廣東省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 選修4—1 幾何證明選講 文

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1、選修4—1　幾何證明選講 真題試做 1．(2020·廣東高考，文15)如圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝__________. 2．(2020·天津高考，文13)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 3．(2020·陜西高考，文15B)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝______

2、. 考向分析 從近幾年的高考情況看，本部分內(nèi)容主要有兩大考點(diǎn)，一是會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；二是會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理等．在高考中常以圓為背景，主要考查最基本、最重要的內(nèi)容，試題多以填空題、解答題的形式呈現(xiàn)，試題難度屬中低檔． 預(yù)計(jì)在今后高考中，幾何證明選講主要考查最基本、最重要的內(nèi)容，如相似三角形，圓的切線、弦切角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，與圓有關(guān)的比例線段等，試題難度中等．另外，對(duì)平行線等分線段定理及平行線分線段成比例定理、直角三角形的射影定理、切線長(zhǎng)定理等內(nèi)容的考查，也應(yīng)引起足夠的重視． 熱點(diǎn)例析

3、 熱點(diǎn)一　相似三角形問(wèn)題 【例1】如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝_________. 規(guī)律方法 在求線段的長(zhǎng)度或計(jì)算比例線段的比值時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題： (1)首先應(yīng)先尋找所求線段或比例線段所在的兩個(gè)三角形； (2)判斷尋找的兩個(gè)三角形是否具備相似的條件； (3)如果條件不能直接找出時(shí)，可巧添輔助線； (4)有平行線時(shí)可應(yīng)用平行線分線段成比例定理加以解決． 變式訓(xùn)練1 (2020·廣東肇慶期末統(tǒng)考，理14)如圖，PAB，PCD為⊙O的兩條割線，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，則BD等于__________

4、． 熱點(diǎn)二　有關(guān)圓的切線、弦切角問(wèn)題 【例2】如圖所示，過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝__________. 規(guī)律方法 與圓的切線有關(guān)的幾何證明問(wèn)題處理思路： (1)若兩圓相切時(shí)，往往需要添加兩圓的公切線，轉(zhuǎn)化為弦切角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系； (2)在利用圓的切線、弦切角解題時(shí)，應(yīng)特別注意圓周角、圓心角與弦切角的特殊關(guān)系． 變式訓(xùn)練2 如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)____

5、_____． 熱點(diǎn)三　圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì) 【例3】如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若PB=1，PD=3，則的值為_(kāi)___________. 規(guī)律方法 有關(guān)圓內(nèi)接四邊形問(wèn)題的處理思路： (1)圓內(nèi)接四邊形(亦即四點(diǎn)共圓)的判定與性質(zhì)，在近幾年高考中常有考查，處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握對(duì)角的互補(bǔ)關(guān)系，同邊所形成的弦、角的等量關(guān)系，以及外角與其內(nèi)對(duì)角的相等關(guān)系等． (2)通常情況下把圓內(nèi)接四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓周角、圓心角、圓內(nèi)角、圓外角、弦切角以及圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角等問(wèn)題，然后再利用題設(shè)條件來(lái)解決問(wèn)題． (3)值得注意的有，在平面幾何中求角的

6、大小，經(jīng)?？紤]借助三角形內(nèi)角和定理及其推論；在圓中求角的大小常常借助與圓有關(guān)的角的定理來(lái)完成． 變式訓(xùn)練3 如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點(diǎn)，A，D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，則∠A的度數(shù)是__________． 熱點(diǎn)四　有關(guān)與圓相關(guān)的比例線段問(wèn)題 【例4】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，PD＝1，BD＝8，則BC＝__________. 規(guī)律方法 與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題的處理思路：解決與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題，常常結(jié)合圓的切割線定理、割線定理、相交弦定理等

7、來(lái)進(jìn)行分析．當(dāng)然，在解題過(guò)程中善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造相似三角形，尋找平行線截線段成比例等也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)． 變式訓(xùn)練4 如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過(guò)圓心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，則⊙O的半徑為_(kāi)_________． 1．如圖，在ABCD中，N是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，－的值等于(　　)． (第1題圖) A. B．1 C. D. 2．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)E，則圖中與△ABC相似的三角形有(　　)． (第2題圖) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 3．(2020·北京豐臺(tái)3

