2019年高考數(shù)學 專題01 函數(shù)的基本性質(zhì)（第四季）壓軸題必刷題 理

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1、專題01函數(shù)的基本性質(zhì)第四季 1．對于函數(shù)，若存在，使，則稱點是曲線的“優(yōu)美點”，已知，若曲線存在“優(yōu)美點”，則實數(shù)的取值范圍為______. 【答案】 由與聯(lián)立， 可得在有解， 由， 當且僅當時，取得等號， 即有， 則的取值范圍是，故答案為 2．如圖放置的邊長為2的正三角形沿軸滾動, 設(shè)頂點的縱坐標與橫坐標的函數(shù)關(guān)系式是， 有下列結(jié)論: ①函數(shù)的值域是；②對任意的，都有； ③函數(shù)是偶函數(shù)；④函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為. 其中正確結(jié)論的序號是________. (寫出所有正確結(jié)論的序號) 說明: “正三角形沿軸滾動”包括沿軸正方向和沿軸負方向滾動. 沿軸正方向滾動

2、指的是先以頂點為中心順時針旋轉(zhuǎn), 當頂點落在軸上時, 再以頂點為中心順時針旋轉(zhuǎn), 如此繼續(xù). 類似地, 正三角形可以沿軸負方向滾動. 【答案】②③ 【解析】 點運動的軌跡如圖所示. 由圖可知： 的值域為, ①錯； 是一個周期函數(shù),周期為,②正確； 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù), ③正確； 函數(shù)的增區(qū)間為和, ④錯， 故答案為②③. 3．函數(shù)f（x）＝ax｜2x+a｜在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為___． 【答案】{a|a＞0或a＝﹣4} 【解析】 當時，為常數(shù)函數(shù)，不符合題意.當時，由于，故函數(shù)，函數(shù)開口向上，對稱軸為，故函數(shù)在上遞增，符合題意.

3、當時，令，解得.此時，故函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以是的子集，故，解得，故的取值范圍是或. 4．設(shè)a，b∈R，a＜b，函數(shù)g（x）=|x+t|（x∈R），（其中表示對于x∈R，當t∈[a，b]時，表達式|x+t|的最大值），則g（x）的最小值為______ 【答案】（b-a） 當-b＜x＜-，f（a）＞f（b），可得g（x）=f（a）=-a-x； 當-x≤a即x≥-a時，區(qū)間[a，b]為增區(qū)間，可得g（x）=f（b）=b+x． 則g（x）= ， 當x≤-b，g（x）≥b-a； -≤x＜-a時，g（x）≥（b-a）； 當-b＜x＜-，g（x）＞（b-a）； x≥-a時，g（

4、x）≥b-a． 則g（x）的最小值為（b-a）． 故答案為：（b-a）． 5．關(guān)于函數(shù)，下列命題中所有正確結(jié)論的序號是______． ①其圖象關(guān)于軸對稱； ②當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)； ③的最小值是； ④在區(qū)間上是增函數(shù)； 【答案】①③④ 【解析】 函數(shù)，定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故①正確； 令， 函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下： 任取，，且， 則， 因為，，所以， 而，， 所以， 故函數(shù)在上單調(diào)遞減。 同理可以證明函數(shù)在上單調(diào)遞增， 又因為在單調(diào)遞增， 利用復合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上

5、單調(diào)遞增。 由于函數(shù)是偶函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。 的最小值為. 所以②錯誤，③④正確。 綜上正確的結(jié)論是①③④. 6．已知函數(shù)f（x）=x3+lg（+x）+5，若f（a）=3，則f（-a）=______． 【答案】7 【解析】 根據(jù)題意，當x=a時，f（a）=3 代入化簡可得f（a）=a3+lg（+a）+5=3，即a3+lg（+a）=-2 當x=-a時，代入得 f（-a）= (-a)3+lg（-a）+5 =-a3+lg（-a）+5 =-a3++5 =-a3+5 =-[a3] +5 =-[-2] +5=7 7．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是____

