浙江省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 文

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1、專題六　解析幾何第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 真題試做 1．(2020·浙江高考，文8)如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)．若M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是(　　)． A．3 B．2 C． D． 2．(2020·浙江高考，文17)定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于曲線C2：x2＋(y＋4)2＝2到直線l：y＝x的距離，則實(shí)數(shù)a＝__________. 3．(2020·大綱全國(guó)高考，文10)已知F1，F(xiàn)2

2、為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　)． A． B． C． D． 4．(2020·浙江高考，文22)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分． (1)求p，t的值； (2)求△ABP面積的最大值． 考向分析 圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高考中每年必考的內(nèi)容．所占分?jǐn)?shù)約在12～18分．主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容．其中對(duì)圓錐曲線方程與

3、性質(zhì)的考查，多以選擇題、填空題為主，如2020年湖南高考文6,2020年江西高考文8等題；對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識(shí)結(jié)合，形成曲線中的存在性問(wèn)題、曲線中的證明問(wèn)題等，多以解答題的形式出現(xiàn)． 預(yù)計(jì)在今后高考中，解析幾何中的解答題仍將以直線與圓錐曲線為載體，繼續(xù)與函數(shù)、方程、不等式、向量等知識(shí)結(jié)合，考查最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題、存在性問(wèn)題以及有關(guān)的證明等，試題屬于中、高檔題，考查的思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　圓錐曲線的定義、性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程 【例1】若橢圓＋＝1與雙曲線－＝1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，

4、P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|等于(　　)． A．p2－m2 B．p－m C．m－p D．m2－p2 規(guī)律方法 1．求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法．而對(duì)于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，這樣可以避免對(duì)參數(shù)的討論． 2．應(yīng)特別重視圓錐曲線的定義在解題中的運(yùn)用，若已知圓錐曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)的相關(guān)信息，應(yīng)首先要考慮使用圓錐曲線的定義來(lái)求解． 3．在求解有關(guān)離心率的問(wèn)題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，

5、通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或范圍． 4．在雙曲線中，由于e2＝1＋，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)． 5．拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線、一條對(duì)稱軸、無(wú)對(duì)稱中心、沒(méi)有漸近線，這里強(qiáng)調(diào)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離． 變式訓(xùn)練1 (1)(2020·江蘇南京二模，6)已知雙曲線－y2＝1的一條漸近線方程為x－2y＝0，則該雙曲線的離心率e＝__________； (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為_(kāi)_________． 熱點(diǎn)二　圓錐曲線的最值或定值問(wèn)題 【例2】在

6、平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋y2＝1.如圖所示，斜率為k(k＞0)且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x＝－3于點(diǎn)D(－3，m)． (1)求m2＋k2的最小值； (2)若|OG|2＝|OD|·|OE|， ①求證：直線l過(guò)定點(diǎn)； ②試問(wèn)點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 規(guī)律方法 1．求最值的常用方法 (1)函數(shù)法，如通過(guò)二次函數(shù)求最值；(2)三角代換法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值；(3)不等式法，通過(guò)基本不等式求最值；(4)數(shù)形結(jié)合法等． 2．定值問(wèn)

7、題的求解策略 解這類問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)． 特別提醒：解決定值問(wèn)題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量． 變式訓(xùn)練2 (2020·安徽安慶二模，20)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，e＝，過(guò)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，且|AB|＝4. (1)求橢圓C的方程； (2)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若線段MN被直線x＝1平分，證明：線段MN的中垂線過(guò)定點(diǎn)． 熱點(diǎn)三　求圓錐曲線中的參數(shù)范圍 【例1】如圖，已知圓C：(x＋1)2＋

8、y2＝8，定點(diǎn)A(1,0)，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足＝2，·＝0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)若過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H(點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間)，且滿足＝λ，求λ的取值范圍． 規(guī)律方法 求圓錐曲線中參數(shù)范圍的常用方法 (1)函數(shù)法，用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解． (2)不等式法，根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系，通過(guò)解不等式求參數(shù)的范圍． (3)判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ≥0求參數(shù)的范圍． (4)數(shù)形結(jié)合法，研究該參數(shù)所對(duì)應(yīng)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思

9、想求解． 特別提醒：直線與圓錐曲線相交(有兩個(gè)交點(diǎn))，聯(lián)立方程消元后得方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，則Δ＝b2－4ac＞0，求字母范圍時(shí)易忽視此限制條件，從而產(chǎn)生增根． 變式訓(xùn)練3 已知點(diǎn)P(4,4)，圓C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3)與橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切． (1)求m的值與橢圓E的方程； (2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍． 熱點(diǎn)四　開(kāi)放性、探索性問(wèn)題(存在性問(wèn)題) 【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P

