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1、高考專題訓(xùn)練三十 不等式選講(選修4－5)
班級_______ 姓名_______ 時間：45分鐘 分值：100分 總得分_______
一、填空題(每小題5分，共35分)
1．(2020·合肥)設(shè)a、b為正數(shù)，且a＋b＝1，則＋的最小值是________．
解析：本題考查均值不等式求最小值，按不同的變形方式的解法也有很多．最常見的解法：
＋＝＋＝＋＋1＋
＝＋＋≥＋2 ＝＋.
答案：＋
2．(2020·鄭州)已知實數(shù)x、y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值是________．
解析：本題考查圓錐曲線的參數(shù)方程、三角函數(shù)的和差角公式等知識．所給不等式表示的區(qū)域為橢
2、圓＋＝1及其邊界部分．設(shè)橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)，則P＝2cosθ＋sinθ＝sin(α＋θ)．故P的最大值為.
答案：
3．函數(shù)y＝＋的最大值為________．
解析：由柯西不等式得＋
≤＝.
答案：
4．(2020·廣東深圳第二次調(diào)研)關(guān)于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，則實數(shù)a的最大值是________．
解析：本小題考查了絕對值的定義，令f(x)＝|x－2|＋|x－a|，當a>2時，易知f(x)的值域為[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．
當a<2時，f(x)的值域為[2－a，＋∞
3、)，使f(x)≥2a恒成立，需2－a≥2a成立，即a≤.
當a＝2時，需|x－2|≥a恒成立，即a≤0(舍去)．
綜上a的最大值為.
答案：
5．(2020·東北三校)設(shè)a>b>0，x＝－，y＝－，則x、y的大小關(guān)系是x________y.
解析：由x－y＝－－(－)
＝－
＝<0，所以x
4、則x的取值范圍是________．
解析：函數(shù)f(x)＝，可分段求函數(shù)的最小值，得f(x)min＝3.
解不等式組或或求并集得所求x的取值范圍是[0,5]．
答案：3 [0,5]
二、解答題(共65分)
8．(11分)如圖，O為數(shù)軸的原點，A，B，M為數(shù)軸上三點，C為線段OM上的動點．設(shè)x表示C與原點的距離，y表示C到A距離的4倍與C到B距離的6倍的和．
(1)將y表示為x的函數(shù)；
(2)要使y的值不超過70，x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？
解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.
(2)依題意，x滿足
解不等式組，其解集為[9,23]．
所以x∈[
5、9,23]．
9．(10分)(2020·遼寧)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)證明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)證明：f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝
當2
6、．
10．(11分)(2020·蘇錫常鎮(zhèn)卷)已知a，b是不相等的正實數(shù)．求證：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
證明：因為a，b是正實數(shù)，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，當且僅當a2b＝a＝b2，即a＝b＝1時，等號成立；
同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，當且僅當a＝b＝1時，等號成立．
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，
當且僅當a＝b＝1時，等號成立．
因為a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
11．(11分)(2020·南通卷)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a
7、＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
解：由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x)．
又因為≥＝2，則有2≥f(x)．
解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤.
12．(11分)(2020·福建)設(shè)不等式|2x－1|<1的解集為M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。?
解：(1)由|2x－1|<1得，－1<2x－1<1，
解得00.
故ab＋1>a＋b.
13．(11分)(2020·課標)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為
|x－1|≥2，
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得
|x－a|＋3x≤0.
此不等式化為不等式組
或
即或
因為a>0，所以不等式組的解集為.
由題設(shè)可得－＝－1，故a＝2.
2020高考數(shù)學 專題練習 三十 不等式選講 理