6、__． 【答案】 【解析】 函數(shù)， 由函數(shù)y=sinx，y=在[-1，1]內(nèi)都為奇函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在[-1，1]內(nèi)為偶函數(shù)， 由函數(shù)y=sinx，y=在[0，1]內(nèi)都為增函數(shù)，且函數(shù)值均為非負數(shù)，可得函數(shù)f（x）在[0，1]內(nèi)為增函數(shù)， ∵，∴|a-1|， 解得或． 則a的取值范圍是． 故答案為：． 8．某同學在研究函數(shù)?f（x）=（x∈R）?時，分別給出下面幾個結(jié)論： ①等式f（-x）=-f（x）在x∈R時恒成立； ②函數(shù)f（x）的值域為（-1，1） ③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）； ④方程f（x）=x在R上有三個根． 其中正確結(jié)論的序號有

7、______．（請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上） 【答案】①②③ 【解析】 對于①，任取，都有，∴①正確； 對于②，當時，， 根據(jù)函數(shù)的奇偶性知時，， 且時，，②正確； 對于③，則當時，， 由反比例函數(shù)的單調(diào)性以及復合函數(shù)知，在上是增函數(shù)，且； 再由的奇偶性知，在上也是增函數(shù)，且 時，一定有，③正確； 對于④，因為只有一個根， ∴方程在上有一個根，④錯誤． 正確結(jié)論的序號是①②③． 故答案為：①②③． 9．已知函數(shù)f（x）=（x∈（-1，1）），有下列結(jié)論： （1）?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立； （2）?m∈[0，+

8、∞），方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根； （3）?x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）； （4）存在無數(shù)多個實數(shù)k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三個零點 則其中正確結(jié)論的序號為______． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 （1）因為f（x）=（x∈（-1，1））， 所以f（-x）= 即函數(shù)為奇函數(shù)， 所以f（-x）+f（x）=0在x∈（-1，1）恒成立．所以（1）正確； （2）因為f（x）=（x∈（-1，1））為奇函數(shù)， 所以|f（x）|為偶函數(shù)， 當x=0時，|f（0）|=0， 所以當m=0時，方程

9、|f（x）|=m只有一個實根，不滿足題意，所以（2）錯誤． 故x∈[0，1）時，f（x）f（0）=0， 因為函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)， 所以當x∈[-1，0）時，f（x）單調(diào)遞增，且f（x）f（0）=0， 綜上可知，函數(shù)f（x）=在（-1，1）上單調(diào)遞增， 即?x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）成立，故（3）正確. （4）由g（x）=f（x）-kx=0，即， 當x=0時，顯然成立，即x=0是函數(shù)的一個零點， 當x∈（0，1）時，，解得，令，解得 即（）是函數(shù)的一個零點， 由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+k

10、x=-（f（x）-kx）=- g（x）， 即g（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)， 故在區(qū)間（-1，0）上一定存在（）是函數(shù)的另一個零點， 所以（4）正確 故（1），（3），（4）正確． 故答案為：（1），（3），（4） 10．對于三次函數(shù)，現(xiàn)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導數(shù)， 是的導數(shù)，若方程=0有實數(shù)解，則稱點(，)為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)，則____. 【答案】 【解析】 依題意得，，令，得， 函數(shù)的對稱中心為，則， ， ， 故答案為. 11．已知函數(shù)與都是定義在上的

11、奇函數(shù)， 當時，，則（4）的值為____． 【答案】2 【解析】 根據(jù)題意，f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于點（﹣1，0）對稱， 則有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x）， 又由f（x）也R上的為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0； 則有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2）， 則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)， 則f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，則f（）＝2， f（4）＝f（0）＝0， 故f（）+f（4）＝2+0＝2； 故答案為：2． 12．已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則__________． 【答案】

