2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 章末綜合檢測（四）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 新人教A版必修第一冊

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1、章末綜合檢測（四） 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) A卷——學(xué)業(yè)水平考試達(dá)標(biāo)練 (時(shí)間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．計(jì)算27×7－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　) A．20　　　　　　　　 　B．21 C．9 D．11 解析：選B　原式＝(33)×2＋3＋2－(lg 4＋lg 25)＝21. 2．下列函數(shù)中定義域與值域相同的是(　　) A．f(x)＝2 B．f(x)＝lg C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：選C　A中，定義域?yàn)?0，＋∞)

2、，值域?yàn)?1，＋∞)；B中，定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽；C中，由2x≥1，得x≥0，所以定義域與值域都是[0，＋∞)；D中，由lg x≥0，得x≥1，所以定義域?yàn)閇1，＋∞)，值域?yàn)閇0，＋∞)．選C. 3．下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　) A．豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈，從發(fā)射開始到信號(hào)彈到達(dá)最高點(diǎn)，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系(不計(jì)空氣阻力) B．我國人口年自然增長率為1%時(shí)，我國人口總數(shù)與年份的關(guān)系 C．如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km，那么此人騎車的平均速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系 D．信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系 解析：

3、選B　A中的函數(shù)模型是二次函數(shù)；B中的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)；C中的函數(shù)模型是反比例函數(shù)；D中的函數(shù)模型是一次函數(shù)．故選B. 4．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因?yàn)閒＝e－2<0，f＝e－1>0，所以ff<0，又函數(shù)y＝ex是單調(diào)增函數(shù)，y＝4x－3也是單調(diào)增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3是單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)在內(nèi)． 5．函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)與g(x)＝－x＋a的圖象大致是(　　) 解析：選A　∵g(x)＝－x＋a是R上的減

4、函數(shù)，∴排除選項(xiàng)C、D.由選項(xiàng)A、B的圖象知，a>1. ∵g(0)＝a>1，故選A. 6．(2019·全國卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a(chǎn)1,0c>a. 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是(　　) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：選D　當(dāng)x≤1時(shí)，由21－x≤2，得1－x≤1，即x≥0， ∴0≤x≤1.

5、 當(dāng)x>1時(shí)，由1－log2x≤2，得log2x≥－1， 即x≥，∴x>1. 綜上，滿足f(x)≤2的x的取值范圍是[0，＋∞)． 8．(2018·河北定州中學(xué)高一上期末)函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)u＝－x2＋x＋2， 則u＝－2＋. 則u＝－x2＋x＋2在上遞增， 在上遞減， 又y＝u是減函數(shù)， 故y＝的單調(diào)遞增區(qū)間為. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上) 9．已知奇函數(shù)f(x)＝＋a(a≠0)，則方程f(x)＝的解x＝________. 解析：由f(x)是奇函數(shù)知f(

6、x)＋f(－x)＝0， 即＋a＋＋a＝0，化簡得2a－1＝0， 解得a＝，因此f(x)＝＋， 依題意得＋＝，即3x＝4， 解得x＝log34. 故f(x)＝的解x＝log34. 答案：log34 10．一種專門侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2 KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過________分鐘，該病毒占據(jù)64 MB內(nèi)存(1 MB＝210KB)． 解析：設(shè)開機(jī)后經(jīng)過n個(gè)3分鐘后，該病毒占據(jù)64 MB內(nèi)存， 則2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，故時(shí)間為15×3＝45(分鐘)． 答案：45 11．給出下列函數(shù)：①y

7、＝x2＋1；②y＝－|x|；③y＝|x|；④y＝log2x. (1)是定義在R上的偶函數(shù)； (2)對任意x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，有<0.其中同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的函數(shù)是________(填序號(hào))． 解析：由題意，得所給的四個(gè)函數(shù)中既是定義在R上的偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)的是②③. 答案：②③ 12．設(shè)0≤x≤2，則函數(shù)y＝4－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________． 解析：y＝4－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5. 令t＝2x，x∈[0,2]，則1≤t≤4， 于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4. 當(dāng)

8、t＝3時(shí)，ymin＝； 當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝×(1－3)2＋＝. 答案：　 三、解答題(本大題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 13．(8分)計(jì)算下列各式的值： (1)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)； (2)－(－6.9)0－＋－2. 解：(1)原式＝log33＋lg(25×4)－log24＝＋2－2＝. (2)原式＝－1－＋＝－1－＋＝. 14．(10分)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，當(dāng)點(diǎn)(x，y)是函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)是函數(shù)g(x)圖象上的點(diǎn)． (1)寫出函數(shù)g(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)2g

