（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題四 立體幾何 第1講 空間幾何體學案 文

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1、（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題四 立體幾何 第1講 空間幾何體學案 文 [考情考向分析]　1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題． 熱點一　三視圖與直觀圖 1．一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． 2．由三視圖還原幾何體的步驟 一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體． 例1　(1)(2018·全國Ⅲ)中國

2、古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. (2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________． 答案　2＋ 解析　如圖，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E， 則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝

3、45°，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可還原原圖形如圖所示． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′ ＝××2＝2＋. 思維升華　空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何

4、體的形狀，即可得到結(jié)果．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進行綜合考慮． 跟蹤演練1　(1)(2018·衡水模擬)已知一幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 答案　D 解析　由選項圖可知，選項D對應(yīng)的幾何體為長方體與三棱柱的組合，其側(cè)(左)視圖中間的線不可視，應(yīng)為虛線，故該幾何體的俯視圖不可能是D. (2)(2018·合肥質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，用過點A，C，E的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　

5、A 解析　如圖所示，取B1C1的中點F，連接EF，AC，AE，CF，則EF∥AC，平面ACFE，即為平面ACE截正方體所得的截面，據(jù)此可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖如選項A所示． 熱點二　幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧． 例2　(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π＋4 B．4π＋4 C．6π＋4 D．8π

6、＋4 答案　B 解析　由三視圖可得該幾何體由上下兩部分組成，上部分是半徑為1的四分之一球，下部分是底面圓半徑為1，高為2的半圓柱． 故該幾何體的表面積為 S表＝×＋×＋××2＋×＋2×2＝4π＋4. (2)(2018·內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗模擬)甲、乙兩個幾何體的三視圖如圖所示(單位相同)，記甲、乙兩個幾何體的體積分別為V1，V2，則(　　) A．V1>2V2 B．V1＝2V2 C．V1－V2＝163 D．V1－V2＝173 答案　D 解析　由甲的三視圖可知，該幾何體為一個正方體中間挖掉一個長方體，正方體的棱長為8，長方體的長為4，寬為4，高為6，則該幾何體的體積

7、為V1＝83－4×4×6＝416； 由乙的三視圖可知，該幾何體是一個底面為正方形，邊長為9，高為9的四棱錐，則該幾何體的體積為V2＝×9×9×9＝243. ∴V1－V2＝416－243＝173. 思維升華　(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和． (2)求簡單幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等進行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． 跟蹤演練2　(1)(2018·黑龍江省

8、哈爾濱師范大學附屬中學模擬)已知某幾何體是一個平面將一正方體截去一部分后所得，該幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．20＋2 B．18＋2 C．18＋ D．20＋ 答案　B 解析　由三視圖可知，正方體棱長為2，截去部分為三棱錐，作出幾何體的直觀圖如圖所示，故該幾何體的表面積為3×22＋3×＋×2＝18＋2，故選B. (2)(2018·孝義模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(實線部分)，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由三視圖可知，該幾何體是由半個圓柱與半個圓錐組合而成，

9、其中圓柱的底面半徑為2，高為4，圓錐的底面半徑和高均為2，其體積為V＝×4π×4＋××4π×2＝，故選A. 熱點三　多面體與球 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖． 例3　(1)(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)在三棱錐P－ABC中，△AB

10、C和△PBC均為邊長為3的等邊三角形，且PA＝，則三棱錐P－ABC外接球的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　C 解析　取BC的中點D，連接PD，AD， 因為△ABC和△PBC均為等邊三角形， 所以AD⊥BC，PD⊥BC，AD∩PD＝D，AD，PD?平面PAD， 所以BC⊥平面PAD， 因為△ABC和△PBC均為邊長為3的等邊三角形， 所以AD＝PD＝， 又因為PA＝，PA2＝PD2＋AD2， 所以PD⊥AD， 過△ABC的外心O1作平面ABC的垂線，過△PBC的外心O2作平面PBC的垂線， 設(shè)兩條垂線交于點O， 則O為三棱錐P－ABC

