2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末綜合檢測（四） 新人教A版必修第一冊

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1、章末綜合檢測(四) (時間：120分鐘，滿分：150分) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．若a<，則化簡的結果是(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選C.因為a<，所以2a－1<0. 于是，原式＝＝. 2．已知函數(shù)f(x)＝2x－b的零點為x0，且x0∈(－1，1)，則b的取值范圍是(　　) A．(－2，2) B．(－1，1) C. D．(－1，0) 解析：選A.解方程f(x)＝2x－b＝0，得x0＝，所以∈(－1，1)，即b∈(－2，2)． 3．計算log2 25·log52＝(　　) A．

2、3 B．4 C．5 D．6 解析：選A.log225·log52＝·＝3，故選A. 4．函數(shù)y＝＋lg(5－3x)的定義域是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.由函數(shù)的解析式得 即 所以1≤x<. 5．設a>0，將表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其結果是(　　) A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn) 解析：選C.＝＝＝＝a2·a＝a2＝a. 6．函數(shù)f(x)＝3x－log2(－x)的零點所在區(qū)間是(　　) A. B．(－2，－1) C．(1，2) D. 解析：選B.f(x)＝3x－log2(－x)的定義域為(－∞，0)，所以排除C，D；又f(－2)·f(－1

3、)<0，且f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，故零點在(－2，－1)內(nèi)． 7．設f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù) C．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù) D．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù) 解析：選D.因為f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)． 因為x>0，所以f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故選D. 8．甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示．假設某人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻

4、賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是　(　　) A．40萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．140萬元 解析：選C.要想獲取最大利潤，則甲的價格為6元時，全部買入，可以買120÷6＝20萬份，價格為8元時，全部賣出，此過程獲利20×2＝40萬元；乙的價格為4元時，全部買入，可以買(120＋40)÷4＝40萬份，價格為6元時，全部賣出，此過程獲利40×2＝80萬元，所以共獲利40＋80＝120萬元，故選C. 9．函數(shù)f(x)＝的圖象(　　) A．關于原點對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于x軸對稱 D．關于y軸對稱 解析：選D.因為f(x)＝＝2x＋＝2x＋2－x，

5、所以f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(x)，　 所以f(x)為偶函數(shù)． 所以f(x)的圖象關于y軸對稱． 10．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)log24.1>log24＝2>20.8，且函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以c

6、1)∪[2，4] B．(0，1)∪[2，4] C．[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析：選D.設t＝2x，則t>0，且y＝t2－3t＋3＝＋.因為函數(shù)f(x)＝4x－3·2x＋3的值域為[1，7]， 所以函數(shù)y＝t2－3t＋3的值域為[1，7]． 由y＝1得t＝1或t＝2，由y＝7得t＝4或t＝－1(舍去)，則00，且a≠1)及y＝logbx(b>0，且b≠1)的圖象與線段O

7、A分別交于M，N，且M，N恰好是OA的兩個三等分點，則a，b滿足(　　) A．a(chǎn)a>1 D．a(chǎn)>b>1 解析：選A.因為M，N是OA的兩個三等分點，則M，N，所以得a＝，即a＝，logb＝，即b＝，b＝＝>＝a，且b＝<＝1，即a

8、___． 解析：因為log2m＝2.016，log2n＝1.016， 所以m＝22.016，n＝21.016，所以＝＝. 答案： 15．已知函數(shù)f(x)＝則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________． 解析：當x≤0時， 3x＋1>1?x＋1>0， 所以－10時，log2x>1?x>2， 所以x>2. 綜上所述，x的取值范圍為－12. 答案：(－1，0]∪(2，＋∞) 16．定義：區(qū)間[x1，x2](x1

9、，b]的長度的最大值為________． 解析：畫出函數(shù)y＝|log0.5x|的圖象(如圖所示)， 由0≤|log0.5x|≤2， 得≤x≤4， 所以[a，b]長度的最大值為4－＝. 答案： 三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)計算：(1)－＋＋； (2)lg 500＋lg －lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2. 解：(1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e. (2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋

10、50＝52. 18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)g(x)＝(a＋1)x－2＋1(a>0)的圖象恒過定點A，且點A也在函數(shù)f(x)＝log(x＋a)的圖象上． (1)求實數(shù)a的值； (2)解不等式f(x)0且a≠1)． (1)當a

11、＝2時，f(x)<4，求x的取值范圍； (2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范圍． 解：(1)當a＝2時，f(x)＝23－2x<4＝22，所以3－2x<2，得x>. (2)y＝3－ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減， 當a>1時，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得11，不成立． 綜上，1

12、超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)． (1)寫出獎金y關于銷售利潤x的關系式； (2)如果業(yè)務員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？ 解：(1)由題意知y ＝ (2)由題意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 2log5(x－9)＝4，log5(x－9)＝2， 所以x－9＝52， 解得x＝34. 即老江的銷售利潤是34萬元． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝－. (1)用定義證明函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)； (2)若x∈[1，2]，求函

13、數(shù)f(x)的值域； (3)若g(x)＝＋f(x)，且當x∈[1，2]時，g(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，設x1，x2∈R且x10. 又2x1＋1>0，2x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)． (2)因為f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)， 所以當x ∈[1，2]時，f(x)min＝f(2)＝－，f(x)max＝f(1)＝－. 所以當x∈[1，2]時，f(x)的值域為

14、. (3)由(2)得，當∈[1，2]時，f(x)∈，因為g(x)＝＋f(x)， 所以當x∈[1，2]時，g(x)∈. 因為g(x)≥0在x∈[1，2]上恒成立， 所以－≥0，所以a≥. 22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函數(shù)． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝x＋b有實數(shù)根，求b的取值范圍； 解：(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以?x∈R，有f(－x)＝f(x)，所以log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx對x∈R恒成立． 所以2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)＝log9－log9(9x＋1)＝－x對x∈R恒成立，所以(2k＋1)x＝0對x∈R恒成立，所以k＝－. (2)由題意知，log9(9x＋1)－x＝x＋b有實數(shù)根，即log9(9x＋1)－x＝b有解． 令g(x)＝log9(9x＋1)－x，則函數(shù)y＝g(x)的圖象與直線y＝b有交點． g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9，因為1＋>1，所以g(x)＝log9>0，所以b的取值范圍是(0，＋∞)． - 8 -