2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)47隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

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1、考點(diǎn)47 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型 一、選擇題 1.（2020·廣東高考理科·Ｔ6）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽．現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 A. B. C. D. 【思路點(diǎn)撥】本題利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及對立事件的概率公式可求解. 【精講精析】選D.由題意知，乙隊(duì)勝的概率為，由對立事件概率公式得，甲隊(duì)獲勝的概率為.故選D. 2．（2020·安徽高考文科·Ｔ9）從正六邊形的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于（?。? （A）

2、 （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】基本事件總數(shù)是=15，觀察可得構(gòu)成3個矩形. 【精講精析】選D. 基本事件總數(shù)是=15，觀察可得構(gòu)成3個矩形.所以是矩形的概率為 3.（2020·福建卷理科·Ｔ4）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于（ ） (A). (B). (C). (D). 【思路點(diǎn)撥】本題屬幾何概型問題，所求概率轉(zhuǎn)化為△ABE與矩形ABCD的面積之比 【精講精析】選C. 由題意知， 4．（2020·

3、福建卷文科·Ｔ7）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等 于（ ） （A）． （B）. （C）. （D）. 【思路點(diǎn)撥】本題屬幾何概型問題，所求概率轉(zhuǎn)化為△ABE與矩形ABCD的面積之比. 【精講精析】選C. 由題意知， 5.（2020·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ4）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 A． B. C. D. 【思路點(diǎn)撥

4、】甲、乙兩位同學(xué)可以同時參加3個興趣小組中的1個，參加每個小組的可能性均為，可以利用排列組合和獨(dú)立事件的概率求法來計(jì)算所求概率. 【精講精析】選A. 先從3個興趣小組中選1個，有種方法； 甲、 乙兩位同學(xué)都參加這個興趣小組的概率為 故這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 6.（2020·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ6）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為( ) A. B. C. D. 【思路點(diǎn)撥】甲、乙兩位同學(xué)可以同時

5、參加3個興趣小組中的1個，參加每個小組的可能性均為，可以利用獨(dú)立事件的概率求法來計(jì)算所求概率. 【精講精析】選A. 先從3個興趣小組中選1個，有種方法； 乙、 乙兩位同學(xué)都參加這個興趣小組的概率為 故這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 7.（2020·遼寧高考理科·Ｔ5）從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B︱A)= (A) (B) (C) (D) 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率及其運(yùn)算． 【精講精析】選B，從1.2.3

6、.4.5中任取2個不同的數(shù)，共有10個基本事件：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）．事件A發(fā)生共有4個基本事件：（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）．事件B發(fā)生共有1個基本事件：（3，5）． 事件A，B同時發(fā)生也只有1個基本事件：（3，5）．根據(jù)條件概率公式得， 8．（2020·陜西高考理科·T10）甲乙兩人一起去游“2020西安世園會”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個進(jìn)行游覽，每個景點(diǎn)參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是 （ ） （A） （B）

7、（C） （D） 【思路點(diǎn)撥】本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點(diǎn)路線的排列問題． 【精講精析】選D.甲乙兩人各自獨(dú)立任選4個景點(diǎn)的情形共有（種）；最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的情形有（種），所以． 9.（2020·浙江高考理科·Ｔ9）有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本。若將其隨機(jī)地并擺放到圖書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是 （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】古典概型基本問題,可從反面來考慮。 【精講精析】選B. 解法一：基本事件總數(shù)為,同一科目中有

8、相鄰情況的有個,故同一科目都不相鄰的概率是. 解法二：由古典概型的概率公式得. 10. （2020·浙江高考文科·Ｔ8）從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 （A） （B） （C） （D） 【思路點(diǎn)撥】古典概型問題. 【精講精析】選D. 從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球共有個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是. 二、填空題 11.（2020·江西高考理科·Ｔ12）小波通過做游戲的方式來

9、確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為 . 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件先求出小波周末去看電影的概率，再求出他去打籃球的概率，易得周末不在家看書的概率。 【精講精析】答案： 記“看電影”為事件A，“打籃球”為事件B，“不在家看書”為事件C. 12．（2020·湖南高考理科·T15）如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)

10、”，則 （1）P(A)=______；（2）P（B|A）=______. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查面積型幾何概型. 【精講精析】答案：.關(guān)鍵是計(jì)算出正方形的面積和扇形的面積. 13.（2020·湖南高考文科T15）已知圓C：直線l：4x+3y=25. （1）圓C的圓心到直線l的距離為_____； （2）圓C上任意一點(diǎn)A到直線的距離小于2的概率為____ 【思路點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式和幾何概型. 【精講精析】答案：5，（1）的圓心(0,0)到直線4x+3y=25的距離為：d=.（2）作一條與4x+3y=25平行而且與4x+3y=25的距離為2的直線交圓于A，B兩點(diǎn)，則

11、 . 14.（2020·福建卷理科·Ｔ13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若從中隨機(jī)取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______. 【思路點(diǎn)撥】分別求出 . 【精講精析】 .由題易知，從5個球中隨機(jī)取出2個球共有種不同取法，而取出的球顏色不同共有，故所取出的2個球顏色不同的概率為 15.（2020·江蘇高考·Ｔ5）從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是______ 【思路點(diǎn)撥】本題考查的是古典概型的概率計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找出總的基本事件個數(shù)和其中一個數(shù)是另一個的兩倍所包含的事件個數(shù)。

12、【精講精析】從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6個基本事件，其中一個數(shù)是另一個的兩倍的有（1,2），（2,4）2個基本事件，所以其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是 【答案】. 三、解答題 16.（2020·福建卷文科·Ｔ19）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下： (I)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件

