選修4-2矩陣與變換第二節(jié) 矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量

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1、 1．矩陣的逆矩陣 (1)一般地，設ρ是一個線性變換，如果存在線性變換σ，使得σρ＝ρσ＝I，則稱變換ρ可逆，并且稱σ是ρ的逆變換． (2)設A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BA＝AB＝E，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣． (3)(性質(zhì)1)設A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，A的逆矩陣記為A－1. (4)(性質(zhì)2)設A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1. (5)二階矩陣A＝可逆，當且僅當det A＝ad－bc≠0時，A－1＝. 2．二階行列式與方程組的解 對于關

2、于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運算結(jié)果是一個數(shù)值，記為det A＝＝ad－bc. 若將方程組中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當D≠0時，方程組的解為 3．矩陣特征值、特征向量的相關概念 (1)定義：設矩陣A＝，如果存在實數(shù)λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，則稱λ是矩陣A的一個特征值，ξ是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量． (2)一般地，設ξ是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，kξ也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量． (3)一般地，屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線． (4)設矩陣A＝，稱f(λ)＝為矩陣A的特征多項式，方程＝0為

3、矩陣A的特征方程． 4．特征向量的應用 (1)設A是一個二階矩陣，α是矩陣A的屬于特征值λ的任意一個特征向量，則Anα＝λnα(n∈N*)． (2)性質(zhì)1　設λ1，λ2是二階矩陣A的兩個不同特征值，ξ1，ξ2是矩陣A的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，對于任意的非零平面向量α，設α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2為實數(shù))，則對任意的正整數(shù)n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2. 1．矩陣的逆矩陣是________． 答案： 2．若矩陣可逆，則k的值不可能是________． 答案： 3．若矩陣A＝不可逆，則實數(shù)a的值為________． 解析：由題意|A|＝ ＝2×

4、(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1. 答案：－1 4．對任意實數(shù)x，矩陣總存在特征向量，則m的取值范圍是________． 解析：由條件得f(λ)＝ ＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m) ＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有實數(shù)根， 所有Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0對任意實數(shù)x恒成立， 所以Δ2＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0， 解得m的取值范圍是－3≤m≤2. 答案：－3≤m≤2. 5．已知矩陣M的特征值λ1＝8及對應的一個特征向量e1＝，并有特征值λ2＝2及對應的一個特征向量e2＝.則矩陣M＝

5、________. 解析：設M＝，則＝8＝， 故＝2＝， 故聯(lián)立以上兩個方程組解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝. 答案： 熱點考向一 求逆矩陣 　求矩陣A＝的逆矩陣． 【解析】　法一：設矩陣A的逆矩陣為， 則 ＝， 即＝， 故且 解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3， 從而矩陣A的逆矩陣A－1＝. 法二：∵A＝，∴detA＝－1. ∴A－1＝＝. 【點評】　方法一是待定系數(shù)法；方法二是公式法． 1．已知變換矩陣A把平面上的點P(2，－1)、Q(－1,2)分別變換成點P1(3，－4)、Q1(0,5)． (1)求變換矩陣A； (2)判斷

6、變換矩陣A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A－1：如不可逆，請說明理由． 【解析】　(1)假設所求的變換矩陣A＝，依題意，可得 ＝及 ＝， 即解得： 所以所求的變換矩陣A＝ (2)∵detA＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A可逆 A－1＝＝. 熱點考向二 利用矩陣解二元一次方程組 -- 　(1)求矩陣A＝的逆矩陣； (2)利用逆矩陣知識， 解方程組 【解析】　(1)法一：設矩陣A的逆矩陣為A－1＝， 則由 ＝， 知 解之得 ∴A－1＝. 法二：∵A＝， ∴|A|＝4－3＝1， ∴A－1＝＝. (2)二元一次方程組的系數(shù)矩陣為A＝， 由(1)知

7、A－1＝. 因此方程 有唯一解＝A－1. ∴＝ ＝. 即 【點評】　二元一次方程組(a1，b1不同時為零，a2，b2不同時為零)的系數(shù)矩陣為A＝，只有當|A|≠0時，方程組有唯一解A－1，若|A|＝0，則方程組有無數(shù)解或無解． 2．用矩陣方法求解二元一次方程組 解析：原方程組可以寫成＝， 記M＝， 其行列式＝2×(－5)－1×4＝－14≠0， ∴M－1＝. ∴＝M－1＝，即方程組的解為 熱點考向三 矩陣的特征值與特征向量 　給定矩陣A＝，B＝. (1)求A的特征值λ1，λ2及對應特征向量α1，α2； (2)求A4B. 【解析】　(1)設A的一個特征

8、值為λ，由題意知： ＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3， 當λ1＝2時，由＝2，得A屬于特征值2的特征向量α1＝； 當λ2＝3時，由＝3，得A屬于特征值3的特征向量α2＝ (2)由于B＝＝＋＝α1＋α2. 故A4B＝A4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝＋＝. 【點評】　求矩陣的特征值及對應的特征向量是矩陣與變換的重點和難點，解決此類問題首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相應的特征向量．請注意每一個特征值對應無數(shù)個特征向量，選擇坐標為整數(shù)的解就能使后面計算簡單、方便． 3．已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

