《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測(含解析)蘇教版選修2-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測(含解析)蘇教版選修2-1(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1章 常用邏輯用語
[對應(yīng)學(xué)生用書P17]
一、命題及其關(guān)系
1.命題
能判斷真假的陳述句叫命題,感嘆句、疑問句、祈使句、含有未知數(shù)的不等式、方程等語句都不是命題.
2.四種命題
原命題與它的逆命題、否命題之間的真假是不確定的,而原命題與它的逆否命題(或它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致的,即同真同假.
正是因為原命題與逆否命題的真假一致,所以對某些命題的證明可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題.
二、充分條件、必要條件與充要條件
關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定,實際上是對命題真假的判定:
若“p?q”,且“p ?/ q”,則p是q的“充分不必要條件”,同時
2、q是p的“必要不充分條件”;
若“p?q”,則p是q的“充要條件”,同時q是p的“充要條件”;
若“p ?/ q”,則p是q的“既不充分也不必要條件”,同時q是p的“既不充分也不必要條件”.
三、邏輯聯(lián)結(jié)詞
1.“且”“或”“非”這些詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞,不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題,由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題有“p∨q”“p∧q”“綈p”三種形式.
2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷:“p∨q”中有真為真,“p∧q”有假為假,綈p與p真假相反.
3.注意命題的否定與否命題的區(qū)別.否命題既否定條件又否定結(jié)論;而命題的否定只否定結(jié)論.
四、全稱命題和存在性命題
1.全稱命題“?
3、x∈M,p(x)”強調(diào)命題的一般性,因此,
(1)要證明它是真命題,需對集合M中每一個元素x,證明p(x)成立;
(2)要判斷它是假命題,只要在集合M中找到一個元素x,使p(x)不成立即可.
2.存在性命題“?x∈M,p(x)”強調(diào)結(jié)論的存在性,因此,
(1)要證明它是真命題,只需在集合M中找到一個元素x,使p(x)成立即可.
(2)要判斷它是假命題,需對集合M中每一個元素x,證明p(x)不成立.
五、含有一個量詞的命題的否定
1.全稱命題的否定一定是存在性命題.
p:?x∈M,p(x)成立;
綈p:?x∈M,綈p(x)成立.
2.存在性命題的否定一定是全稱命題.
p:?
4、x∈M,p(x)成立;
綈p:?x∈M,綈p(x)成立.
3.含有一個量詞的命題的否定首先要改變量詞,把全稱量詞改為存在量詞;把存在量詞改為全稱量詞,然后再把判斷詞加以否定.
(時間120分鐘,滿分160分)
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分.將答案填在題中的橫線上)
1.命題:“若ab=0,則a=0或b=0”的逆否命題是____________________________.
答案:若a≠0且b≠0,則ab≠0
2.命題“?x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是___________________________________.
解析:原命題是全稱
5、命題,其否定是存在性命題.
答案:?x∈R,x2-2x+1<0
3.設(shè)a∈R,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的________條件.
解析:l1與l2平行的充要條件是a(a+1)=2×1,且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1∥l2的充分不必要條件.
答案:充分不必要
4.已知命題p:所有有理數(shù)都是實數(shù),命題q:正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù).則下列命題中為真命題的是________(填所有真命題的序號).
①(綈p)∨q;②p∧q;③p∨q;④(綈p)∨(綈q).
解析:命題p真,命題q假,因此綈p假,綈q真,
6、①是假命題,②假命題,③真命題,④真命題.
答案:③④
5.下列命題:①“全等三角形的面積相等”的逆命題;②“正三角形的三個角均為60°”的否命題;③“若k<0,則方程x2+(2k+1)x+k=0必有兩相異實數(shù)根”的逆否命題.其中真命題的個數(shù)是________個.
解析:顯然①假,②真,對于③,當k<0時,Δ=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,故③為真.
答案:2
6.(上海高考改編)錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的________條件.
解析:便宜?沒好貨,等價于其逆否命題,好貨?不便宜,∴“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.
答案:必要
7、不充分
7.(湖南高考改編)“10的等差
8、數(shù)列{an}的四個命題:
p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;
p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;
p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列.
其中的真命題為________.
解析:設(shè)an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是遞增數(shù)列,所以p1為真命題;若an=3n-12,則滿足已知,但nan=3n2-12n并非遞增數(shù)列,所以p2為假命題;若an=n+1,則滿足已知,但=1+是遞減數(shù)列,所以p3為假命題;由于an+3nd=4dn+a1-d,它是遞增數(shù)列,所以p4為真命題.
答案:p1,p4
10.命題p:任意兩個等邊三角形都是相似的.
①它的否定是_____
9、___________________________________________________;
②否命題是__________________________________________________________.
答案:①存在兩個等邊三角形不相似
②如果兩個三角形不都是等邊三角形,那么它們不相似
11.已知命題p:不等式|x-1|>m的解集是R,命題q:f(x)=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),若命題“p或q”為真,命題“p且q”為假,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析:命題p:m<0,命題q:m<2.
∵p與q一真一假,
∴或解得0≤m<2.
答
10、案:[0,2)
12.下列結(jié)論中正確命題的個數(shù)是________.
①命題p:“?x∈R,x2-2≥0”的否定形式為綈p:“?x∈R,x2-2<0”;
②若綈p是q的必要條件,則p是綈q的充分條件;
③“M >N”是“()M>()N”的充分不必要條件.
解析:對于①,易知是正確的;對于②,由綈p是q的必要條件知:q?綈p則p?綈q,即p是綈q的充分條件,正確;對于③,由M>N不能得知()M>()N,因此③是錯誤的.綜上所述,其中正確的命題個數(shù)是2.
