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1、第三講 平面向量與復(fù)數(shù)
一、 向量有關(guān)的概念及運(yùn)算
例1、已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。
（1）證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；
（2）設(shè)，求向量及的坐標(biāo)；
（3）求使，（p，q為常數(shù)）的向量的坐標(biāo)
解析：（1）設(shè)，則，故
，
∴
（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）
（3）設(shè)=（x，y），則，
∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。
例2、已知非零向量與滿足= 0且，則△ABC為_(kāi)____________三角形。
解：由= 0，知角A的平分線垂直于BC，故△ABC為等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，
∴= 600 . 所以△ABC為
2、等邊三角形。
例3、(1)已知, , 與的夾角為1200，求使與的夾角為銳角的實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(2) 已知，，且與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解：(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 ,
依題意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴.
又當(dāng)與同向時(shí)，仍有＞0，此時(shí)設(shè)，顯然、不共線，所以，k =, k ==, 取k ==1.
A
B
C
M
O
N
E
∴且k≠1 .
例4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的
中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同
的兩點(diǎn)M、N，若，，則
m +
3、n =______.
解1：取特殊位置. 設(shè)M與B重合，N與C
重合，則m=n=1, 所以m+n=2.
解2：=，∵M(jìn)、O、N三點(diǎn)共線，∴,∴m + n = 2.
解3：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC, 則，.
又，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 .
二、向量與三角結(jié)合
例5、已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此時(shí)a·b的夾角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得
|ka+b|
4、2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=
∴a·b的最小值為，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此時(shí)a與b的夾角為60°。
例6、已知向量,且滿足,
(1) 求證 ; (2)將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù);
(3)求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)向量與向量的夾角.
5、
解:(1)
, 故
(2) ,
故.
(3) ,此時(shí)當(dāng)最小值為.
,量與向量的夾角
三、復(fù)數(shù)
例7、已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），，求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.
[解法一] ，∴.
若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根.
，
所求的一個(gè)一元二次方程可以是.
[解法二] 設(shè)
，
得
，
以下解法同[解法一].
例8、設(shè)z∈C，求滿足z+∈R且|z－2|=2的復(fù)數(shù)z.
分析：設(shè)z=a+bi(a、b∈R)，代入條件，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，易得a、b的兩個(gè)方程
解法一：設(shè)z=a+bi，
則z+=a+bi+=a+bi+
=a++(b－)i∈R
∴b=∴b=0或a2+b2=1
當(dāng)b=0時(shí)，z=a，
∴|a－2|=2 ∴a=0或4
a=0不合題意舍去，∴z=4
當(dāng)b≠0時(shí)，a2+b2=1
又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4
解得a=，b=，∴z=±i
綜上，z=4或z=±i
解法二：∵z+∈R，
∴z+ = +
∴(z－)－=0，(z－)·=0
∴z=或|z|=1，下同解法一
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