10、和Q. (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 規(guī)律方法 1．解決探索性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在． (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論； (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件； (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑． 2．存在性問(wèn)題的解題步驟： (1)先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)

11、或不等式(組)； (2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無(wú)解則不存在； (3)得出結(jié)論． 變式訓(xùn)練4 如圖，橢圓C：＋＝1的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1B1|＝，. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)n是過(guò)原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，||＝1.是否存在上述直線l使·＝1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思想滲透 分類討論思想——解析幾何中含參數(shù)的問(wèn)題 解析幾何中含參數(shù)的問(wèn)題類型： (1)當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)設(shè)直線方程時(shí)，應(yīng)對(duì)直線分斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論； (2)求有關(guān)直線

12、與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，對(duì)參數(shù)的討論； (3)求有關(guān)線段長(zhǎng)度、圖形面積的最值問(wèn)題時(shí)，對(duì)解析式中含有的參數(shù)進(jìn)行討論； (4)對(duì)有關(guān)二元二次方程表示曲線類型的判定等． 求解時(shí)注意的問(wèn)題： (1)求解有關(guān)含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)應(yīng)結(jié)合參數(shù)的意義，對(duì)參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進(jìn)行分類討論，分類時(shí)應(yīng)注意討論的時(shí)機(jī)、標(biāo)準(zhǔn)、原因，做到不重不漏； (2)對(duì)參數(shù)的分類討論，最后仍然分類寫(xiě)出答案；如果是對(duì)所求的字母進(jìn)行分類求解，最后一般要整理得出并集． (2020·浙江高考，理21)如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段

13、AB被直線OP平分． (1)求橢圓C的方程； (2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程． 解：(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(－c,0)，則由題意得 解得 所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M. 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x＝0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)， 由消去y，整理得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，① 則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0， 所以線段AB的中點(diǎn)M， 因?yàn)镸在直線OP上，所以 ＝， 得m＝0(舍去

14、)或k＝－. 此時(shí)方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則 Δ＝3(12－m2)＞0， 所以|AB|＝·|x1－x2|＝·. 設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離為d，則 d＝＝. 設(shè)△ABP的面積為S，則 S＝|AB|·d＝·， 其中m∈(－2，0)∪(0,2)． 令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]， u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)． 所以，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，u(m)取到最大值． 故當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，S取到最大值． 綜上，所求直線l方程為3x＋2y＋2－2＝0. 1．(2020·浙江嘉興第二次檢

15、測(cè)，9)設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝m＋n(m，n∈R)，且mn＝，則該雙曲線的離心率為(　　)． A． B． C． D． 2．(2020·浙江義烏中學(xué)月考，15)已知實(shí)數(shù)p＞0，直線3x－4y＋2p＝0與拋物線x2＝2py和圓x2＋2＝從左到右的交點(diǎn)依次為A，B，C，D，則的值為_(kāi)_________． 3．(2020·浙江嘉興第二次檢測(cè)，16)已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓在x軸上所截

16、得的弦長(zhǎng)的最小值是__________． 4．(2020·浙江五校聯(lián)考，15)過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝3，且AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則p的值為_(kāi)_________． 5．(2020·北京豐臺(tái)3月模擬，10)已知拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________． 6．過(guò)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點(diǎn))的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________． 7．(2020·山東濟(jì)南3月模擬，22)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2

17、,2)，且拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)為F1. (1)求橢圓E的方程； (2)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：由題意可知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a1是雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)2a2的2倍，即a1＝2a2，而橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)． 故離心率之比為＝＝2. 2．　解析：x2＋(y＋4)2＝2到直線y＝x的距離為－＝， 所以y＝x2＋a到y(tǒng)＝x的距離為，而與y＝x平行且距離為的直線有兩條，分別是y＝x＋2與y＝x－2，而拋物線y＝x2＋a開(kāi)口向上，所以y＝x2＋a與y＝x＋2相

18、切，可求得a＝. 3．C　解析：設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝2m， 由雙曲線定義知：|PF1|－|PF2|＝2a，得2m－m＝2， ∴m＝2. 又2c＝2＝2×2＝4， ∴由余弦定理可得：cos∠F1PF2＝＝. 4．解：(1)由題意知得 (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為Q(m，m)． 由題意知，設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)． 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1. 所以直線AB方程為y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由 消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0， 所以Δ＝4m－4m

