山東省鄆城縣實驗中學(xué)2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 正態(tài)分布學(xué)案 新人教A版選修2-3

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1、正態(tài)分布 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 自主梳理 1．正態(tài)分布密度曲線及性質(zhì) (1)正態(tài)曲線的定義 函數(shù)φμ，σ(x)＝__________________________(其中實數(shù)μ和σ (σ>0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分布密度曲線． (2)正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn) ①曲線位于x軸________，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對稱； ③曲線在________處達(dá)到峰值____________； ④曲線與x軸之間的面積為____； ⑤當(dāng)σ一定時，曲線隨著____的變化而沿x軸移動； ⑥當(dāng)μ一定

2、時，曲線的形狀由σ確定．σ________，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ________，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． 2．正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 如果對于任何實數(shù)a，b (a

3、 1．(2020·大連模擬)下列說法不正確的是(　　) A．若X～N(0,9)，則其正態(tài)曲線的對稱軸為y軸 B．正態(tài)分布N(μ，σ2)的圖象位于x軸上方 C．所有的隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布 D．函數(shù)φ(x)＝ (x∈R)的圖象是一條兩頭低、中間高、關(guān)于y軸對稱的曲線 2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ<3)等于(　　) A. B. C. D. 3．(2020·湖北)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 4

4、．某隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度函數(shù)為φ(x)＝，則ξ的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別是(　　) A．0和8 B．0和4 C．0和 D．0和2 5. (2020·遼寧十校聯(lián)考)設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σ) (σ1>0)和N(μ2，σ) (σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 探究點(diǎn)一　正態(tài)曲線的性質(zhì) 例1　 如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布密度曲線的解析式，并求出正態(tài)總體隨機(jī)變量的均值和方差．

5、 變式遷移1　若一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為. (1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式； (2)求正態(tài)總體在(－4,4]的概率． 探究點(diǎn)二　服從正態(tài)分布的概率計算 例2　設(shè)X～N(5,1)，求P(6

6、生的成績ξ服從一個正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)． (1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？ (2)若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？ 變式遷移3　在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該同學(xué)中成績在80分～85分的有17人．試計算該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人？ 1．正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，其解析式為：φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)． 2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)

7、：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．(3)曲線在x＝μ時達(dá)到峰值.(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中． 3．3σ原則：從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量ξ的取值范圍是R，但實際上ξ取區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)外的數(shù)值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在實際問題中常常認(rèn)為它是不會發(fā)生的．因此，往往認(rèn)為它的取值是個有限區(qū)間，即區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)，這就是實用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差

8、規(guī)則，也叫3σ原則．在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個原則進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．如圖是正態(tài)分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)相應(yīng)的曲線，則有(　　) A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 2．(2020·佛山月考)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

9、績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為φ(x)＝· (x∈R)，則下列命題中不正確的是(　　) A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分 B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同 C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同 D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10 4．(2020·廣東)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，則P(X>4)等于(　　) A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 5．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績X～N(110，52)，據(jù)此估計，

10、大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)？(　　) A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115] 二、填空題(每小題4分，共12分) 6. 設(shè)三個正態(tài)分布N(μ1，σ) (σ1>0)，N(μ2，σ) (σ2>0)，N(μ3，σ) (σ3>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則μ1、μ2、μ3按從小到大的順序排列是________；σ1、σ2、σ3按從小到大的順序排列是________． 7．在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為_____

11、___． 8．(2020·青島模擬)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝________. 三、解答題(共38分) 9．(12分)設(shè)X～N(10,1)． (1)證明：P(1

12、的百分之幾？ 11．(14分)在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正 態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有13人． (1)求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？ (2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學(xué)生，問受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？ 學(xué)案69　正態(tài)分布 自主梳理 1．(1)，x∈(－∞，＋∞)　(2)①上方?、趚＝μ　③x＝μ　?、??、荭獭、拊叫　≡酱? 2．(1)φμ，σ(x)dx　X～N(μ，σ2) (2)①0.682 6　②0