9、(x)－f(x)≥0時(shí)，求x的取值范圍． 解：(1)令x′＝，y′＝， 把x＝3x′，y＝2y′代入y＝log2(x＋1)， 得y′＝log2(3x′＋1)， ∴g(x)＝log2(3x＋1)． (2)2g(x)－f(x)≥0， 即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0， ∴解得x≥0， 故x的取值范圍為[0，＋∞)． 15．(10分)已知函數(shù)f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點(diǎn)． (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為－4，求實(shí)數(shù)m的值． 解：(1)當(dāng)m＋6＝0時(shí)，函數(shù)為f(x)＝－14x－5，顯然有零點(diǎn)；

10、 當(dāng)m＋6≠0時(shí)，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36 m－20≥0，得m≤－， ∴當(dāng)m≤－，且m≠－6時(shí)，函數(shù)f(x)有零點(diǎn)． 綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為. (2)由題目條件知m＋6≠0，設(shè)x1，x2(x1≠x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)， 則有x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵＋＝－4，即＝－4， ∴－＝－4，解得m＝－3. 又當(dāng)m＝－3時(shí)，Δ>0，符合題意， ∴m＝－3. 16．(12分)某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元

11、，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？ 解：(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115， 令50x－115＞0，解得x＞2.3， ∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z. 當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68

12、x＋115＜0，結(jié)合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z. ∴f(x)＝ (2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185； 對于y＝－3x2＋68x－115 ＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)， 當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270. ∵270＞185，∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多． B卷——高考應(yīng)試能力標(biāo)準(zhǔn)練 (時(shí)間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A．(1,2)　　　　　　　　

13、 　B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2] 解析：選A　由題意得解得1

14、 B．y＝log3x＋1.5 C．y＝2x－1 D．y＝2 解析：選B　由表可知y隨x的增大而增大，最后趨于平緩，符合對數(shù)型函數(shù)模型，故選B. 3．給出下列等式：①＝a3，②＝a2，③a＝，④a＝a，⑤logab2＝2logab，⑥lg a·lg b＝lg(a＋b)，其中一定成立的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　①中，＝＝|a3|，不一定等于a3；②中，＝＝a2，成立；③中，a＝，不一定等于；④中，a＝＝＝a，成立；⑤中，當(dāng)b<0時(shí)，logab無意義，故⑤不一定成立；⑥中，若a＝b＝10，則lg a·lg b＝lg 10·lg 10＝1

15、，lg(a＋b)＝lg 20＝1＋lg 2，lg a·lg b≠lg(a＋b)，故⑥不一定成立．故選B. 4．四個(gè)數(shù)2.40.8,3.60.8，log0.34.2, log0.40.5的大小關(guān)系為(　　) A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2 B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5 C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2 D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2 解析：選D　∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.

16、40.8>1. ∵log0.34.22.40.8> log0.40.5>log0.34.2. 5．函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3，當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． 6．(2018·湛江一中期末考試)函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)?　　) A．(e，＋∞) B．(－∞，e) C．(－∞，－e) D．(

17、－e，＋∞) 解析：選B　當(dāng)x≥1時(shí)，logx≤0，當(dāng)x<1時(shí)，00，可排除B；當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝－ln 3<0，故可排除C、D.故選A. 8．(2019·全國卷Ⅱ)若a>b，則(　　) A．ln(a－b)>0 B．3a<3b C．a(chǎn)3－b3>0 D．|a|>|b| 解析：選C　法一：不妨設(shè)a＝－1，b＝－2，則a>b，可驗(yàn)證A、B、D錯(cuò)誤，只有C正確． 法二：由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，則l

18、n(a－b)>0不一定成立，故A不一定成立． 因?yàn)閥＝3x在R上是增函數(shù)，當(dāng)a>b時(shí)，3a>3b，故B不成立． 因?yàn)閥＝x3在R上是增函數(shù)，當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立． 因?yàn)楫?dāng)a＝3，b＝－6時(shí)，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．故選C. 9．設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>0，則，，的大小關(guān)系不可能是(　　) A.<< B.＝＝ C.<< D.<< 解析：選D　設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝k>0， 可得x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1. ∴＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1. ①若0<

19、k<1，則函數(shù)f(x)＝xk－1單調(diào)遞減， ∴>>； ②若k＝1，則函數(shù)f(x)＝xk－1＝1，∴＝＝； ③若k>1，則函數(shù)f(x)＝xk－1單調(diào)遞增， ∴<<. ∴，，的大小關(guān)系不可能是D. 10．如果一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)與一個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“好點(diǎn)”．在下面的五個(gè)點(diǎn)M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G中，可以是“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　設(shè)指數(shù)函數(shù)為y＝ax(a>0，且a≠1)，顯然其圖象不過點(diǎn)M，P；設(shè)對數(shù)函數(shù)為y＝logbx(b>0，且b≠1)，顯然其圖象不過點(diǎn)N.故選C.