11、外接球的球心． O1O＝O2D＝，AO1＝PO2＝， 所以O(shè)A2＝OO＋AO＝， 所以外接球的半徑R＝OA＝， 所以三棱錐P－ABC外接球的體積V＝πR3＝π. (2)(2018·衡水金卷信息卷)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為20,24,16的長方體ABCD－A1B1C1D1中， 三棱錐B－KLJ即為所求的三棱錐， 其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16， ∴＝， 則△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°， 故可求得三棱錐各面面積分別為

12、S△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250， 故表面積為S表＝800. 三棱錐體積V＝S△BKL·JK＝1 000， 設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r＝＝， 故三棱錐內(nèi)切球體積V球＝πr3＝. 思維升華　三棱錐P－ABC可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形 (1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點A，B，C可作為下底面的三個頂點． (2)P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個正方體的面對角線． 跟蹤演練3　(1)(2018·咸陽模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球

13、的表面積為(　　) A．13π B．20π C．25π D．29π 答案　D 解析　把三棱錐P－ABC放到長方體中，如圖所示， 所以長方體的體對角線長為＝， 所以三棱錐外接球的半徑為， 所以外接球的表面積為4π×2＝29π. (2)(2018·四川成都名校聯(lián)考)已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則等于(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案　C 解析　如圖， 由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長， 則lR＝2πr2， 即·2π·

14、r·R＝2πr2， 解得R＝2r， 故∠ADC＝30°，則△DEF為等邊三角形， 設(shè)B為△DEF的重心，過B作BC⊥DF， 則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑， 則＝，∴＝，故＝. 真題體驗 1．(2018·全國Ⅰ改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點M在正(主)視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在側(cè)(左)視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為________． 答案　2 解析　先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N

15、為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑． ON＝×16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝＝2. 2．(2017·北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為________． 答案　2 解析　在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為該四棱錐的最長棱． 由三視圖可知，正方體的棱長為2， 故SD＝＝2. 3．(2017·天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________． 答案　π 解析　設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝. 設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R

16、＝＝3， ∴R＝. 故球的體積V＝πR3＝π×3＝π. 4．(2017·全國Ⅰ)已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S—ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 答案　36π 解析　如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則 OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積 V＝××SC×OB×OA＝， 即＝9

17、，∴r＝3，∴球O的表面積S＝4πr2＝36π. 押題預(yù)測 1．一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16 B．8＋8 C．2＋2＋8 D．4＋4＋8 押題依據(jù)　求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點．此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求幾何體的表面積或體積． 答案　D 解析　由三視圖知，該幾何體是底面邊長為＝2的正方形，高PD＝2的四棱錐P－ABCD， 因為PD⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形， 易得BC⊥PC，BA⊥PA， 又PC＝＝＝2， 所以S△PCD＝S△PAD＝

18、×2×2＝2， S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2. 所以幾何體的表面積為4＋4＋8. 2．在正三棱錐S－ABC中，點M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為(　　) A．6π B．12π C．32π D．36π 押題依據(jù)　靈活運用正三棱錐中線與棱之間的位置關(guān)系來解決外接球的相關(guān)問題，是高考的熱點． 答案　B 解析　因為三棱錐S－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2

19、，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π，故選B. 3．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與圓柱的體積的比值為________． 押題依據(jù)　求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積．本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計算，命題角度新穎，值得關(guān)注． 答案　 解析　如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r， 則圓柱的側(cè)面積為 S＝2πr×2＝4πr ≤4π×＝2π . 所以當r＝時，＝＝. A組　專題通關(guān) 1．(2