19、2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m. 從而|AB|＝·|y1－y2|＝·. 設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d， 則d＝. 設(shè)△ABP的面積為S， 則S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·. 由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1. 令u＝，0＜u≤，則S＝u(1－2u2)． 設(shè)S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤， 則S′(u)＝1－6u2. 由S′(u)＝0，得u＝∈， 所以S(u)max＝S＝. 故△ABP面積的最大值為. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】C　解析：根據(jù)題意可知m＞n，由于點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，據(jù)橢圓定義有|PF1|＋|PF2|＝2

20、. 又點(diǎn)P在雙曲線上，再據(jù)雙曲線定義有|PF1|－|PF2|＝±2，將上述兩式分別平方再相減得|PF1|·|PF2|＝m－p. 【變式訓(xùn)練1】(1) (2)－＝1　解析：由雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x得＝，∴b＝a. ∵拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F(4,0)，∴c＝4. 又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2. ∴a2＝4，b2＝12. ∴所求雙曲線的方程為－＝1. 【例2】解：(1)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t(k＞0)，由題意，t＞0. 由方程組 得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0. 由題意Δ＞0，所以3k2＋1＞t2.

21、設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由韋達(dá)定理得x1＋x2＝－. 所以y1＋y2＝. 由于E為線段AB的中點(diǎn)， 因此xE＝－，yE＝， 此時(shí)kOE＝＝－. 所以O(shè)E所在直線方程為y＝－x. 又由題設(shè)知D(－3，m)，令x＝－3，得m＝，即mk＝1. 所以m2＋k2≥2mk＝2.當(dāng)且僅當(dāng)m＝k＝1時(shí)上式等號(hào)成立． 此時(shí)由Δ＞0得0＜t＜2. 因此當(dāng)m＝k＝1且0＜t＜2時(shí)，m2＋k2取最小值2. (2)①證明：由(1)知OD所在直線的方程為y＝－x，將其代入橢圓C的方程，并由k＞0， 解得G， 又E，D， 由距離公式及t＞0得 |OG|2＝2＋2 ＝， |O

22、D|＝＝， |OE|＝ ＝， 由|OG|2＝|OD|·|OE|得t＝k， 因此直線l的方程為y＝k(x＋1)，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(－1,0)． ②由①得G， 若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱， 則B. 代入y＝k(x＋1)，整理得3k2－1＝k， 即6k4－7k2＋1＝0，解得k2＝(舍去)或k2＝1，所以k＝1. 此時(shí)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱． 又由(1)得x1＝0，y1＝1，所以A(0,1)． 由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)△ABG的外接圓的圓心為(d,0)， 因此d2＋1＝2＋，解得d＝－. 故△ABG的外接圓的半徑為r＝＝. 所以△ABG的外接圓方程為2＋y2＝.

23、 【變式訓(xùn)練2】(1)解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列， ∴|AF2|＋|BF2|＝2|AB|. ∴4a＝|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝3|AB|＝12. ∴a＝3. 又e＝＝，∴c＝1，b＝＝2. 所求的橢圓方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為(1，y0)， 由題意知，. 兩式相減，得＋＝0， ∴kMN＝＝－＝－. ∴線段MN的中垂線方程為y－y0＝(x－1)， 易證，此直線過(guò)定點(diǎn). 【例3】解：(1)∵＝2，·＝0， ∴NP為AM的垂直平分線， ∴|N

24、A|＝|NM|. 又∵|CN|＋|NM|＝2， ∴|CN|＋|AN|＝2＞2， ∴點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(－1,0)，A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝2，焦距2c＝2， ∴a＝，c＝1，b2＝1， ∴曲線E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線GH的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線GH的方程為y＝kx＋2，代入橢圓方程＋y2＝1，得x2＋4kx＋3＝0. 由Δ＞0得k2＞. 設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 又∵＝λ， ∴(x1，y1－2)＝λ(x2，y2－2)，∴x1＝λx2， ∴x1＋x2＝(1＋λ)x2，x1x2＝λx2， ∴2＝x

25、2＝. ∴2·2＝·， 整理得＝. ∵k2＞，∴4＜＜. ∴4＜λ＋＋2＜，∴＜λ＜3. 又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1. 又當(dāng)直線GH的斜率不存在，即其方程為x＝0時(shí)，＝，λ＝. ∴≤λ＜1，即所求λ的取值范圍是. 【變式訓(xùn)練3】解：(1)點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓C方程，得(3－m)2＋1＝5. ∵m＜3，∴m＝1. 圓C：(x－1)2＋y2＝5. 設(shè)直線PF1的斜率為k， 則PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. ∵直線PF1與圓C相切，∴＝. 解得k＝或k＝. 當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去； 當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)