20、 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上) 11．函數(shù)y＝loga(2x－3)＋8的圖象恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(3)＝________. 解析：由題意得定點(diǎn)A為(2,8)，設(shè)f(x)＝xα，則2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27. 答案：27 12．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c由小到大的順序?yàn)開_______． 解析：在同一坐標(biāo)系中同時(shí)畫出函數(shù)y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－x的圖象，根據(jù)交點(diǎn)可知a

21、 答案：a1，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，y>1>0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logax在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，最小值為loga2，所以loga2>1＝logaa，所以1

22、(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)． 答案：(0,2) 三、解答題(本大題共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(8分)(2018·天津和平區(qū)高一模擬)計(jì)算： (1)log525＋lg＋ln＋2； (2)0.5＋(－3)－1÷0.75－2－. 解：(1)log525＋lg＋ln＋2＝2＋(－2)＋＋1＝. (2)0.5＋(－3)－1÷0.75－2－＝－÷－＝－－＝0. 16．(10分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋k(a>0，且a≠1)的圖象過點(diǎn)(－1,1)，其反函數(shù)f－1(x)的圖象過點(diǎn)(8,2)． (1)求a，k的值； (2)若將f

23、－1(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，就得到函數(shù)g(x)的圖象，寫出g(x)的解析式． 解：(1)由題意，得解得 (2)由(1)，知f(x)＝2x＋1，得f－1(x)＝log2x－1， 將f－1(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝log2(x＋2)－1的圖象，再向上平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝log2(x＋2)的圖象． 所以g(x)＝log2(x＋2)． 17．(10分)已知函數(shù)y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象上，求b的值． 解：當(dāng)x＋3＝1，即x＝－2時(shí)，對任意的a＞0，且a≠1都有y＝

24、loga1－＝0－＝－，所以函數(shù)y＝loga(x＋3)－的圖象恒過定點(diǎn)A， 若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象上，則－＝3－2＋b，所以b＝－1. 18．(10分)聲強(qiáng)級(jí)L(單位：dB)由公式L＝10lg給出，其中I為聲強(qiáng)(單位： W/m2)． (1)一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)為1 W/m2，能聽到的最低聲強(qiáng)為10－12 W/m2，求人聽覺的聲強(qiáng)級(jí)范圍； (2)在一演唱會(huì)中，某女高音的聲強(qiáng)級(jí)高出某男低音的聲強(qiáng)級(jí)20 dB，請問該女高音的聲強(qiáng)是該男低音聲強(qiáng)的多少倍？ 解：(1)由題知10－12≤I≤1，∴1≤≤1012， ∴0≤lg≤12，∴0≤L≤120， ∴人聽覺的聲

25、強(qiáng)級(jí)范圍是[0,120](單位：dB)． (2)設(shè)該女高音的聲強(qiáng)級(jí)為L1，聲強(qiáng)為I1，該男低音的聲強(qiáng)級(jí)為L2，聲強(qiáng)為I2， 由題知L1－L2＝20， 則10lg－10lg＝20， ∴l(xiāng)g＝2，∴I1＝100I2. 故該女高音的聲強(qiáng)是該男低音聲強(qiáng)的100倍． 19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函數(shù)． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝x＋b有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍． 解：(1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴?x∈R，有f(－x)＝f(x)，∴l(xiāng)og9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx對x∈R恒成立． ∴2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x對x∈R恒成立， ∴(2k＋1)x＝0對x∈R恒成立，∴k＝－. (2)由題意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有實(shí)數(shù)根，即log9(9x＋1)－x＝b有解． 令g(x)＝log9(9x＋1)－x，則函數(shù)y＝g(x)的圖象與直線y＝b有交點(diǎn)．g(x)＝log9(9x＋1) －x＝log9＝log9.∵1＋>1，∴g(x)＝log9>0，∴b的取值范圍是 (0，＋∞)． - 12 -