答案:2
13.從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中,選出適當?shù)囊环N填空:
(1)記集合A
11、={-1,p,2},B={2,3},則“p=3”是“A∩B=B”的_____________;
(2)“a=1”是“函數(shù)f(x)=|2x-a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的________________.
解析:(1)當p=3時,A={-1,2,3},此時A∩B=B;若A∩B=B,則必有p=3.因此“p=3”是“A∩B=B”的充要條件.
(2)當a=1時,f(x)=|2x-a|=|2x-1|在上是增函數(shù);但由f(x)=|2x-a|在區(qū)間上是增函數(shù)不能得到a=1,如當a=0時,函數(shù)f(x)=|2x-a|=|2x|在區(qū)間上是增函數(shù).因此“a=1”是“函數(shù)f(x)=|2x-a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分
12、不必要條件.
答案:(1)充要條件 (2)充分不必要條件
14.已知命題p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命題q:“?x∈R,x2+4x+a=0”,若上述兩個命題都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為________.
解析:由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x∈R,x2+4x+a=0,得Δ=42-4a≥0,解得a≤4,從而a的取值范圍為[e,4].
答案:[e,4]
二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分14分)寫出下列命題的否定,并判斷其真假:
(1)p:末位數(shù)字為9的整數(shù)能被3整除;
(2)p:有的素
13、數(shù)是偶數(shù);
(3)p:至少有一個實數(shù)x,使x2+1=0;
(4)p:?x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
解:(1)綈p:存在一個末位數(shù)字為9的整數(shù)不能被3整除.綈p為真命題.
(2)綈p:所有的素數(shù)都不是偶數(shù).因為2是素數(shù)也是偶數(shù),故綈p為假命題.
(3)綈p:對任意的實數(shù)x,都有x2+1≠0.綈p為真命題.
(4)綈p:?x0,y0∈R,x+y+2x0-4y0+5≠0.
綈p為真命題.
16.(本小題滿分14分)把下列各命題作為原命題,分別寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題.
(1)若α=β,則sin α=sin β;
(2)若對角線相等,則梯形為等腰梯形;
14、
(3)已知a,b,c,d都是實數(shù),若a=b,c=d,則a+c=b+d.
解:(1)逆命題:若sin α=sin β,則α=β;
否命題:若α≠β,則sin α≠sin β;
逆否命題:若sin α≠sin β,則α≠β.
(2)逆命題:若梯形為等腰梯形,則它的對角線相等;否命題:若梯形的對角線不相等,則梯形不是等腰梯形;
逆否命題:若梯形不是等腰梯形,則它的對角線不相等.
(3)逆命題:已知a,b,c,d都是實數(shù),若a+c=b+d,則a=b,c=d;
否定題:已知a,b,c,d都是實數(shù),若a≠b或c≠d,則a+c≠b+d;
逆否命題:已知a,b,c,d都是實數(shù),若a+c≠b+
15、d,則a≠b或c≠d.
17.(本小題滿分14分)已知p:2x2-9x+a<0,q:且綈p是綈q的充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
解:由
得即2<x<3.
∴q:2<x<3.
設(shè)A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3},
∵綈p?綈q,∴q?p.∴B?A.
即2<x<3滿足2x2-9x+a<0.
設(shè)f(x)=2x2-9x+a,
要使2<x<3滿足不等式2x2-9x+a<0,
需有即
∴a≤9.
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤9}.
18.(本小題滿分16分)設(shè)有兩個命題:p:關(guān)于x的不等式x2+2x-4-a≥0對一切x∈R恒成立;q:已知a≠0,a≠±
16、1,函數(shù)y=-|a|x在R上是減函數(shù),若p∧q為假命題,p∨q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
解:∵不等式x2+2x-4-a≥0對x∈R恒成立,
∴x2+2x-4≥a對x∈R恒成立,
令y=x2+2x-4,
∴ymin=-5,∴a≤-5,
∴命題p即為p:a≤-5,
函數(shù)y=-|a|x(a≠0,a≠±1)在R上是減函數(shù),
∴|a|>1,∴a>1或a<-1,
∵p∧q為假,p∨q為真,
∴p,q一真一假,
∴或
∴-51.
即實數(shù)的取值范圍是(-5,-1)∪(1,+∞).
19.(本小題滿分16分)已知p:≤2;q:x2-2x+1≤m2(m>0).若綈p
17、是綈q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.
解:法一:由x2-2x+1≤m2(m>0),
得1-m≤x≤1+m.
∴綈q:A={x|x<1-m或x>1+m,m>0}.
由≤2,得-2≤x≤10.
∴綈p:B={x|x<-2或x>10}.
∵綈p是綈q的必要不充分條件,且m>0,
∴AB.
∴
解得m≥9.
注意到當m≥9時,③中等號成立,而②中等號不成立.∴實數(shù)m的取值范圍是.
法二:∵綈p是綈q的必要不充分條件
∴q是p的必要不充分條件
∴p是q的充分不必要條件
∴CD,
又∵p:C={x|-2≤x≤10},
q:D={x|1-m≤x≤1+m,m>0},
∴ 解得m≥9.
故實數(shù)m的取值范圍是.
20.(本小題滿分16分)已知命題p:不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,命題q:sin x+cos x>m.如果對于任意的x∈R,命題p是真命題且命題q為假命題,求m的范圍.
解:對于命題p:
(1)當m-1=0時,原不等式化為2>0恒成立,滿足題意.
(2)當m-1≠0時,只需
得1m是假命題,則m≥.綜上,m的取值范圍是[,9).
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