2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、一　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法 在學(xué)校，我們經(jīng)常會(huì)看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個(gè)同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會(huì)倒下． 思考1　試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？ 答案　①第一輛自行車倒下；②任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下． 思考2　由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法，那么，數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問(wèn)題？ 答案　適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題． 梳理　數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟 (1)數(shù)學(xué)歸納法

2、的定義 一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： ①證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立． 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． (2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明． (3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程 類型一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例1　用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝，右邊＝1－＝，等式成立． (2

3、)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立， 即＋＋…＋＝1－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＝1－＋＝1－， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，原等式對(duì)n∈N＋均成立． 反思與感悟　利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述n＝n0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)．并且一定要記?。涸谧C明n＝k＋1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)． 跟蹤訓(xùn)練1　用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝＝1，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈

4、N＋)時(shí)，等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2 ＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2 ＝ ＝ ＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)可知，等式對(duì)任何n∈N＋都成立． 類型二　證明與整除有關(guān)的問(wèn)題 例2　求證：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k ＝x2(x

5、2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，命題均成立． 反思與感悟　利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式．這往往要利用“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧來(lái)湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證． 跟蹤訓(xùn)練2　用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋23＋33＝36能被9

6、整除， 所以結(jié)論成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)結(jié)論成立， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)． 因?yàn)閗3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除， 9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 由(1)(2)知，命題對(duì)一

7、切n∈N＋成立． 類型三　用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題 例3　有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分， 且f(1)＝1－1＋2＝2， 所以n＝1時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立， 即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 在k＋1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成k段弧，每段弧將原平面一分為二， 故得f(k＋1)＝f(k)＋2k

8、＝k2－k＋2＋2k ＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 綜合(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N＋，命題成立． 反思與感悟　(1)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于分析清楚n＝k與n＝k＋1時(shí)二者的差異，這時(shí)常常借助于圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k＋1)之間的遞推關(guān)系，實(shí)在分析不出的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說(shuō)明即可． (2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說(shuō)明． 跟蹤訓(xùn)練3　平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條

9、不共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成(n2＋n＋2)個(gè)區(qū)域(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域， 又×(12＋1＋2)＝2，∴n＝1時(shí)命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2＋k＋2)個(gè)區(qū)域． 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，k＋1條直線中的k條直線把平面分成了(k2＋k＋2)個(gè)區(qū)域，第k＋1條直線被這k條直線分成k＋1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊， 因此增加了k＋1個(gè)區(qū)域， ∴k＋1條直線把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]個(gè)區(qū)域． ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成

10、立． 由(1)(2)知，對(duì)一切的n∈N＋，此命題均成立． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)π”時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為(　　) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 答案　B 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，n＋1＝2，故左邊所得的項(xiàng)為1＋a＋a2. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋

11、1)＋1＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為__________． 答案　81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1) 解析　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1. 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立， 即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，

12、 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立． 由(1)和(2)可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立． 1．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)第一步中的驗(yàn)證，對(duì)于有些問(wèn)題驗(yàn)證的并不是n＝1，有時(shí)需驗(yàn)證n＝2，n＝3. (2)對(duì)n＝k＋1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及n＝k與n＝k＋1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障． (3)“假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待這一推導(dǎo)過(guò)程決不可含糊不清，推導(dǎo)的

13、步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范． 2．判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題是否正確． (1)是要看有無(wú)歸納基礎(chǔ)． (2)是證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)是否應(yīng)用了歸納假設(shè)． 3．與n有關(guān)的整除問(wèn)題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明．其中關(guān)鍵問(wèn)題是從當(dāng)n＝k＋1時(shí)的表達(dá)式中分解出n＝k時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式，這樣才能得出結(jié)論成立． 一、選擇題 1．已知命題1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋

14、2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)任意的正整數(shù)n等式都成立．判斷以上評(píng)述(　　) A．命題、推理都正確 B．命題正確、推理不正確 C．命題不正確、推理正確 D．命題、推理都不正確 答案　B 解析　推理不正確，錯(cuò)在證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，沒有用到假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)的結(jié)論，命題由等比數(shù)列求和公式知正確． 2．在數(shù)列{an}中，a1＝－1，前n項(xiàng)和Sn＝－1先算出數(shù)列的前4項(xiàng)的值，再根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝－1 B．a(chǎn)n＝n－1 C．a(chǎn)n＝－ D．a(chǎn)n＝－ 答案　D 解析　∵a1＝－1，S2＝－1， ∴a

15、2＝S2－S1＝－， a3＝S3－S2＝－， a4＝S4－S3＝－， 猜想：an＝－. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成(　　) A．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確 B．假設(shè)n＝2k－1(k∈N＋)時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確 C．假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確 D．假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確 答案　B 解析　∵n為正奇數(shù)， ∴在證明時(shí)，歸納假設(shè)應(yīng)寫成： 假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N＋)時(shí)正確，再推出當(dāng)n＝2k＋1時(shí)正確，故選B. 4．設(shè)f

16、(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. C.＋ D.－ 答案　D 解析　因?yàn)閒(n)＝＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋－ ＝－. 5．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則a，b的值可以等于(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝3 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝2，b＝3 答案　D 解析　令n＝1,2得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可． 6．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，若當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)該

17、命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立 答案　C 解析　由已知得當(dāng)n＝k時(shí)成立?n＝k＋1時(shí)成立． ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)不成立?當(dāng)n＝k時(shí)不成立． ∴由當(dāng)n＝5時(shí)不成立知，當(dāng)n＝4時(shí)不成立． 二、填空題 7．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)閒(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋

18、＋. 8．觀察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n個(gè)式子應(yīng)為________________． 答案　1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1· 9．已知平面上有n(n∈N＋，n≥3)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線，過(guò)這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)＝__________，f(4)＝____________，f(5)＝____________，f(n＋1)＝f(n)＋____________. 答案　3　6　10　n 解析　當(dāng)n＝k時(shí)，有f(k)條直線．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，增加的第k＋1個(gè)點(diǎn)與原k個(gè)點(diǎn)共連成k條直

19、線，即增加k條直線，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n. 10．觀察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …， 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為____________________． 答案　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) 解析　由已知，得第n個(gè)等式左邊為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，右邊為2n×1×3×…×(2n－1)． 所以第n個(gè)等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…

20、×(2n－1)． 三、解答題 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9×8k＋9×9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)， 即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)． ∴n＝k＋1時(shí)命題也成立． 綜合(1)(2)可知，對(duì)任意的n∈N＋，命

21、題都成立． 12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝＝＝右邊， 所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝＋＋…＋，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N＋等式都成立． 13．請(qǐng)觀察以下三個(gè)式子： (1)1×3＝； (2)1×3＋2×4＝； (3)1×3＋2×4＋3×5＝， 歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論． 解　結(jié)論：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋

22、2) ＝. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2) ＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3) ＝＋(k＋1)(k＋3) ＝(2k2＋7k＋6k＋18) ＝(2k2＋13k＋18) ＝ ＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由①②知，命題成立． 四、探究與拓展 14．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時(shí)，由n＝k(k∈N＋，k≥1)的假設(shè)到證明n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式

23、子是________． 答案　(k＋1)2＋k2 解析　當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12， 所以左邊添加的式子為(k＋1)2＋k2. 15．已知數(shù)列，，，，…，，…，計(jì)算數(shù)列和S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 解　S1＝＝，S2＝＋＝， S3＝＋＝，S4＝＋＝. 上面四個(gè)結(jié)果中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n＋1，于是可以猜想Sn＝.其證明如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝S1＝，右邊＝＝，猜想成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)猜想成立， 即＋＋…＋＝成立， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想成立． 由(1)(2)知，猜想對(duì)任意n∈N＋，Sn＝都成立． 11