13、，求a,b,c的值； (II)在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1,x2,x3，等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1,y2，現(xiàn)從x1,x2,x3,y1,y2,這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率. 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由等級系數(shù)為4和5的件數(shù)可求得頻率的值，再由頻率和為1求得的值; （Ⅱ）此問屬于求古典概型的概率問題，用列舉法可求. 【精講精析】（Ⅰ）由頻率分布表得，即， 因?yàn)槌槿〉?0件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以 等級系數(shù)為5的恰有2件，所以 從而，所以 （II）從日用品

14、中任取兩件，所有可能情況為： ，. 設(shè)事件A表示“從日用品中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包含的基本事件為 ，共4個. 又基本事件的總數(shù)為10,故所求的概率 17.（2020·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ19）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A分配方和B分配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù)

15、 （Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （II）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為 估計(jì)用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤. 【思路點(diǎn)撥】第（Ⅰ）問分別用配方、配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率來估計(jì)概率，第（II）問，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0時即質(zhì)量指標(biāo)時，求時的頻率作為概率，生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中平均一件的利潤為. 【精講精析】（Ⅰ）由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.3所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由實(shí)驗(yàn)

16、結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.42， 所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42. （II）由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率當(dāng)且僅當(dāng)t≥94,由試驗(yàn)結(jié)果知， t≥94的頻率為0.96，所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計(jì)值為0.96. 用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤為 =2.68（元）. 18.（2020·山東高考文科·Ｔ18）甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. （I）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； （II）若從報(bào)名的

17、6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率. 【思路點(diǎn)撥】（I）本題考查古典概型，要將基本事件都列出，然后找出2名教師性別相同所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.（II）從報(bào)名的6名教師中任選2名，列出基本事件，然后找出2名教師來自同一學(xué)校所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果. 【精講精析】(I) 從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名， 所有可能的結(jié)果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女,

18、 乙男)，共9種； 選出的2名教師性別相同的結(jié)果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4種， 所以選出的2名教師性別相同的概率為. （II）從報(bào)名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、 (甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、 (乙女1, 乙女2)，共15種； 選出的2名教師來自同一學(xué)

19、校的所有可能的結(jié)果為(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6種， 所以選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為. 19．（2020·湖南高考文科T18）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關(guān).據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=70時，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，220，140，110，160，220，140，160. （Ⅰ）完

20、成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 （II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率. 【思路點(diǎn)撥】本題考查頻率分布表的理解和求概率.兼顧考查了一種理解，頻率反映概率，頻率不是概率，概率是通過頻率體現(xiàn)的.頻率和概率最大的特性是和均為1.而第二問必須把發(fā)電量、降雨量和概率的關(guān)系聯(lián)系起來. 【精講精析】 （I）

21、在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 （II） 故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率為． 20.（2020·江西高考文科·Ｔ16）某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便確定其考評級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對

22、2杯，則評為良好；否則評為合格.假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. （1）求此人被評為優(yōu)秀的概率； （2）求此人被評為良好及以上的概率. 【思路點(diǎn)撥】首先將所有情況一一列舉出來，共有10種情況，結(jié)合題意可得此人被評為優(yōu)秀及被評為良好及以上的概率。 【精講精析】解：將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4，5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可見共有10種，令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，F(xiàn)表示

23、此人被評為良好及以上的事件，則 （1） P(D)= （2） P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=. 21.（2020·陜西高考文科·T20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時間（分鐘） 1020 2030 3040 4050 5060 選擇的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇的人數(shù) 0 4 16 16 4 （Ⅰ）試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； （Ⅱ）分別求通過路徑和所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率； （Ⅲ）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車

24、站，為了盡量大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑． 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）讀懂?dāng)?shù)表，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；（Ⅱ）根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；（Ⅲ）計(jì)算選擇不同的路徑，在允許的時間內(nèi)趕往火車站的概率，通過比較概率的大小確定選擇的最佳路徑． 【精講精析】（Ⅰ）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人， 用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44. （Ⅱ）選擇的有60人，選擇的有40人， 故由調(diào)查結(jié)果得頻率為： 所用時間（分鐘） 1020 2030 3040 4

25、050 5060 選擇的人數(shù) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 選擇的人數(shù) 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （Ⅲ）用，分別表示甲選擇和時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；用，分別表示乙選擇和時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由（Ⅱ）知P(A1)?=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)， 甲應(yīng)選擇路徑； P(B1)?=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1）， ∴ 乙應(yīng)選擇路徑. 22.（2020·天津高考文科·Ｔ15）編號為的16名籃球運(yùn)

26、動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下： 運(yùn)動員編號 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 運(yùn)動員編號 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格； 區(qū)間 人數(shù) （Ⅱ）從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人， （i）用運(yùn)動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果； （ii）求這2人得分之和大于50的概率． 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ），分別按區(qū)間范圍列舉出人數(shù)； （Ⅱ），用列舉法、古典概率公

27、式計(jì)算概率. 【精講精析】（Ⅰ）【解析】4，6，6 （Ⅱ）（i）【解析】得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員編號為從中隨機(jī)抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有： ， ，共15種. （ii）【解析】“從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：，共5種.所以 23.（2020·北京高考文科·T16）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示. 甲組 乙組 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 （Ⅰ）如果X=8，求乙

28、組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率. （注：方差，其中為的平均數(shù)） 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）代入平均數(shù)、方差公式進(jìn)行計(jì)算；（Ⅱ）先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù)，再求出所求事件包含的基本事件數(shù)，最后求概率. 【精講精析】Ⅰ當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的棵數(shù)是8，8，9，10，所以平均數(shù)為； 方差為. （Ⅱ）記甲組四名同學(xué)為，他們植樹的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學(xué)為，他們植樹的棵數(shù)依次為9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，它們是： 用C表示：“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個，它們是,故所求概率為.