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1、
1.3線段的垂直平分線
一、選擇題
1．已知MN是線段AB的垂直平分線，C，D是MN上任意兩點(diǎn)，則∠CAD和∠CBD之間的大小關(guān)系是 （ ）
A.∠CAD<∠CBD B.∠CAD＝∠CBD C.∠CAD>∠CBD D.無(wú)法判斷
2．如圖1－75所示，在△ABC中，AD垂直平分掃BC，AC＝EC，點(diǎn)B，D，C，E在同一條直線上，則AB＋DB與DE之間的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DB
2、于D，若△ABC和 △DBC的周長(zhǎng)分別是60 cm和38 cm，則△ABC的腰長(zhǎng)和底邊BC的長(zhǎng)分別是 （ ）
A．24 cm和12 cm B.16 cm和22 cm
C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
4．如圖1－76所示，A，B是直線l外兩點(diǎn)，在l上求作一點(diǎn)P，使PA＋PB最小，其作法是 （ ）
A.連接BA并延長(zhǎng)與l的交點(diǎn)為P
B.連接AB，并作線段A月的垂直平分線與l的交點(diǎn)為P
C.過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂線與l的交點(diǎn)為P
D.過(guò)點(diǎn)A作l
3、的垂線段AO，O是垂足，延長(zhǎng)AO到A′，使A′O＝AO，再連接 A′B，則A′B與L的交點(diǎn)為P
5．若一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上，則這個(gè)三角形是 （ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
二、填空題
6．到線段AB兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在 .
7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分線交AB于D，若AD＝2 cm，則BD＝ cm．
三、解答題
8．如圖l－77所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分別垂直平分AB，AC，求 ∠PAQ的度數(shù)．
4、
9．如圖1－78所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC邊的垂直平 分線DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周長(zhǎng)．
10．如圖l－79所示，已知AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC 于點(diǎn)D，若△DBC的周長(zhǎng)為35 cm，求BC的長(zhǎng)．
11．如圖1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，E，已知
△ADE的周長(zhǎng)為12 cm，求BC的長(zhǎng)．
12．如圖1－81所示，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC＝1 km，B村到公路l的距離BD＝2 km，B村在A村的南偏東45
5、°方向上．
（1）求A，B兩村之間的距離；
（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車(chē)站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置．（保留清晰的作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫(xiě)明作法）
13．如圖1－82所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，點(diǎn)O是AD，BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并給出證明．
參考答案
1．B[提示：△CAD≌△CBD]
2．C[提示：因?yàn)锳B＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]
3．D[提示：AB的垂直平分線與邊AC交于D，則BD＝AD，故
6、BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22（cm），AC＝22 cm，BC＝38－22＝16（cm）．]
4．D[提示：由D中作法知，直線l垂直平分AA′，則PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，兩點(diǎn)之間線段最短．]
5．C[提示：直角三角形的三邊垂直平分線交于斜邊的中點(diǎn)處．]
6．線段AB的垂直平分線上
7．2[提示：AD＝CD＝BD．]
8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B＋∠C；180°－110°=70°．∵PM，QN分別垂直平分AB，AC，∴△BPM≌△APM，△CQN≌△AQN．∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝70°．∴
7、∠PAQ=∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝110°－ 70°＝40°．
9．解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝DC，∴AC=AD＋DC=AD＋BD＝8 cm．又∵AB＝6 cm，∴AB＋AD＋DB＝14 cm，即△ABD的周長(zhǎng)為14 cm．
10．解：因?yàn)镈正垂直平分AB，垂足為正，D正交AC于點(diǎn)D，所以DA＝DB，所以BD＋DC＝AD＋DC＝20 cm．又因?yàn)椤鱀BC的周長(zhǎng)為35 cm，即BD＋DC＋BC＝35 cm，所以BC=15 cm．
11．解：因?yàn)锳B，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，E，所以DA＝DB，EA=EC，所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA十DF＋AE，即為
8、△ADE的周長(zhǎng)．又因?yàn)椤鰽DE的周長(zhǎng)為12 cm，所以BC＝12 cm．
12．解：如圖1－83所示．（1）方法1：設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O，根據(jù)題意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形，∴AO＝，BO＝，∴A，B兩村的距離為AB=AO＋BO＝＋2＝3 （km）．方法2：過(guò)點(diǎn)B作直線l的平行線交AC的延長(zhǎng)線于E，易證四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝2．在Rt△AEB中，由∠A=45°，可得EF＝CA＝3，∴AB＝ （km）．
（2）作法：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)M，N，作直線MN；②直線MN交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
13．解：OE⊥AB證明如下：在△BAC和△ABD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD， AB＝BA，∴△BAC≌△ABD，∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB．又AE＝BE，∴OE⊥AB．
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