（廣東專用）2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章第四節(jié) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練 理

課時(shí)知能訓(xùn)練 一、選擇題 1．共點(diǎn)力f1＝(lg 2，lg 2)，f2＝(lg 5，lg 2)作用在物體上，產(chǎn)生位移s＝(2lg 5,1)，則共點(diǎn)力對(duì)物體所做的功W為(　　) A．lg 2　　　　B．lg 5　　　　C．1　　　　D．2 【解析】　合力所做的功W＝f·s＝(f1＋f2)·s ＝(lg 2＋lg 5，lg 2＋lg 2)·(2lg 5,1)＝2. 【答案】　D 2．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　) A．一次函數(shù)且是奇函數(shù) B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù) C．二次函數(shù)且是偶函數(shù) D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù) 【解析】　∵a⊥b，∴a·b＝0，|a|≠|(zhì)b|， ∴f(x)＝(xa＋b)·(xb－a) ＝x2a·b＋x·b2－x·a2－a·b ＝x(b2－a2)＝x(|b|2－|a|2)， ∴f(x)是奇函數(shù)，為一次函數(shù)． 【答案】　A 3．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列且(＋)·＝0，則△ABC一定是(　　) A．等邊三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．直角非等腰三角形 【解析】　取邊BC的中點(diǎn)D，則＋＝2， ∴2·＝0，∴AD⊥BC，∴AB＝AC. 由A、B、C成等差數(shù)列，得B＝60°， 所以△ABC是等邊三角形． 【答案】　A 圖4－4－3 4．(2020·梅州調(diào)研)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖4－4－3所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于(　　) A. B.π C.π D.π 【解析】　∵＝－＝，∴T＝π， ∴M(，A)，N(，－A)． 又·＝×＋A·(－A)＝0，∴A＝π. 【答案】　B 5．已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A、B兩點(diǎn)，且|＋|＝|－|，其中O為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D.或－ 【解析】　由|＋|＝|－|，知⊥， ∴點(diǎn)O到AB的距離d＝， 即＝，解得a＝±2. 【答案】　C 二、填空題 6．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b＜0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于________． 【解析】　S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝， ∴sin∠BAC＝，又a·b＜0， ∴∠BAC為鈍角，∴∠BAC＝150°. 【答案】　150° 7．已知i，j分別是與x，y軸方向相同的單位向量，一動(dòng)點(diǎn)P與M(1,1)連結(jié)而成的向量與另一向量n＝4i－6j垂直，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________． 【解析】　設(shè)P(x，y)，則＝(1－x,1－y)． ∵i，j分別是x，y軸上的單位向量，∴n＝(4，－6)． ∵⊥n，∴·n＝0， 即4(1－x)－6(1－y)＝0，整理得2x－3y＋1＝0. ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為2x－3y＋1＝0(x≠1)． 【答案】　2x－3y＋1＝0(x≠1) 8．在△ABC中，∠A＝，BC＝，向量m＝(－，cos B)， n＝(1，tan B)，且m⊥n，則邊AC的長(zhǎng)為________． 【解析】　∵m⊥n，∴sin B＝， 由正弦定理知＝， ∴AC＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．求分別與向量a＝(，－1)和b＝(1，)夾角相等，且模為的向量c的坐標(biāo)． 【解】　法一　設(shè)c＝(x，y)，則a·c＝x－y，b·c＝x＋y. 由〈a，c〉＝〈b，c〉，得＝， ∴x－y＝x＋y，即x＝(2＋)y. ① 又|c|＝，∴x2＋y2＝2. ② 由①②得或 ∴c＝(，)或(－，－)． 法二　 ∵|a|＝|b|＝2，a·b＝0， ∴△AOB為等腰直角三角形，如圖． ∵||＝，∠AOC1＝∠BOC1， ∴C1為AB的中點(diǎn)，∴C1(，)． 同理可得C2(－，－)．∴c＝(，)或(－，－)． 10．設(shè)過點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 若＝2，且·＝1，求P點(diǎn)的軌跡方程． 【解】　設(shè)A(x0,0)(x0＞0)，B(0，y0)(y0＞0)， ∵P(x，y)與Q關(guān)于y軸對(duì)稱，∴Q(－x，y)， 由＝2，即(x，y－y0)＝2(x0－x，－y)， 可得(x，y＞0)． 又＝(－x，y)，＝(－x0，y0)＝(－x,3y)． ∵·＝1， ∴x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)． ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)． 11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a，b滿足關(guān)系式|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)． (1)求a與b的數(shù)量積用k表示的解析式f(k)； (2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，說明理由；若能，則求出相應(yīng)的k的值； (3)求a與b的夾角的最大值． 【解】　(1)由已知得|a|＝|b|＝1. ∵|ka＋b|＝|a－kb|， ∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，即8ka·b＝2k2＋2， ∴f(k)＝a·b＝(k＞0)． (2)∵a·b＝f(k)＞0，∴a不可能與b垂直． 若a∥b，由于a·b＞0，知a與b同向，有a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝1. ∴＝1，解之得k＝2±. ∴當(dāng)k＝2±時(shí)，a∥b. (3)設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝a·b＝(k＞0)， ∴cos θ＝(k＋)≥，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)，取等號(hào)． 又∵0≤θ≤π，且余弦函數(shù)y＝cos x在[0，π]上為減函數(shù)，∴a與b的夾角的最大值為.