 答案　B 解析　因為三棱錐S－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π，故選B. 3．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與圓柱的體積的比值為________． 押題依據(jù)　求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積．本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計算，命題角度新穎，值得關注． 答案　 解析　如圖所示，設圓柱的底面半徑為r， 則圓柱的側(cè)面積為 S＝2πr×2＝4πr ≤4π×＝2π . 所以當r＝時，＝＝. A組　專題通關 1．(2018·上海金山區(qū)模擬)如圖幾何體是由五個相同正方體疊成的，其三視圖中的側(cè)(左)視圖序號是(　　) 答案　A 解析　根據(jù)幾何體的直觀圖，可以得到它的側(cè)(左)視圖，應該是下面兩個正方形，上面一個正方形且靠近左側(cè)，故選A. 2．(2018·咸陽模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(　　) A．16－8π B．64－8π C．64－4π D．16－4π 答案　C 解析　由三視圖知，該幾何體是正方體中間挖去一個圓柱， 所以V＝43－π×12×4＝64－4π. 3．(2018·佛山質(zhì)檢)如圖是一種螺栓的簡易三視圖，其螺帽俯視圖是一個正六邊形，則由三視圖尺寸可知，該螺栓的表面積為(　　) A．15＋12π B．9＋12＋12π C．12＋12＋12π D．12＋12＋11π 答案　C 解析　螺栓由一個正六棱柱與一個圓柱組合而成，其中正六棱柱的高為1，底邊正六邊形邊長為2，圓柱高為6，底面圓半徑為1.因此螺栓的表面積為正六棱柱表面積與圓柱側(cè)面積之和，正六棱柱的一個底面積為6××22＝6，正六棱柱的側(cè)面積為6×1×2＝12，圓柱側(cè)面積為2π×1×6＝12π，因此螺栓的表面積為2×6＋12＋12π＝12＋12＋12π，故選C. 4．某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是△A′B′C′，如圖(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝，則該幾何體的表面積為(　　) A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 答案　C 解析　由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個底面邊長為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長方體中，長、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐P－ABC，且S△PAB＝S△PBC＝×4×6＝12，S△ABC＝×4×2＝4，△PAC是腰長為，底面邊長為4的等腰三角形，S△PAC＝8.綜上可知，該幾何體的表面積為2×12＋4＋8＝24＋12.故選C. 5．已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積是(　　) A．2π B．4π C．8π D．10π 答案　C 解析　根據(jù)余弦定理可知，BC＝，則∠ACB＝90°， 點E，F(xiàn)分別是斜邊AB，A′B′的中點，點O為EF的中點，點O為三棱柱外接球的球心，設三棱柱的高為h，V＝×1××h＝，解得h＝2，R2＝OA2＝2＋2，代入可得R2＝1＋1＝2，所以此球的表面積為S＝4πR2＝8π，故選C. 6．(2018·衡水金卷信息卷)已知正四棱錐P－ABCD的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖所示， 設底面正方形ABCD的中心為O′，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心為O， ∵底面正方形的邊長為， ∴O′D＝1， ∵正四棱錐的體積為2， ∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3， ∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|， 在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2， 即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝， ∴V球＝πR3＝π×3＝. 7．在三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　B 解析　由題意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°， 則根據(jù)余弦定理可得 AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC， 解得AC＝7， 設△ABC的外接圓半徑為r，則 △ABC的外接圓直徑2r＝＝，∴r＝， 又∵側(cè)棱SA⊥底面ABC， ∴三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離d＝SA＝，則外接球的半徑R＝ ＝， 則該三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝π. 8．(2018·北京海淀區(qū)模擬)某幾何體的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中，可能是該幾何體側(cè)(左)視圖的圖形是________．(寫出所有可能的序號) 答案?、佗冖? 解析　如圖a三棱錐C－ABD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為①； 如圖b四棱錐P－ABCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為②； 如圖c三棱錐P－BCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為③. 9．