《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第3講 平面向量練習(xí) 理（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 平面向量
專題復(fù)習(xí)檢測
A卷
1．已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，則λ＝( )
A．3 B．－3
C． D．－
【答案】B
2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
【答案】D
3．在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為( )
A． B．2
C．5 D．10
【答案】C
4．(2019年山東模擬)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a在b方向上的投影為( )
A．1 B．
2、
C． D．
【答案】D
【解析】由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向上的投影為|a|cos 〈a，b〉＝＝＝.故選D．
5．(2019年湖南懷化模擬)在△ABC中，D為BC上一點，E是AD的中點，若＝λ，＝＋μ，則λ＋μ＝( )
A． B．－
C． D．－
【答案】B
【解析】如圖所示，由＝λ，可得－＝λ(－)，則＝＋.又E是AD的中點，所以＝＋＝－＋＝＋.又＝＋μ，AB，AC不共線，所以＝，＝μ，解得λ＝，μ＝－，則λ＋μ＝－.故選B．
6．(2017年新課標Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a
3、|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.
【答案】2
【解析】|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.
7．(2019年新課標Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，則cos 〈a，c〉＝________.
【答案】
【解析】a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，則
|c|＝3.所以cos 〈a，c〉＝＝.
8．(2018年內(nèi)蒙古呼和浩特一模)在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，滿足|－t|≤||的實數(shù)t的取值范圍是
4、________．
【答案】
【解析】由題意，得AC＝1，cos〈，〉＝＝＝.由|－t|≤||，得2－2t||||cos〈，〉＋t22≤32，即3－2t×2×＋4t2≤3，解得0≤t≤.
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.
(1)求|a＋b|的值；
(2)當(a＋2b)⊥(ka－b)時，求k的值．
【解析】(1)由已知，得a·b＝4×8×＝－16，
∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a＋b|＝4.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0.
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0
5、，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
10．已知向量a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，函數(shù)f(x)＝a·b.
(1)把函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當a≠0，a與b共線時，求f(x)的值．
【解析】(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
∴g(x)＝sin＋1
＝sin＋1.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k
6、∈Z.
(2)∵a≠0，a與b共線，∴cos x≠0.
∴sin xcos x－4cos2x＝0.∴sin x＝4cos x，tan x＝4.
則f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝＝＝.
B卷
11．(2017年新課標Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
【答案】B
【解析】如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線DA所在直線為y軸，D為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x
7、，－y)，＝(1－x，－y)，∴＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋22－≥－，當x＝0，y＝，即P時，·(＋)有最小值－.
12．(2018年四川成都模擬)已知A，B是圓O：x2＋y2＝4上的兩個動點，||＝2，＝－.若M是線段AB的中點，則·的值為( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
【答案】A
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝，＝(x2－x1，y2－y1)．∴＝－＝.由||＝2，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝4.① 又A，B在圓O上，∴x＋y＝4，x＋y＝4.②
8、聯(lián)立①②得x1x2＋y1y2＝2，∴·＝·，化簡得(x＋y)－(x＋y)＋(x1x2＋y1y2)＝×4－×4＋×2＝3.
13．(2019年浙江)已知正方形ABCD的邊長為1，當每個λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1時，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．
【答案】0 2
【解析】由正方形ABCD的邊長為1，可得＋＝，＝－，·＝0，
∴|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|＝|λ1＋λ2－λ3－λ4＋λ5＋λ5＋λ6－λ6|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)|.要使|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋
9、λ6|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此時只需取λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此時所求最小值為0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4＋2(λ＋λ)＝12＋4＝20，當且僅當λ1－λ3，λ5－λ6均非負或均非正，并且λ
10、2－λ4，λ5＋λ6均非負或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，則所求最大值為＝2.
14．(2019年四川眉山模擬)已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；
(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝，求△ABC的面積．
【解析】(1)證明：因為m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，m∥n，
所以asin A＝bsin B.
結(jié)合正弦定理，可得a2＝b2，即a＝b，
所以△ABC為等腰三角形．
(2)因為m＝(a，b)，p＝(b－2，a－2)，m⊥p，
所以m·p＝a(b－2)＋b(a－2)＝0，則a＋b＝ab.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，其中c＝2，C＝，
所以a2＋b2－ab＝4，則(a＋b)2－3ab－4＝0.
所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)．
所以S△ABC＝absin C＝×4×sin＝.
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