2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質 單元質量測評 新人教A版必修第一冊

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1、第三章　單元質量測評 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1.函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A.(1，＋∞) B．[1，＋∞) C.[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　根據(jù)題意有解得x≥1且x≠2. 2.函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是(　　) A.[1,6] B．[－3,1] C.[－3,6] D．[－3，＋∞) 答案　C

2、 解析　因為f(x)＝(x－2)2－3，函數(shù)在[2，＋∞)上單調遞增，又f(2)＝－3，f(5)＝6，所以x∈[2,5]的值域是[－3，6]. 3.函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是(　　) 答案　B 解析　因為f(x)＝|x－1|＝由分段函數(shù)的作圖方法可知B正確. 4.已知A，B兩地相距150 km，某人開汽車以60 km/h的速度從A地到達B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x表示為時間t h的函數(shù)表達式是(　　) A.x＝60t＋50t(0≤t≤6.5) B.x＝ C.x＝ D.x＝ 答案　D 解析　由題意，得A，B兩地相距

3、150 km，某人開汽車以60 km/h的速度從A地到達B地需2.5 h，以50 km/h的速度由B地返回A地需3 h． 所以當0≤t≤2.5時，x＝60t；當2.5

4、 D.函數(shù)f(x)＝－x＋1是增函數(shù) 答案　A 解析　函數(shù)f(x)在上單調遞增，A正確；函數(shù)f(x)＝－x2在[0，＋∞)上單調遞減，B錯誤；函數(shù)f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調遞減，C錯誤；函數(shù)f(x)＝－x＋1是減函數(shù)，D錯誤．故選A. 7.已知冪函數(shù)y＝(a2－2a－2)xa在實數(shù)集R上單調，那么實數(shù)a等于(　　) A.－1或3 B．1 C．－3 D．3 答案　D 解析　由冪函數(shù)的定義可知a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1.當a＝3時，y＝x3，滿足在實數(shù)集R上單調；當a＝－1時，y＝x－1，不滿足在實數(shù)集R上單調．∴a＝3.故選D. 8.函數(shù)f(x

5、)是定義在R上的奇函數(shù)且單調遞減，若f(2－a)＋f(4－a)<0，則a的取值范圍是(　　) A.a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3 答案　B 解析　因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且單調遞減，又由f(2－a)＋f(4－a)<0，得f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)，所以2－a>a－4，即a<3.故選B. 9.設函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調遞減．若x1<0，且x1＋x2>0，則(　　) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)＝f(x2) C.f(x1)

6、∵x1<0且x1＋x2>0，∴－x2f(x1)． 而函數(shù)f(x)又是偶函數(shù)，∴f(－x2)＝f(x2)． ∴f(x1)

7、x≤2.5時， S△APM＝×1×＝－x＋. ∴y＝f(x)＝ 再結合圖象知應選A. 11.某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：(1)如果不超過200元，則不給予優(yōu)惠；(2)如果超過200元但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；(3)如果超過500元，其500元內的按第(2)條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠．某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設他一次性購買上述兩次同樣的商品，則應付款是(　　) A.413.7元 B．513.7元 C.546.6元 D．548.7元 答案　C 解析　由題意易知，付款168元的沒有任何優(yōu)惠，付款423元的

8、是按照9折優(yōu)惠，所以購物款數(shù)為423×＝470元，所以此人實際上買了168＋470＝638元的商品，若一次購買，應付款500×0.9＋138×0.7＝546.6元．故選C. 12.已知函數(shù)f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝則(　　) A.F(x)的最大值為3，最小值為1 B.F(x)的最大值為2－，無最小值 C.F(x)的最大值為7－2，無最小值 D.F(x)的最大值為3，最小值為－1 答案　C 解析　由F(x)＝知，當3－2|x|≥x2－2x，即當2－≤x≤時，F(xiàn)(x)＝x2－2x；當x2－2x>3－2|x|，即當x<2－或x>時，F(xiàn)(x)＝3－2|x|，

