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1、如何避免直線問題中的斜率討論
直線一定有傾斜角,但不一定有斜率,很多利用直線斜率解決的問題,都要分斜率存在與不存在兩種情況討論.如果你輕視斜率不存在這種特殊情況,往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤;如果你避免設(shè)斜率而求解,有時(shí)又可能會(huì)出現(xiàn)妙解.下面介紹幾種避免對直線斜率討論的方法.
一﹑巧設(shè)直線方程
如果所求直線可能涉及到斜率不存在的情況,則可以將過點(diǎn)(x0,y0)的直線方程設(shè)為x-x0=m(y-y0),則可以避免對斜率的討論.
例1求經(jīng)過點(diǎn)(5,10),且與原點(diǎn)的距離為5的直線方程.
解析:設(shè)x-5=m(y-10),即x-my-5+10m=0,則
由點(diǎn)到直線的距離公式,得=5,解得m=或m=0,
2、
故所求直線的方程為3x-4y+25=0或x=5.
點(diǎn)評:從所求出的兩個(gè)m的值可以發(fā)現(xiàn)m=0對應(yīng)的情形就是所求直線的斜率不存在的情形.
二﹑數(shù)形結(jié)合法
在直線方程的五種基本形式中,如果利用選用點(diǎn)斜式或斜截式方程,則還須對直線不存在的情況進(jìn)行補(bǔ)充.在解題時(shí)能作出圖形的盡量作圖,使隱含的條件直觀顯現(xiàn),解答就會(huì)更加完備.
例2直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),且與兩點(diǎn)M(-2,-3)、N(4,5)的距離相等,求直線l的方程.
解析:因?yàn)镸、N到直線l的距離相等,
所以l∥MN或經(jīng)過MN的中點(diǎn),如圖所示.
而kMN=,且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),
當(dāng)l∥MN時(shí),直線l的方程為4x-3y+2
3、=0,
當(dāng)l經(jīng)過MN的中點(diǎn)時(shí),直線l的方程為x=1,
綜上所述,所求直線l的方程為4x-3y+2=0或x=1.
點(diǎn)評:本題若按常規(guī)解法,則應(yīng)當(dāng)考慮所求直線的斜率是否存在,存在時(shí)直接設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程.
三、利用向量垂直的充要條件
向量垂直的充要條件坐標(biāo)形式:若=(x1,y1),=(x2,y2),則⊥=0?x1x2+y1y2=0.對于兩條直線互相垂直的問題,如果能根據(jù)直線上兩點(diǎn)分別確定出所在直線的一個(gè)向量,則利用向量垂直的條件可快速求解.
例3已知C(a,b)(ab≠0)是一定點(diǎn),過C作兩條互相垂直的直線l1與l2,其中l(wèi)1交x軸于A,l2交y軸于B,求證:線段AB的中點(diǎn)M在一條定直
4、線上.
解析:如圖,設(shè)點(diǎn)M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得A(2x,0),B(0,2y),
則=(a-2x,b),=(a,b-2y),
∵⊥,∴a(a-2x)+b(b-2y)=0,
整理,得2ax+2by-a2-b2=0,即點(diǎn)M在一條定直線上.
點(diǎn)評:由于題設(shè)條件中有一已知點(diǎn)C,則易考慮利用點(diǎn)斜式方程來解決,但考慮對直線l1與l2的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,而利用向量垂直的充要條件解答,奇妙無比.
四、利用直線系方程
主要的直線系方程:(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系為:Ax+By+λ=0(λ為參數(shù));(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系為:Bx-Ay+λ=0(λ為
5、參數(shù));(3)過已知兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系為程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(除去l2).
例4求過點(diǎn)(3,5)且與直線3mx+(m+5)y+3m-7=0垂直的直線方程.
解析:依題意,設(shè)所求直線方程為(m+5)x-3my+C=0,
將點(diǎn)(3,5)代入所求方程,得(m+5)×3-3m×5+C=0,解得C=12m-15.
故所求直線方程為(m+5)x-3my+12m-15=0.
點(diǎn)評:解此類問題時(shí),當(dāng)已知直線的斜率確定時(shí),可根據(jù)已知直線的斜率寫出所求直線的方程;當(dāng)已知直線的斜率不確定,方程中含有參數(shù)時(shí),
6、為了避開討論,常常通過利用直線系方程來解決.本題若按利用斜率間關(guān)系求解,則必須同時(shí)考慮已知直線與所求直線的斜率是否存在的情況,其過程較繁.
五﹑利用兩條直線平行與垂直的充要條件
已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則(1)l1∥l2的充要條件是A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1,B1C2-B2C1中至少一個(gè)不等于零;(2) l1⊥l2的充要條件是A1B2-A2B1=0.
例5已知直線l1:x+2my-3=0與直線l2:(3m-1)x-my+5=0互相平行,求實(shí)數(shù)m的值.
解析:由A1B2-A2B1=0,得-m×1-(3m-1)×2m=0,即
7、m(6m-1)=0,解得m=0或m=.
當(dāng)m=0時(shí),A1C2-A2C1=5×1-(3m-1)×(-3)=2≠0,∴l(xiāng)1∥l2.
當(dāng)m=時(shí),B1C2-B2C1=5×2m-(-m)×(-3)=≠0,∴l(xiāng)1∥l2.
所以m的取值為0和.
點(diǎn)評:如果利用兩條平行直線之間的斜率關(guān)系解答,則須考慮兩條直線的斜率是否存在,而利用兩條直線平行的充要條件可避開.
六、利用“設(shè)而不求”法
“設(shè)而不求”就是指在解題過程中,根據(jù)題目的要求設(shè)出相關(guān)的量對應(yīng)的未知數(shù),但整個(gè)過程中并不需要求出這些未知數(shù)就可以使問題順利解決.
例6已知一條直線l被兩條平行直線l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y+8=0所
8、截得的線段長為,且經(jīng)過點(diǎn)(2,3),求直線l的方程.
解析:設(shè)直線l1與l1﹑l2的交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則,
兩個(gè)方程相減,得3(x2-x1)+4(y2-y1)+15=0,即y2-y1=-(x2-x1)-,
由|AB|=,得(x2-x1)2+(y2-y1)2=()2,所以(x2-x1)2+[(x2-x1)+]2=()2,
即5(x2-x1)2+18(x2-x1)=0,解得x2-x1=0或x2-x1=-.
由x2-x1=0,得所求直線方程為x=2,
由x2-x1=-,得y2-y1=-,所以所求直線的斜率為,直線方程為7x-24y+58=0.
綜上知,所求直線的方程為x=2或7x-24y+58=0.
點(diǎn)評:本題通過利用設(shè)而不求將x2-x1與y2-y1作為整體求解,進(jìn)而確定所求直線的斜率,這種方法是解析幾何中常用的手段和技巧.“設(shè)而不求”的未知數(shù),又叫輔助元素,它是我們?yōu)榻鉀Q問題增設(shè)的一些參數(shù),它能起到溝通數(shù)量關(guān)系,架起連接已知量和未知量的橋梁作用.