12、3或 【解析】當時， = 函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù)的 圖像可知函數(shù)的最大值是. 令，經(jīng)檢驗，a=3滿足題意. 令，經(jīng)檢驗a=5或a=1都不滿足題意. 令，經(jīng)檢驗不滿足題意. 當時，, 函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù)的圖像得函數(shù)的最大值是. 當時，, 函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù)的圖像可知函數(shù)的最大值是. 令， 令,所以. 綜上所述，故填3或. 13．已知,函數(shù)在上的最大值為,則__________. 【答案】或 【解析】 由題可知且使得等號成立， 等價于恒成立且等號至少取到1處 所以 若 則,或 所以或 可得或 若 則 所以 則 綜上所訴：由于

13、所以或 故答案為：或 14．函數(shù)在上的所有零點之和等于______. 【答案】8 【解析】 零點即 ，所以 即，畫出函數(shù)圖像如圖所示 函數(shù)零點即為函數(shù)圖像的交點，由圖可知共有8個交點 圖像關(guān)于 對稱，所以各個交點的橫坐標的和為8 15．已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，當時，，若集合，則實數(shù)的取值范圍是______. 【答案】 【解析】 若=?， 則等價為f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立， 當x≥0時． 若a≤0， 則當x≥0時， ， ∵f（x）是奇函數(shù)， ∴若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-x=-f（x）， 則f（x

14、）=x，x＜0， 綜上f（x）=x，此時函數(shù)為增函數(shù)，則f（x-1）f（x）恒成立； 若a＞0， 若0≤x≤a時， ； 當a＜x≤2a時， ； 當x＞2a時， ．即當x≥0時，函數(shù)的最小值為-a， 由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)， 當x＜0時，f（x）的最大值為a， 作出函數(shù)的圖象如圖： 由于?x∈R，f（x-1）f（x）， 故函數(shù)f（x-1）的圖象不能在函數(shù)f（x）的圖象的上方， 結(jié)合圖可得 ，即6a2，求得0＜a ， 綜上a ， 故答案為： 16．定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是______． 【答案】 【解

15、析】 設(shè) 則 又因為對任意實數(shù)x，有 所以 所以為減函數(shù) 因為定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)定義可知 =0，即 不等式 所以，同時除以 得，即 因為為減函數(shù) 所以 ，即不等式的解集為 17．定義在上的函數(shù)滿足：對，都有，當時，，給出如下結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是： ____.①對，有； ②函數(shù)的值域為； ③存在，使得； 【答案】①② 【解析】 因為,所以①對; 因為當時，，當時，， 當時，， 當時，， 因此當時，， 從而函數(shù)的值域為；所以②對; 因為，所以由上可得, 即，無解.所以③錯； 綜上正確結(jié)論的序號是①② 18．時，恒成立

16、，則的取值范圍是_________________________ 【答案】 【解析】 當時，函數(shù)的圖象如下圖所示： 因為對于任意，總有恒成立， 則的圖象恒在的上方 因為與的圖象相交于 時 代入對數(shù)函數(shù)，求得 所以此時a的取值范圍為 19．已知定義域為的函數(shù)滿足：對任何，都有，且當時，，在下列結(jié)論中，正確命題的序號是________ ① 對任何，都有；② 函數(shù)的值域是； ③ 存在，使得；④ “函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條 件是“存在，使得”； 【答案】①②③④ 對于③，x∈（1，3]時，f（x）=3-x， 對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（

17、x）成立，n∈Z， 所以 解得n=2，∴③正確； 對于④，令則 所以 ∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b））?（3k，3k+1）上單調(diào)遞減，④正確； 綜上所述，正確結(jié)論的序號是①②③④． 故答案為：①②③④． 20．定義函數(shù)，，其中，符號表示數(shù)中的較大者，給出以下命題： ①是奇函數(shù)； ②若不等式對一切實數(shù)恒成立，則 ③時，最小值是2450 ④“”是“”成立的充要條件 以上正確命題是__________．（寫出所有正確命題的序號） 【答案】② 【解析】 函數(shù)等價于，.這是一個偶函數(shù)，故命題①錯誤.對于命題②，不等式等價于，即由于，故，所以，故命題②是真命題.對于③，當時，，兩式相加得，而，，以此類推，可得.故③為假命題.對于④，，即，這對任意的都成立，故不是它的充要條件.命題④錯誤.故填②. 19