9、因此F(x)＝ ＝作出其圖象如圖所示， 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)(x)max＝F(2－)＝7－2，無最小值，故選C. 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上) 13.函數(shù)f(x)＝的單調遞減區(qū)間是________． 答案　[－1,1] 解析　由題意，得－x2－2x＋3≥0.解得－3≤x≤1； 設t＝－x2－2x＋3，y＝f(x)， 則y＝為增函數(shù)； 所以t＝－x2－2x＋3在[－3,1]上的單調遞減區(qū)間，便是f(x)在[－3,1]上的單調遞減區(qū)間； t＝－x2－2x＋3的對稱軸為x＝－1； 所以f(x)的單

10、調遞減區(qū)間為[－1,1]. 14.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,10]上單調遞增，在區(qū)間[3,9]上的最大值為6，最小值為－2，則2f(－9)＋f(－3)＝________. 答案　－10 解析　因為函數(shù)在區(qū)間[3,10]上單調遞增，所以在區(qū)間[3,9]上單調遞增． 所以函數(shù)在區(qū)間[3,9]上的最小值為f(3)＝－2， 最大值為f(9)＝6. 又因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝2， f(－9)＝－f(9)＝－6. 所以2f(－9)＋f(－3)＝2×(－6)＋2＝－10. 15.已知函數(shù)f(x)為定義在[2－a,3]上的偶函數(shù)，在[0,3]上單調遞減，并且f>

11、f(－m2＋2m－2)，則m的取值范圍是________． 答案　 解析　由偶函數(shù)的定義可得2－a＋3＝0， 則a＝5， 因為m2＋1>0，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0， 且f(－m2－1)＝f(m2＋1)，f(－m2＋2m－2)＝f(m2－2m＋2)， 所以m2＋1x，即－

12、2

13、象得出，f(x)的最大值為2，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[2,4]． 18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－1. (1)若f(1)＝2，求實數(shù)a的值，并求此時函數(shù)f(x)的最小值； (2)若f(x)為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值； (3)若f(x)在(－∞，4]上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由題意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1， 此時函數(shù)f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2， 故當x＝－1時，函數(shù)f(x)min＝－2. (2)若f(x)為偶函數(shù)，則有對任意x∈R， f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax

14、－1，即4ax＝0，故a＝0. (3)函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－1的單調遞減區(qū)間是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上單調遞減， ∴4≤－a，即a≤－4， 故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]. 19.(本小題滿分12分)已知f(x)＝是奇函數(shù)，且f(2)＝. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上的單調性，并加以證明． 解　(1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－，解得b＝0. 又f(2)＝，∴＝，∴a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝＋，則f(x)在(－∞，－1]上單調遞增． 證明：設x1

15、)－f(x2)＝(x1－x2)·. ∵x11,1－>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

16、4. (2)函數(shù)f(x)圖象的對稱軸是x＝，要使f(x)在[－1,0]上單調遞減，應滿足≤－1，解得m≤－2. (3)①當≤2，即m≤4時，f(x)在[2,3]上遞減． 若存在實數(shù)m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，則即此時m無解． ②當≥3，即m≥6時，f(x)在[2,3]上遞增，則即解得m＝6. ③當2<<3，即4

17、定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為 W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)＝x2＋x(萬元)．在年產量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋－38(萬元)．每件產品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完． (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本) (2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ 解　(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元， 依題意得，當0

18、， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 當x≥8時，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)當0

19、＋∞)，求F(x)的解析式； (2)在(1)的條件下，當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍； (3)設mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)為偶函數(shù)，判斷F(m)＋F(n)能否大于零？并說明理由． 解　(1)因為f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.① 又函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)，所以a>0. 由f(x)＝a2＋，知＝0， 即4a－b2＝0.② 聯(lián)立①②，解得a＝1，b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2， 于是F(x)＝ (2)由(1)，得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝2＋1－. 因為當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數(shù)， 所以－≤－2或－≥2，即k≤－2或k≥6. 所以實數(shù)k的取值范圍為(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)因為f(x)為偶函數(shù)，所以b＝0， 所以f(x)＝ax2＋1， 所以F(x)＝ 不妨設m>n，則m>0，n<0，且|m|>|n|. 又a>0，所以F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－(an2＋1)＝a(m2－n2)>0， 所以F(m)＋F(n)能大于零. - 10 -