20、018·上海金山區(qū)模擬)如圖幾何體是由五個相同正方體疊成的，其三視圖中的側(cè)(左)視圖序號是(　　) 答案　A 解析　根據(jù)幾何體的直觀圖，可以得到它的側(cè)(左)視圖，應(yīng)該是下面兩個正方形，上面一個正方形且靠近左側(cè)，故選A. 2．(2018·咸陽模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(　　) A．16－8π B．64－8π C．64－4π D．16－4π 答案　C 解析　由三視圖知，該幾何體是正方體中間挖去一個圓柱， 所以V＝43－π×12×4＝64－4π. 3．(2018·佛山質(zhì)檢)如圖是一種螺栓的簡易三視圖，

21、其螺帽俯視圖是一個正六邊形，則由三視圖尺寸可知，該螺栓的表面積為(　　) A．15＋12π B．9＋12＋12π C．12＋12＋12π D．12＋12＋11π 答案　C 解析　螺栓由一個正六棱柱與一個圓柱組合而成，其中正六棱柱的高為1，底邊正六邊形邊長為2，圓柱高為6，底面圓半徑為1.因此螺栓的表面積為正六棱柱表面積與圓柱側(cè)面積之和，正六棱柱的一個底面積為6××22＝6，正六棱柱的側(cè)面積為6×1×2＝12，圓柱側(cè)面積為2π×1×6＝12π，因此螺栓的表面積為2×6＋12＋12π＝12＋12＋12π，故選C. 4．某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖(1)所示，它的俯

22、視圖的直觀圖是△A′B′C′，如圖(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝，則該幾何體的表面積為(　　) A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 答案　C 解析　由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個底面邊長為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長方體中，長、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐P－ABC，且S△PAB＝S△PBC＝×4×6＝12，S△ABC＝×4×2＝4，△PAC是腰長為，底面邊長為4的等腰三角形，S△PAC＝8.綜上可知，該幾何體的表面積為2×12＋4＋8＝24＋12.故選C.

23、 5．已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積是(　　) A．2π B．4π C．8π D．10π 答案　C 解析　根據(jù)余弦定理可知，BC＝，則∠ACB＝90°， 點E，F(xiàn)分別是斜邊AB，A′B′的中點，點O為EF的中點，點O為三棱柱外接球的球心，設(shè)三棱柱的高為h，V＝×1××h＝，解得h＝2，R2＝OA2＝2＋2，代入可得R2＝1＋1＝2，所以此球的表面積為S＝4πR2＝8π，故選C. 6．(2018·衡水金卷信息卷)已知正四棱錐P－ABCD的各頂點都在同一球面上

24、，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖所示， 設(shè)底面正方形ABCD的中心為O′，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心為O， ∵底面正方形的邊長為， ∴O′D＝1， ∵正四棱錐的體積為2， ∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3， ∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|， 在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2， 即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝， ∴V球＝πR3＝π×3＝. 7．在三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠

25、ABC＝60°，SA＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　B 解析　由題意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°， 則根據(jù)余弦定理可得 AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC， 解得AC＝7， 設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則 △ABC的外接圓直徑2r＝＝，∴r＝， 又∵側(cè)棱SA⊥底面ABC， ∴三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離d＝SA＝，則外接球的半徑R＝ ＝， 則該三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝π. 8．(2018·北京海淀區(qū)模擬)某幾何體的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，在下列圖形中

26、，可能是該幾何體側(cè)(左)視圖的圖形是________．(寫出所有可能的序號) 答案　①②③ 解析　如圖a三棱錐C－ABD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為①； 如圖b四棱錐P－ABCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為②； 如圖c三棱錐P－BCD，正(主)視圖與俯視圖符合題意，側(cè)(左)視圖為③. 9．(2018·安徽省“皖南八校”聯(lián)考)如圖1所示是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，現(xiàn)測得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則