8、月模擬，12)如圖所示，Rt△ABC內(nèi)接于圓，∠ABC＝60°，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PB交AC于點(diǎn)E，交圓于點(diǎn)D.若PA＝AE，PD＝，BD＝3，則AP＝__________，AC＝__________. 4．(2020·湖北華中師大一附中5月模擬，15)如圖所示，圓O的直徑為6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過(guò)點(diǎn)C作圓的切線l，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線AD，垂足為D，則CD＝__________. 5．如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則＝__________. (第5題圖) 6．(2020·廣東江門(mén)一模，

9、文14)如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑．若AB＝6，AC＝5，AD＝4，則圖中與∠BAE相等的角是__________，AE＝__________. (第6題圖) 7．(2020·廣東六校第四次聯(lián)考，文15)如圖，點(diǎn)M為⊙O的弦AB上的一點(diǎn)，連接MO.MN⊥OM，MN交圓于點(diǎn)N，若MA＝2，MB＝4，則MN＝__________. 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1.　解析：∵直線PB與圓相切于點(diǎn)B，且∠PBA＝∠DBA， ∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直線AB是△BCD外接圓的切線且B是切點(diǎn)，則由切割線定理得|AB|2＝|AD|·

10、|AC|＝mn，即得|AB|＝. 2.　解析：在圓中，由相交弦定理：AF·FB＝EF·FC， ∴FC＝＝2， 由三角形相似，＝，∴BD＝＝. 由切割弦定理：DB2＝DC·DA， 又DA＝4CD，∴4DC2＝DB2＝.∴DC＝. 3．5　解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB，連接AD，則DE2＝AE·EB＝1×5＝5，所以DF·DB＝5. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 4　解析：∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC. ∴＝，∴BE＝＝＝4. 【變式訓(xùn)練1

11、】6　解析：由割線定理得PA·PB＝PC·PD， ∴5×(5＋7)＝PC(PC＋11)． ∴PC＝4或PC＝－15(舍去)． 又∵PA·PB＝PC·PD，＝，∠P＝∠P， ∴△PAC∽△PDB. ∴＝＝＝. 故BD＝3AC＝6. 【例2】　解析：根據(jù)圓的性質(zhì)有∠PAB＝∠ACB，而∠BAC＝∠APB，故△PAB∽△ACB，故有＝，將PB＝7，BC＝5代入解得AB＝. 【變式訓(xùn)練2】 　解析：設(shè)BE＝a，則AF＝4a，F(xiàn)B＝2a. ∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝， ∴AF＝2，F(xiàn)B＝1，BE＝，∴AE＝. 又∵CE為圓的切線，∴CE2＝EB·EA＝×＝，

12、∴CE＝. 【例3】　解析：∵∠P＝∠P，∠A＝∠PCB，∴△PCB∽△PAD. ∴＝＝. 【變式訓(xùn)練3】 99°　解析：如圖，連接OB，OC，AC，根據(jù)弦切角定理，可得∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°. 【例4】2　解析：根據(jù)切割線定理，得PA2＝PD·PB＝9， 故PA＝3. 又根據(jù)弦切角定義，可得∠PAC＝∠ABC＝60°，且PE＝PA，故△PAE為等邊三角形． 所以BE＝6，DE＝2. 根據(jù)相交弦定理，可得BE·DE＝AE·CE，解得CE＝4. 在△BCE中用余弦定理，可解得BC＝2. 【變式訓(xùn)練4】2　解析：設(shè)

13、圓的半徑為R，由PA·PB＝PC·PD得3×(3＋4)＝(5－R)(5＋R)，解得R＝2. 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．B　解析：∵AD∥BM，∴＝. 又∵DC∥AN，∴＝. ∴＝，∴＝. ∴－＝－＝＝1. 2．C　解析：△CDA，△DEA，△CED都與△ABC相似． 3．2　3 4. 5. 6．∠DAC　　解析：連接BE. ∵∠C＝∠E，∠CDA＝∠EBA＝90°， ∴△ABE∽△ADC.∴∠BAE＝∠DAC. 又∵＝，∴AE＝＝. 7．2　解析：延長(zhǎng)NM交⊙O于點(diǎn)C. ∵OM⊥MN，∴MN＝MC. 又∵AM·MB＝MN·MC， ∴2×4＝MN2，即MN＝2.