【瀚海導(dǎo)航】2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五單元 第二節(jié) 直接證明與間接證明練習(xí)

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1、第十二單元 第二節(jié) 一、選擇題 1．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值確定 【解析】　P2＝2a＋7＋2， Q2＝2a＋7＋2， ∴P2＜Q2，∵P＞0，Q＞0，∴P＜Q. 【答案】　C 2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60° C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° 【解析】　“至少一個(gè)”的否定是“一個(gè)都沒(méi)有”，選B. 【答案】　B 3．(精選考

2、題·福建質(zhì)檢)圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是(　　) A．k∈(－，) B．k∈(－∞，)∪(，＋∞) C．k∈(－，) D．k∈(－∞，)∪(，＋∞) 【解析】　由圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒(méi)有公共點(diǎn)，得圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離大于半徑1，即＞1，解得k∈(－，)． 【答案】　C 4．(精選考題·綿陽(yáng)模擬)設(shè)a，b，μ都是正數(shù)且a，b滿足＋＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是(　　) A．(0,16] B．(0,12] C．(0,10] D．(0,8] 【解析】　∵a＞0，b＞0， ∴a＋b＝(a＋b)＝10＋

3、＋≥16， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即a＝4，b＝12時(shí)，取“＝”，∴0＜μ≤16. 【答案】　A 5．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2 008)＝－1，那么f(2 009)等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】　根據(jù)誘導(dǎo)公式得 f(2 008)＝asin(2 008π＋α)＋bcos(2 008π＋β) ＝asinα＋bcosβ， f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＝－asinα－bcosβ. ∵f(2 008)＝－1，∴f(2 009)＝1. 【答案

4、】　C 6．設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，且＋＝＋，則四邊形ABCD為(　　) A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四邊形 【解析】　由＋＝＋得，－＝－，即＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形． 【答案】　D 7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C分別為邊a、b、c的對(duì)角，若a，b，c成等差數(shù)列，則B的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c. 又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)， ∴(a＋c)2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)， ∴1＋cosB＝≥，∴cosB≥. 又

5、B∈，∴0＜B≤. 【答案】　B 二、填空題 8．在△ABC中，已知D是邊AB上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ等于________． 【解析】　如圖所示，＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋， ∴λ＝. 【答案】　 9．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝a1＋a2 010，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O)，則S2 010＝______. 【解析】　∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴a1＋a2 010＝1， ∴S2 010＝×2 010＝1 005. 【答案】　1 005 10．(精選考題·湖北高考)設(shè)a＞0，b＞0，稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC

6、＝a，CB＝b，O為AB中點(diǎn)，以AB 為直徑作半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD.過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E，則圖中線段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段________的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)． 【解析】　∵OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，∴OD＝.又∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD. 又∵DC⊥AB，∴由射影定理得CD2＝ab，即CD＝， ∴CD的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)． 【答案】　CD 三、解答題 11．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．求證：f為偶函數(shù)． 【證明】　要證f為偶

7、函數(shù)， 只需證f的對(duì)稱軸為x＝0， 只需證－－＝0，即證a＝－b. ∵函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 即x＝－－1與x＝－關(guān)于y軸對(duì)稱， ∴－－1＝－，∴a＝－b，∴f為偶函數(shù)． 12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a＞1)．求證： (1)函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)； (2)方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根． 【證明】　(1)方法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)， 不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1且ax1＞0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0. 又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0， ∴－＝ ＝＞0. 于是f(x2

8、)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 方法二：f(x)＝ax＋1－(a＞1)， 求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝axlna＋， ∵a＞1，∴當(dāng)x＞－1時(shí)，axlna＞0，＞0， ∴f′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立， 則f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)方法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， 則ax0＝－，且0＜ax0＜1， ∴0＜－＜1，即＜x0＜2， 與假設(shè)x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根． 方法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， ①若－1＜x0＜0，則＜－2，ax0＜1， ∴f(x0)＜－1，與f(x0)＝0矛盾． ②若x0＜－1，則＞1，ax0＞0， ∴f(x0)＞1，與f(x0)＝0矛盾． 故方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根.