13、.954 4?、?.997 4 自我檢測 1．C 2．D　[由正態(tài)分布圖象知，μ＝3為該圖象的對稱軸， P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝.] 3．C　[ ∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ>4)＝0.2， 由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2， P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. ∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.] 4．D　[由φ(x)＝＝對照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝＝2.] 5．A　[由正態(tài)分布N(μ，σ2)性質(zhì)知，x＝μ為正態(tài)分布密度函數(shù)圖象的對稱軸，故μ1<μ2；又σ越小

14、，圖象越高瘦，故σ1<σ2.] 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　要確定一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)． 解　從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值為，所以μ＝20. 由＝，解得σ＝. 于是正態(tài)分布密度曲線的解析式是 φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)． 均值和方差分別是20和2. 變式遷移1　解　(1)由于該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由＝， 得σ＝4， 故該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是 φμ，

15、σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)． (2)P(－4

16、　∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1

17、

18、是0.682 6， 所以考試成績ξ位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.682 6. 一共有2 000名考生，所以考試成績在(80,100)間的考生大約有2 000×0.682 6≈1 365(人)． 變式遷移3　解　∵成績服從正態(tài)分布N(80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85. 于是成績在(75,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%. 這樣成績在(80,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.13%. 設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.13%＝17，解得x≈50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成績在(70,90]內(nèi)的同學(xué)占全班

19、同學(xué)的95.44%. ∴成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.28%. 即有50×2.28%≈1(人)．即成績在90分以上的僅有1人． 課后練習(xí)區(qū) 1．D　[μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.] 2．B　[∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)． 又P(ξ>c＋1)＝P(ξ110)＝P(X>μ＋3σ)， P(X<50)＝P(X<μ－3σ)， ∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正確. ] 4．B　[由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，

20、故正態(tài)分布曲線的對稱軸為X＝3. 所以P(X>4)＝P(X<2)， 故P(X>4)＝＝0.158 7.] 5．C　[由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5. 因此考試成績在區(qū)間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別應(yīng)是0.682 6,0.954 4,0.997 4. 由于一共有60人參加考試， ∴成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是： 60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)， 60×0.997 4≈60(人)， 故大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在(100,120]區(qū)間內(nèi)．] 6．μ2<μ1<μ3　σ1<σ3<σ2 7．

21、0.8 解析　∵ξ服從正態(tài)分布(1，σ2)， ∴ξ在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4. ∴ξ在(0,2)內(nèi)取值概率為0.4＋0.4＝0.8. 8．0.16 解析　∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4) ＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16. 9．(1)證明　因為X～N(10,1)，所以，正態(tài)曲線φμ，σ(x)關(guān)于直線x＝10對稱，而區(qū)間[1,2]和[18,19]關(guān)于直線x＝10對稱，所以?φμ，σ(x)dx＝?φμ，σ(x)dx， 即P(1

22、10)－P(X≤2)＝－a.(12分) 10．解　(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處取得最大值．因此μ＝80，＝，所以σ＝8. 故正態(tài)分布密度函數(shù)解析式是 φμ，σ(x)＝.(6分) (2)由μ＝80，σ＝8，得 μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88， 所以零件尺寸X位于區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是0.682 6. 因此尺寸在72 mm～88 mm間的零件大約占總數(shù)的68.26%.(12分) 11．解　(1)設(shè)參加競賽的學(xué)生人數(shù)共n人． 則P(X≥90)＝，(2分) 而P(X≥90)＝ ＝＝＝0.001 3. (6分) ∴＝0.001 3，n＝10 000(人)． ∴參加競賽的學(xué)生總數(shù)約有1萬人．(7分) (2)設(shè)受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線為x0， 則P(X≥x0)＝＝0.022 8，(9分) 因為0.022 8<0.5， 所以x0>60，所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60) ＝＝0.022 8，(12分) 所以P(|X－60|