27、幾何體EF－ABCD的體積為________cm3. 答案　3 500 解析　在EF上，取兩點M，N(圖略)，分別滿足EM＝NF＝5，連接DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個棱錐和一個棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量，可以求得V＝×20×15×20＋2×××20×15×5＝3 500. 10．(2018·全國Ⅲ改編)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為________． 答案　18 解析　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9， 所以AB＝6， 所以等邊△ABC的外接

28、圓的半徑為r＝AB＝2. 設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d， 則d＝＝＝2. 所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6， 所以三棱錐D－ABC體積的最大值為×9×6＝18. 11．(2018·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 答案　8π 解析　在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8， 解得SA＝4. 設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝2，h＝2， 所以圓錐的體積V＝π

29、r2·h＝π×(2)2×2＝8π. 12．已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，則此三棱錐外接球的表面積是________． 答案　8π 解析　如圖PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PC＝h， 則PB＝＝， PA＝＝， 由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB， 得PC⊥平面PAB，∴PC⊥AB， 即PA2＋PB2＝AB2，∴4－h(huán)2＋7－h(huán)2＝5， 解得h＝，在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝， ∴以PA，PB，PC為棱構(gòu)造一個長方體,則這個長方體的外接球就是三棱錐P－ABC的外

30、接球， ∴由題意可知，這個長方體的中心是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球的半徑為R＝＝， ∴外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×()2＝8π. B組　能力提高 13．若四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)三視圖還原幾何體為一個四棱錐P－ABCD，如圖所示， 平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD為等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四邊形ABCD為矩形，CD＝2，過△PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩條垂線交于一點O，則O為四棱錐外

31、接球的球心， 在△PAD中，cos∠APD＝＝，則sin∠APD＝， 2PF＝＝＝，PF＝， PE＝＝，OH＝EF＝－＝， BH＝＝， OB＝＝ ＝， 所以S＝4π×＝. 14．(2018·龍巖質(zhì)檢)如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部分圍成一個正四棱錐，則正四棱錐側(cè)面積的取值范圍為(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(0,2] D．(0,2) 答案　D 解析　設(shè)四棱錐一個側(cè)面為△APQ，∠APQ＝x，過點A作AH⊥PQ， 則AH＝PQ×tan x＝＝ ＝－PQ， ∴PQ＝，AH＝， ∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH ＝

32、2××＝，x∈， ∵S＝＝ ＝≤＝2， ， 而tan x>0，故S>0， ∵S＝2時，△APQ是等腰直角三角形， 頂角∠PAQ＝90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐， ∴S的取值范圍為(0,2)，故選D. 15．在棱長為2的正四面體P－ABC中，M，N分別為PA，BC的中點，點D是線段PN上一點，且PD＝2DN，則三棱錐D－MBC的體積為________． 答案　 解析　由題意得VD－BMC＝VM－BDC， AN＝＝，DN＝×＝. 所以AD＝ ＝. 所以三棱錐M－BDC的高為×＝. 因為S△BCD＝×＝. 所以VD－BMC＝VM－BDC＝××＝.

33、 16．(2018·衡水金卷信息卷)在正三棱錐A－BCD中，M，N分別是AB，BC上的點，且MN∥AC，AM＝5MB，MD⊥MN，若側(cè)棱AB＝1，則正三棱錐A－BCD的外接球的表面積為________． 答案　3π 解析　設(shè)底面邊長為a，則在△BCD中， BN＝BC＝a，∠DBN＝， 由余弦定理，得DN2＝BD2＋BN2－2BD·BN·cos∠DBN＝a2， ∴DN＝a. 同理，在△ABD中，cos∠BAD＝， 在△AMD中，AM＝，DM＝ ， ∵MD⊥MN，MN＝AC＝， DM2＋MN2＝DN2， 即a2＋＋＝a2，∴a2＝2，a＝. 設(shè)A在底面BCD 上的射影為E， 則BE＝BCsin 60°×＝，AE＝＝. 設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝2＋BE2， ∴R＝， ∴正三棱錐A－BCD的外接球的表面積為S＝4πR2＝3π.