26、橫坐標(biāo)為－4，∴c＝4. ∴F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)． 2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2. 橢圓E的方程為＋＝1. (2)＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)，＝(x－3，y－1)， ·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6. ∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18， 而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18. 則(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范圍是[0,36]． x＋3y的取值范圍是[－6,6]． ∴·＝x＋3y－6的取值范圍是[－12,0]． 【例4】解：(1)由已知條件知直線l的方程為y＝

27、kx＋， 代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1. 整理得x2＋2kx＋1＝0.① 直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞. 即k的取值范圍為∪. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①得x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－2,1)， 所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)． 將②③代入上式，解得k＝. 由(1)知k＜－或k＞，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k. 【變式訓(xùn)練4】解：(1)由|A1B1|＝知a2＋b2＝7

28、，① 由知a＝2c，② 又b2＝a2－c2，③ 由①②③解得a2＝4，b2＝3， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 假設(shè)使·＝1成立的直線l存在， ①當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m， 由l與n垂直相交于P點(diǎn)且||＝1， 得＝1，即m2＝k2＋1. ∵·＝1，||＝1， ∴·＝(＋)·(＋) ＝＋·＋·＋· ＝1＋0＋0－1＝0， 即x1x2＋y1y2＝0. 將y＝kx＋m代入橢圓方程， 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0， 由求根公式可得x1＋x2＝，④ x1x2＝.⑤

29、 0＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 將④⑤代入上式并化簡(jiǎn)得 (1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0，⑥ 將m2＝1＋k2代入⑥并化簡(jiǎn)得－5(k2＋1)＝0，矛盾．即此時(shí)直線l不存在． ②當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足||＝1的直線l的方程為x＝1或x＝－1， 當(dāng)x＝1時(shí)，A，B，P的坐標(biāo)分別為，，(1,0)， ∴＝，＝. ∴·＝≠1. 當(dāng)x＝－1時(shí)，同理可得A·≠1， 即此時(shí)直線l也不存在． 綜上可知，使·＝1成立的直線

30、l不存在． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．C　解析：A，B，代入＝m＋n，得P，代入雙曲線方程，得4e2mn＝1，即得e＝. 2．　解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因直線斜率大于0，故y1＜y2. 而拋物線的焦點(diǎn)F就是圓的圓心，且直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|＝|AF|－|BF|＝－＝y(tǒng)1. 同理|CD|＝|DF|－|CF|＝－＝y(tǒng)2. 由消去x整理得8y2－17py＋2p2＝0. 因y1＜y2，解得y1＝，y2＝2p，則＝＝. 3．2　解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)F到x軸的距離為1，則以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長(zhǎng)為m＝2，故要使弦長(zhǎng)最小，則線段AB長(zhǎng)要最小．從而弦AB與y軸垂

31、直，此時(shí)|AB|＝4，故以AB為直徑的圓在x軸上所截得的弦長(zhǎng)的最小值為2. 4．　解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y1y2＝－p2，且y1＋y2＝1，從而有1＝(y1＋y2)2＝y(tǒng)＋y＋2y1y2＝2p(x1＋x2)－2p2. 又由|AB|＝x1＋x2＋p＝3，得x1＋x2＝3－p，則有1＝2p(3－p)－2p2，解得p＝. 5．(4，±4)　解析：利用拋物線定義先求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 6．　解析：設(shè)垂足為M. 則△OFM為等腰直角三角形，設(shè)OF中點(diǎn)為N，利用MN＝ON＝OF，列出關(guān)于a，c的關(guān)系式即可解決． 7．解：(1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則

32、＋＝1，① ∵拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)為F1，∴c＝.② 又a2＝b2＋c2，③ 由①②③得a2＝12，b2＝6. ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m， 代入橢圓E的方程，得3x2－4mx＋2m2－12＝0. 由Δ＝16m2－12(2m2－12)＝8(18－m2)＞0，得m2＜18. A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝. 圓P的圓心為， 半徑r＝|x1－x2|＝. 當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，r＝，則2x1x2＝， 即＝，m2＝9＜18，m＝±3. 當(dāng)m＝3時(shí)，直線l方程為y＝－x＋3，此時(shí)，x1＋x2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓P的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4； 同理，當(dāng)m＝－3時(shí)，直線l方程為y＝－x－3，圓P的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.