9、α1＝，屬于特征值1的一個特征向量α2＝，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣． 解析：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1＝可得，＝6， 即c＋d＝6； 由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量α2＝， 可得＝，即3c－2d＝－2， 解得，即A＝. A的逆矩陣是. 一、填空題 1．已知A＝可逆，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：矩陣A可逆當且僅當det(A)≠0， 即6－3a≠0，∴a≠2， ∴a的取值范圍為(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞) 2．設矩陣M＝，則矩陣M的特征向量可以是________． 解析：矩陣M的特征多項式 f

10、(λ)＝＝λ2－1. 由于f(λ)＝0得矩陣M的特征值為 λ1＝1，λ2＝－1. 經(jīng)計算可得，矩陣M屬于特征值λ＝1的一個特征向量為，而屬于特征值λ＝－1的一個特征向量為. 答案： 3．設可逆矩陣A＝的逆矩陣A－1＝，則a＝________，b＝________，c＝________. 解析：由AA－1＝E得＝， 即 解方程組得a＝2，b＝－，c＝. 答案：2?。? 4．已知二元一次方程組從線性變換的角度求解時應把向量繞原點作順時針旋轉(zhuǎn)________的旋轉(zhuǎn)變換． 解析：因為方程組的矩陣形式是 ＝，它是把向量繞原點作逆時針旋轉(zhuǎn)變換得到，所以解方程組就是把向量繞原點作順時

11、針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換． 答案： 5．A＝ ，則A－1＝________. 解析：A＝ ＝， ∵|A|＝×－×＝1≠0. ∴A－1＝. 答案： 6．現(xiàn)用矩陣對信息進行加密后傳遞，規(guī)定英文字母數(shù)字化為：a→1，b→2，…，z→26，雙方約定的矩陣為，發(fā)送方傳遞的密碼為67,30,31,8，此組密碼所發(fā)信息為________． 解析：因為A＝，所以det A＝＝2≠0， 所以A－1＝，而密碼矩陣為B＝， 故明碼矩陣X＝A－1B＝ ＝， 對應信息為“good”． 答案：good 7．矩陣M＝的特征值與特征向量分別為________． 解析：由＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－

12、)＝λ2－2λ－8＝0，得矩陣M的特征值為λ1＝4，λ2＝－2. 設屬于特征值λ1＝4的特征向量為，則它滿足方程(λ1＋1)x＋(－2)y＝0，即5x－2y＝0.故可取為屬于特征值λ1＝4的一個特征向量． 設屬于特征值λ2＝－2的特征向量為，同理可得x＋2y＝0.故可取為屬于特征值λ2＝－2的一個特征向量． 綜上所述，矩陣M＝有兩個特征值λ1＝4，λ2＝－2，屬于λ1＝4的一個特征向量為α1＝；屬于λ2＝－2的一個特征向量為α2＝. 答案：λ1＝4，α1＝和λ2＝－2，α2＝ 8．已知矩陣A＝，B＝，則滿足方程AX＝B的二階矩陣X＝________. 解析：∵A＝， ∴|A|＝＝

13、2×3－(－1)×(－4)＝2≠0. ∴A－1＝.∵AX＝B，∴X＝A－1B， ∴X＝＝. 答案： 二、解答題 9．已知矩陣A＝，B＝，C＝，求滿足AXB＝C的矩陣X. 解析：AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1 而A－1AXB·B－1＝EXBB－1 ＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1 因為A－1＝， B－1＝， 所以X＝A－1CB－1 ＝ ＝ ＝. 10．已知矩陣A＝. (1)求矩陣A的特征值及對應的特征向量； (2)計算矩陣An. 解析：(1)矩陣A的特征方程為 ＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩

14、陣A的特征值為λ1＝8，λ2＝2. 當λ1＝8時，A屬于λ1的特征向量為 α1＝； 當λ2＝2時，A屬于λ2的特征向量為 α2＝. (2)設An＝ Anα1＝8nα1，Anα2＝2nα2， 即＝ ＝， 即 解得a＝，b＝， c＝，d＝. 故An＝. 11．給定矩陣M＝，N＝，向量α＝. (1)求證：M和N互為逆矩陣； (2)求證：向量α同時是M和N的特征向量； (3)指出矩陣M和N的一個公共特征值． 解析：(1)證明：因MN＝＝， 且NM＝＝， 所以M和N互為逆矩陣． (2)證明：因為Mα＝＝， 所以α是N的特征向量． 因為Nα＝＝， 所以α是

15、N的特征向量． (3)由(2)知，M對應于特征向量的特征值為1，N對應于特征向量的特征值也為1， 故1是矩陣M和N的一個公共特征值． 12．(2011年福建)設矩陣M＝(其中a>0，b>0) ①若a＝2，b＝3，求M的逆矩陣M－1； ②若曲線C：x2＋y2＝1，在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線 C′：＋y2＝1，求a，b的值． 解析：①設M－1＝，則MM－1＝又M＝，∴＝. ∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1. 即x＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. ∴M－1＝. ②設C上任一點P(x，y)，在M作用下得點P′(x′，y′) 則＝，∴ 又點P′(x′，y′)在C′上，所以＋y′2＝1. 即＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又C的方程為x2＋y2＝1，∴ 又a>0，b>0，所以