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1、課時知能訓練
一、選擇題
1.共點力f1=(lg 2,lg 2),f2=(lg 5,lg 2)作用在物體上,產生位移s=(2lg 5,1),則共點力對物體所做的功W為( )
A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2
【解析】 合力所做的功W=f·s=(f1+f2)·s
=(lg 2+lg 5,lg 2+lg 2)·(2lg 5,1)=2.
【答案】 D
2.若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,則函數(shù)f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( )
A.一次函數(shù)且是奇函數(shù) B.一次函數(shù)但不是奇函數(shù)
C.二次函數(shù)且是偶函數(shù) D.二次函數(shù)但
2、不是偶函數(shù)
【解析】 ∵a⊥b,∴a·b=0,|a|≠|b|,
∴f(x)=(xa+b)·(xb-a)
=x2a·b+x·b2-x·a2-a·b
=x(b2-a2)=x(|b|2-|a|2),
∴f(x)是奇函數(shù),為一次函數(shù).
【答案】 A
3.若△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列且(+)·=0,則△ABC一定是( )
A.等邊三角形 B.等腰非等邊三角形
C.等腰直角三角形 D.直角非等腰三角形
【解析】 取邊BC的中點D,則+=2,
∴2·=0,∴AD⊥BC,∴AB=AC.
由A、B、C成等差數(shù)列,得B=60°,
所以△ABC是等邊三角
3、形.
【答案】 A
圖4-4-3
4.(2020·梅州調研)若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一個周期內的圖象如圖4-4-3所示,M,N分別是這段圖象的最高點和最低點,且·=0(O為坐標原點),則A等于( )
A. B.π
C.π D.π
【解析】 ∵=-=,∴T=π,
∴M(,A),N(,-A).
又·=×+A·(-A)=0,∴A=π.
【答案】 B
5.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|+|=|-|,其中O為原點,則實數(shù)a的值為( )
A.2 B.-2
C
4、.2或-2 D.或-
【解析】 由|+|=|-|,知⊥,
∴點O到AB的距離d=,
即=,解得a=±2.
【答案】 C
二、填空題
6.已知在△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則∠BAC等于________.
【解析】 S△ABC=|a||b|sin∠BAC=,
∴sin∠BAC=,又a·b<0,
∴∠BAC為鈍角,∴∠BAC=150°.
【答案】 150°
7.已知i,j分別是與x,y軸方向相同的單位向量,一動點P與M(1,1)連結而成的向量與另一向量n=4i-6j垂直,動點P的軌跡方程是________.
【解析
5、】 設P(x,y),則=(1-x,1-y).
∵i,j分別是x,y軸上的單位向量,∴n=(4,-6).
∵⊥n,∴·n=0,
即4(1-x)-6(1-y)=0,整理得2x-3y+1=0.
∴動點P的軌跡方程為2x-3y+1=0(x≠1).
【答案】 2x-3y+1=0(x≠1)
8.在△ABC中,∠A=,BC=,向量m=(-,cos B),
n=(1,tan B),且m⊥n,則邊AC的長為________.
【解析】 ∵m⊥n,∴sin B=,
由正弦定理知=,
∴AC==.
【答案】
三、解答題
9.求分別與向量a=(,-1)和b=(1,)夾角相等,且模為的向量c
6、的坐標.
【解】 法一 設c=(x,y),則a·c=x-y,b·c=x+y.
由〈a,c〉=〈b,c〉,得=,
∴x-y=x+y,即x=(2+)y. ①
又|c|=,∴x2+y2=2. ②
由①②得或
∴c=(,)或(-,-).
法二
∵|a|=|b|=2,a·b=0,
∴△AOB為等腰直角三角形,如圖.
∵||=,∠AOC1=∠BOC1,
∴C1為AB的中點,∴C1(,).
同理可得C2(-,-).∴c=(,)或(-,-).
10.設過點P(x,y)的直線分別
7、與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點,點Q與點P關于y軸對稱,O為坐標原點.
若=2,且·=1,求P點的軌跡方程.
【解】 設A(x0,0)(x0>0),B(0,y0)(y0>0),
∵P(x,y)與Q關于y軸對稱,∴Q(-x,y),
由=2,即(x,y-y0)=2(x0-x,-y),
可得(x,y>0).
又=(-x,y),=(-x0,y0)=(-x,3y).
∵·=1,
∴x2+3y2=1(x>0,y>0).
∴點P的軌跡方程為x2+3y2=1(x>0,y>0).
11.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且a,b滿足關系式|k
8、a+b|=|a-kb|(k>0).
(1)求a與b的數(shù)量積用k表示的解析式f(k);
(2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,說明理由;若能,則求出相應的k的值;
(3)求a與b的夾角的最大值.
【解】 (1)由已知得|a|=|b|=1.
∵|ka+b|=|a-kb|,
∴(ka+b)2=3(a-kb)2,即8ka·b=2k2+2,
∴f(k)=a·b=(k>0).
(2)∵a·b=f(k)>0,∴a不可能與b垂直.
若a∥b,由于a·b>0,知a與b同向,有a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|=1.
∴=1,解之得k=2±.
∴當k=2±時,a∥b.
(3)設a與b的夾角為θ,則cos θ==a·b=(k>0),
∴cos θ=(k+)≥,當且僅當k=1時,取等號.
又∵0≤θ≤π,且余弦函數(shù)y=cos x在[0,π]上為減函數(shù),∴a與b的夾角的最大值為.