(2018·安徽省“皖南八校”聯(lián)考)如圖1所示是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，現(xiàn)測得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EF－ABCD的體積為________cm3. 答案　3 500 解析　在EF上，取兩點M，N(圖略)，分別滿足EM＝NF＝5，連接DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個棱錐和一個棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關量，可以求得V＝×20×15×20＋2×××20×15×5＝3 500. 10．(2018·全國Ⅲ改編)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________． 答案　18 解析　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9， 所以AB＝6， 所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2. 設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d， 則d＝＝＝2. 所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6， 所以三棱錐D－ABC體積的最大值為×9×6＝18. 11．(2018·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 答案　8π 解析　在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8， 解得SA＝4. 設圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝2，h＝2， 所以圓錐的體積V＝πr2·h＝π×(2)2×2＝8π. 12．已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，則此三棱錐外接球的表面積是________． 答案　8π 解析　如圖PA，PB，PC兩兩垂直，設PC＝h， 則PB＝＝， PA＝＝， 由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB， 得PC⊥平面PAB，∴PC⊥AB， 即PA2＋PB2＝AB2，∴4－h(huán)2＋7－h(huán)2＝5， 解得h＝，在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝， ∴以PA，PB，PC為棱構(gòu)造一個長方體,則這個長方體的外接球就是三棱錐P－ABC的外接球， ∴由題意可知，這個長方體的中心是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球的半徑為R＝＝， ∴外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×()2＝8π. B組　能力提高 13．若四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)三視圖還原幾何體為一個四棱錐P－ABCD，如圖所示， 平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD為等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，過△PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩條垂線交于一點O，則O為四棱錐外接球的球心， 在△PAD中，cos∠APD＝＝，則sin∠APD＝， 2PF＝＝＝，PF＝， PE＝＝，OH＝EF＝－＝， BH＝＝， OB＝＝ ＝， 所以S＝4π×＝. 14．(2018·龍巖質(zhì)檢)如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部分圍成一個正四棱錐，則正四棱錐側(cè)面積的取值范圍為(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(0,2] D．(0,2) 答案　D 解析　設四棱錐一個側(cè)面為△APQ，∠APQ＝x，過點A作AH⊥PQ， 則AH＝PQ×tan x＝＝ ＝－PQ， ∴PQ＝，AH＝， ∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH ＝2××＝，x∈， ∵S＝＝ ＝≤＝2， ， 而tan x>0，故S>0， ∵S＝2時，△APQ是等腰直角三角形， 頂角∠PAQ＝90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐， ∴S的取值范圍為(0,2)，故選D. 15．在棱長為2的正四面體P－ABC中，M，N分別為PA，BC的中點，點D是線段PN上一點，且PD＝2DN，則三棱錐D－MBC的體積為________． 答案　 解析　由題意得VD－BMC＝VM－BDC， AN＝＝，DN＝×＝. 所以AD＝ ＝. 所以三棱錐M－BDC的高為×＝. 因為S△BCD＝×＝. 所以VD－BMC＝VM－BDC＝××＝. 16．(2018·衡水金卷信息卷)在正三棱錐A－BCD中，M，N分別是AB，BC上的點，且MN∥AC，AM＝5MB，MD⊥MN，若側(cè)棱AB＝1，則正三棱錐A－BCD的外接球的表面積為________． 答案　3π 解析　設底面邊長為a，則在△BCD中， BN＝BC＝a，∠DBN＝， 由余弦定理，得DN2＝BD2＋BN2－2BD·BN·cos∠DBN＝a2， ∴DN＝a. 同理，在△ABD中，cos∠BAD＝， 在△AMD中，AM＝，DM＝ ， ∵MD⊥MN，MN＝AC＝， DM2＋MN2＝DN2， 即a2＋＋＝a2，∴a2＝2，a＝. 設A在底面BCD 上的射影為E， 則BE＝BCsin 60°×＝，AE＝＝. 設外接球的半徑為R，則R2＝2＋BE2， ∴R＝， ∴正三棱錐A－BCD的外接球的表面積為S＝4πR2＝3π.